引言

在計算機科學中，樹結構是一種常見的數據組織形式，廣泛應用于各種場景，如文件系統、組織結構、決策樹等。深度確定問題涉及到對有根樹的森林進行操作，以確定特定節點在其樹中的深度。這個問題可以通過不相交集合森林（Disjoint Set Forest，簡稱DSF）來有效解決。DSF是一種數據結構，用于處理一些不相交的動態集合，它支持合并和查找操作，這些操作在樹的深度確定中非常有用。

不相交集合森林（DSF）基礎

DSF的核心思想是使用樹狀結構來表示集合，每個節點包含指向其父節點的指針。DSF支持以下操作：

• MAKE-SET(v): 創建一個只包含節點v的集合。
• FIND-SET(v): 返回節點v所在集合的代表節點。
• UNION(x, y): 將包含x和y的兩個集合合并。

為了提高效率，DSF通常結合兩種啟發式策略：按秩合并（Union by Rank）和路徑壓縮（Path Compression）。

按秩合并與路徑壓縮

按秩合并是一種優化策略，它在合并兩個集合時，總是將較小樹的根指向較大樹的根，以此來避免形成過于深窄的樹。
路徑壓縮是在執行FIND-SET操作時，將查找路徑上的所有節點直接鏈接到根節點，從而減少后續查找的深度。

深度確定問題的解決方案

在深度確定問題中，我們使用DSF來維護森林F={T}，并實現以下操作：

• MAKE-TREE(v): 初始化一個只包含節點v的樹。
• FIND-DEPTH(v): 返回節點v在樹中的深度。
• GRAFT(r, v): 將節點r作為節點v的子節點。

在解決深度確定問題時，我們維護一個由樹構成的森林，通過三個基本操作：MAKE-TREE、FIND-DEPTH和GRAFT。為了優化操作的時間效率，我們可以采用類似于不相交集合森林的數據結構，并使用特定的啟發式策略。

a. 基本操作和運行時間
假設我們采用如下的表示法：對于森林中的每個結點v，我們使用v.p來表示其父結點，除非v是根結點，此時v.p=v。GRAFT操作可以通過設置r.p=v來實現，其中r是希望成為v孩子的結點。FIND-DEPTH操作可以通過從v開始沿查找路徑上升至根，同時計數除v以外的結點數來實現。

證明：對于包含m個MAKE-TREE、FIND-DEPTH和GRAFT操作的序列，其最壞情況運行時間是θ(m2)。因為每次FIND-DEPTH操作可能需要遍歷到根結點的所有父結點，如果樹不平衡且操作頻繁指向樹的深層，那么運行時間將與樹的深度平方成正比，即θ(m2)。

b. 使用啟發式策略優化
為了減少最壞情況運行時間，我們可以采用按秩合并與路徑壓縮的啟發式策略。不相交集合森林中的每個集合（即每棵樹）不需要直接對應于森林F中的樹T，而是允許我們確定T中任意結點的深度。

通過按秩合并，我們在合并兩個集合時選擇秩較小的集合的根作為秩較大集合的根的孩子，如果秩相同，則任選一個根并增加其秩。這樣可以確保樹的高度（即操作的成本）盡可能低。

路徑壓縮則是在FIND-SET操作中將查找路徑上的每個結點直接指向根結點，這樣在后續操作中，對同一結點的查找可以更快完成。

c. 實現MAKE-TREE和修改FIND-SET
MAKE-TREE的一種實現：

MAKE-TREE(v):

1. v.p = v // 初始化v為其自身的父結點，即表示v是根結點
2. v.rank = 0 // 初始化秩為0，表示單結點樹的高度上界
   修改FIND-SET實現FIND-DEPTH：

為了實現FIND-DEPTH并應用路徑壓縮，我們可以在FIND-SET過程中維護一個額外的變量來記錄從當前結點到根的路徑長度（即深度）。由于FIND-SET操作是兩趟方法，我們可以在回溯時更新每個結點的偽距離v.d，以確保從該結點到根的偽距離之和等于其在樹T中的實際深度。

FIND-DEPTH(v):

1. if v ≠ v.p: // 如果v不是根結點

2. depth = FIND-DEPTH(v.p) + 1 // 遞歸查找v的父結點的深度，并加1  
   

3. v.p = v.p.p // 路徑壓縮：直接讓v指向其祖父結點  
   

4. v.d = depth // 更新v的偽距離為其父結點的深度加1  
   

5. return v.d // 返回v的深度
   注意，這里的FIND-DEPTH實現同時完成了FIND-SET的功能（通過返回根結點）并應用了路徑壓縮，確保了后續操作的高效性。此外，該實現的運行時間與查找路徑的長度呈線性關系，從而優化了操作效率。

實現MAKE-TREE

MAKE-TREE操作可以通過創建一個新的節點并將其父節點設置為自己來實現，表示一個單節點樹。

void MAKE_TREE(Node* v) {v->parent = v; // 初始化節點的父節點為自身v->depth = 0;  // 初始化節點的深度為0
}

修改FIND-SET實現FIND-DEPTH

FIND-SET操作需要結合路徑壓縮來實現FIND-DEPTH。在查找過程中，更新節點的深度。

Node* FIND_SET(Node* v) {if (v->parent != v) {v->parent = FIND_SET(v->parent);}return v->parent;
}int FIND_DEPTH(Node* v) {Node* root = FIND_SET(v);return root->depth + 1; // 加1是因為從節點到根的路徑包括節點自身
}

實現GRAFT

GRAFT操作通過修改UNION和LINK過程來實現。它需要正確更新偽距離和深度。

void GRAFT(Node* r, Node* v) {Node* r_root = FIND_SET(r);Node* v_root = FIND_SET(v);LINK(r_root, v_root); // 將r的根鏈接到v的根// 更新深度if (r_root != v_root) {r_root->depth = v_root->depth + 1;}
}

分析最壞情況運行時間

一組包含m個MAKE-TREE、FIND-DEPTH和GRAFT操作的序列的最壞情況運行時間可以通過對DSF操作的分析來確定。使用按秩合并和路徑壓縮策略，可以證明最壞情況的運行時間是θ(m2)。

結論

通過不相交集合森林結合按秩合并和路徑壓縮策略，我們可以有效地解決深度確定問題。這種方法不僅提供了一種快速的方式來確定節點的深度，而且還能夠高效地處理森林中的其他相關操作。

參考文獻

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