z3-加法器實驗

補碼器加減法，運算方法簡介

我們要知道什么是補碼的加法，我們為什么要用補碼的加法？

補碼的加法其實就是將兩個補碼形式的二進制數字直接相加，處理的時候忽略超出固定位數的進位。補碼的加法運算和無符號二進制數的加法操作一樣，不需要額外處理負號或減法的邏輯

補碼加法的具體操作步驟：

  1. 將兩個補碼數位對齊（確保位數一致）
  2. 諸位相加，處理進位
  3. 如果結果超出固定的位數，忽略超出部分的進位

例子：
假如我們在一個8位的系統中進行加法計算

  • 5+3
    • 5的補碼：00000101
    • 3的補碼：00000011
    • 00001000（結果位8）
  • 5+(-3)
    • 5的補碼：00000101
    • -3的補碼：11111101
    • 相加：10000010（結果位-2，最高位1表示結果是負數）

那么我們為什么要使用補碼的加法？

補碼的使用簡化了計算機硬件的設計，使有符號的整數運算變得更加高效統一。補碼的使用還簡化了負數的表示和處理，使計算機更方便地進行各種數值運算。

在了解了補碼的加法之后我們就可以嘗試設計一位全加器電路了

構造一個一位全加器

首先要知道什么是全加器？

全加器是一種基本的數字電路，用于二進制數的加法運算。它能夠同時處理兩個二進制數的加法運算。它能夠同時處理兩個二進制位和一個來自低位的進位輸入，并輸出該位的和以及進位到高位的值。全加器是構建多位二進制加法器的基本模塊。

全加器的功能

全加器有三個輸入兩個輸出：

  • 輸入：兩個被加的二進制位A和B，以及來自前一位的進位輸入C_in_
  • 輸出：該位的和S和向更高位傳遞的進位輸出C_out_

全加器的真值表

ABC_in_SC_out_
00000
00110
01010
01101
10010
10101
11001
11111

全加器的邏輯表達式

根據真值表，全加器的輸入S和輸出C可以用邏輯表達式表示：

  • 和（sum）S：S = A XOR B XOR C_in_
  • 進位（Carry）C_out_：C_out_ = (A * B) + (B * C_in_) + (A * C_in_)

一位全加器的電路實現

如下圖所示：
image.png
功能封裝
image.png

八位串行加法器

八位串行加法器是一種可以對兩個8位二進制數進行加法運算的電路，串行加法器的工作原理是每次處理一個位，并將進位傳遞到下一位進行累加。以下是八位串行加法器的詳細電路設計和驗證。

電路設計

  • 全加器：用于對兩個二進制位及一個進位進行相加。
  • 移位寄存器：用于存儲和移位操作，分別存儲兩個8位數加數和結果
  • **D觸發器：**用于存儲和傳遞進位
  • 時鐘：用于同步操作

電路示意圖

image.png

使用具體數字驗證

1. 初始化
  • A寄存器：10101010
  • B寄存器：01010101
  • 進位 𝐶0：0
2. 逐位相加
  1. 第1次時鐘脈沖：
    • 取出最低位：A0 = 0, B0 = 1, 𝐶0=0
    • 全加器計算：𝑆0=0⊕1⊕0=1
    • 進位：𝐶1=(0?1)+(1?0)+(0?0)=0
    • 移位：A -> 01010101, B -> 00101010
  2. 第2次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A1 = 1, B1 = 0, 𝐶1=0
    • 全加器計算：𝑆1=1⊕0⊕0=1
    • 進位：𝐶2=(1?0)+(0?0)+(1?0)=0
    • 移位：A -> 00101010, B -> 00010101
  3. 第3次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A2 = 0, B2 = 1, 𝐶2=0
    • 全加器計算：𝑆2=0⊕1⊕0=1
    • 進位：𝐶3=(0?1)+(1?0)+(0?0)=0
    • 移位：A -> 00010101, B -> 00001010
  4. 第4次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A3 = 1, B3 = 0, 𝐶3=0
    • 全加器計算：𝑆3=1⊕0⊕0=1
    • 進位：𝐶4=(1?0)+(0?0)+(1?0)=0
    • 移位：A -> 00001010, B -> 00000101
  5. 第5次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A4 = 0, B4 = 1, 𝐶4=0
    • 全加器計算：𝑆4=0⊕1⊕0=1
    • 進位：𝐶5=(0?1)+(1?0)+(0?0)=0
    • 移位：A -> 00000101, B -> 00000010
  6. 第6次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A5 = 1, B5 = 0, 𝐶5=0
    • 全加器計算：𝑆5=1⊕0⊕0=1
    • 進位：𝐶6=(1?0)+(0?0)+(1?0)=0
    • 移位：A -> 00000010, B -> 00000001
  7. 第7次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A6 = 0, B6 = 1, 𝐶6=0
    • 全加器計算：𝑆6=0⊕1⊕0=1
    • 進位：𝐶7=(0?1)+(1?0)+(0?0)=0
    • 移位：A -> 00000001, B -> 00000000
  8. 第8次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A7 = 1, B7 = 0, 𝐶7=0
    • 全加器計算：𝑆7=1⊕0⊕0=1
    • 進位：𝐶8=(1?0)+(0?0)+(1?0)=0

結果

最終輸出結果的各位和為 𝑆7𝑆6𝑆5𝑆4𝑆3𝑆2𝑆1𝑆0=11111111，即十進制的255。進位輸出 𝐶8=0，表示沒有產生進位。
image.png

八位可控加減法器

8位可控加減法器是一種能夠對兩個8位二進制數進行加法或減法運算的電路。它通過控制信號來決定是執行加法還是減法。減法可以通過將被減數取補碼并進行加法來實現。以下是詳細的電路設計和使用具體數字進行驗證的步驟。

電路設計

  • 全加器：用于對兩個二進制位及一個進位進行相加。
  • 移位寄存器：用于存儲和移位操作，分別存儲兩個八位數和結果。
  • D觸發器：用于存儲和傳遞進位。
  • 時鐘：用于同步操作。
  • 異或門：用于將減法操作轉化為加法操作。
  • 控制信號：用于選擇加法或減法操作。

電路示意圖

image.png

使用具體數字驗證

加法驗證

假設我們要相加的兩個8位數是：

  • A = 01101101 (十進制的109)
  • B = 00111011 (十進制的59)
  1. 初始化：
    • A寄存器：01101101
    • B寄存器：00111011
    • 進位 _C_0：0
    • 控制信號 Add/Sub = 0（加法）
  2. 逐位相加
  • 第1次時鐘脈沖：
    • 取出最低位：A0 = 1, B0 = 1, 𝐶0=0
    • 全加器計算：𝑆0=1⊕1⊕0=0
    • 進位：𝐶1=(1?1)+(1?0)+(0?0)=1
    • 移位：A -> 00110110, B -> 00011101
  • 第2次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A1 = 0, B1 = 1, 𝐶1=1
    • 全加器計算：𝑆1=0⊕1⊕1=0
    • 進位：𝐶2=(0?1)+(1?1)+(0?1)=1
    • 移位：A -> 00011011, B -> 00001110
  • 第3次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A2 = 1, B2 = 1, 𝐶2=1
    • 全加器計算：𝑆2=1⊕1⊕1=1
    • 進位：𝐶3=(1?1)+(1?1)+(1?1)=1
    • 移位：A -> 00001101, B -> 00000111
  • 第4次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A3 = 1, B3 = 0, 𝐶3=1
    • 全加器計算：𝑆3=1⊕0⊕1=0
    • 進位：𝐶4=(1?0)+(0?1)+(1?1)=1
    • 移位：A -> 00000110, B -> 00000011
  • 第5次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A4 = 0, B4 = 1, 𝐶4=1
    • 全加器計算：𝑆4=0⊕1⊕1=0
    • 進位：𝐶5=(0?1)+(1?1)+(0?1)=1
    • 移位：A -> 00000011, B -> 00000001
  • 第6次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A5 = 1, B5 = 1, 𝐶5=1
    • 全加器計算：𝑆5=1⊕1⊕1=1
    • 進位：𝐶6=(1?1)+(1?1)+(1?1)=1
    • 移位：A -> 00000001, B -> 00000000
  • 第7次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A6 = 0, B6 = 0, 𝐶6=1
    • 全加器計算：𝑆6=0⊕0⊕1=1
    • 進位：𝐶7=(0?0)+(0?1)+(0?1)=0
    • 移位：A -> 00000000, B -> 00000000
  • 第8次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A7 = 0, B7 = 0, 𝐶7=0
    • 全加器計算：𝑆7=0⊕0⊕0=0
    • 進位：𝐶8=(0?0)+(0?0)+(0?0)=0
結果

最終輸出結果的各位和為 𝑆7𝑆6𝑆5𝑆4𝑆3𝑆2𝑆1𝑆0=10101000，即十進制的168。
image.png

減法驗證

初始化
  • A寄存器：01101101
  • B寄存器：00111011
  • 進位 _C_0：1（由于使用補碼減法，初始進位為1）
  • 控制信號 Add/Sub = 1（減法）
逐位計算（將B取反再加上A）
  1. 第1次時鐘脈沖：
    • 取出最低位：A0 = 1, B0 = 1
    • 由于控制信號為1，B0取反：B0’ = 0
    • 全加器計算：𝑆0=1⊕0⊕1=0
    • 進位：𝐶1=(1?0)+(0?1)+(1?1)=1
    • 移位：A -> 00110110, B -> 00011101
  2. 第2次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A1 = 0, B1 = 1
    • 由于控制信號為1，B1取反：B1’ = 0
    • 全加器計算：𝑆1=0⊕0⊕1=1
    • 進位：𝐶2=(0?0)+(0?1)+(0?1)=0
    • 移位：A -> 00011011, B -> 00001110
  3. 第3次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A2 = 1, B2 = 1
    • 由于控制信號為1，B2取反：B2’ = 0
    • 全加器計算：𝑆2=1⊕0⊕0=1
    • 進位：𝐶3=(1?0)+(0?0)+(1?0)=0
    • 移位：A -> 00001101, B -> 00000111
  4. 第4次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A3 = 1, B3 = 0
    • 由于控制信號為1，B3取反：B3’ = 1
    • 全加器計算：𝑆3=1⊕1⊕0=0
    • 進位：𝐶4=(1?1)+(1?0)+(1?0)=1
    • 移位：A -> 00000110, B -> 00000011
  5. 第5次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A4 = 0, B4 = 1
    • 由于控制信號為1，B4取反：B4’ = 0
    • 全加器計算：𝑆4=0⊕0⊕1=1
    • 進位：𝐶5=(0?0)+(0?1)+(0?1)=0
    • 移位：A -> 00000011, B -> 00000001
  6. 第6次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A5 = 1, B5 = 0
    • 由于控制信號為1，B5取反：B5’ = 1
    • 全加器計算：𝑆5=1⊕1⊕0=0
    • 進位：𝐶6=(1?1)+(1?0)+(0?0)=1
    • 移位：A -> 00000001, B -> 00000000
  7. 第7次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A6 = 0, B6 = 0
    • 由于控制信號為1，B6取反：B6’ = 1
    • 全加器計算：𝑆6=0⊕1⊕1=0
    • 進位：𝐶7=(0?1)+(1?1)+(0?1)=0
    • 移位：A -> 00000000, B -> 00000000
  8. 第8次時鐘脈沖：
    • 取出當前位：A7 = 0, B7 = 0
    • 由于控制信號為1，B7取反：B7’ = 1
    • 全加器計算：𝑆7=0⊕1⊕0=1
    • 進位：𝐶8=(0?1)+(1?0)+(0?0)=0
結果

最終輸出結果的各位和為 𝑆7𝑆6𝑆5𝑆4𝑆3𝑆2𝑆1𝑆0=00110010，即十進制的50。
image.png

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