🥑原理：數字水印 | 奇異值分解 SVD 的定義、原理及性質

🥑參考：Python 機器學習筆記：奇異值分解（SVD）算法

正文

對于一個圖像矩陣，我們總可以將其分解為以下形式：

通過選取不同個數 $\Sigma$ 矩陣中的奇異值，就可以實現圖像的壓縮。

如果你沒有了解過原理，那么你當然看不懂這是什么意思😇

如果想要實現圖像的壓縮，那么可以先使用 $\mathsf{numpy}$ 庫中的 linalg.svd 函數對圖像矩陣進行分解，然后提取前 $k$ 個奇異值以實現 SVD 圖像壓縮效果。下面讓我們看一下代碼。

1?核心代碼

定義 $svd\_compression$ 函數：

def svd_compression(img, k):res_image = np.zeros_like(img)for i in range(img.shape[2]):U, Sigma, VT = np.linalg.svd(img[:, :, i])res_image[:, :, i] = U[:, :k].dot(np.diag(Sigma[:k])).dot(VT[:k, :])return res_image

參數說明：

• $\mathsf{img}$ 是待處理的圖像
• $\mathsf{k}$ 用于設置選定前 $k$ 個奇異值

代碼說明：

初始化 $res\_image$ 變量，用于存放處理結果：

res_image = np.zeros_like(img)

循環壓縮每一個通道：

for i in range(img.shape[2]):U, Sigma, VT = np.linalg.svd(img[:, :, i])res_image[:, :, i] = U[:, :k].dot(np.diag(Sigma[:k])).dot(VT[:k, :])

• 參數：$img.shape[2]$ 是圖像的通道個數
• 第一行：對第 $i$ 個通道進行 SVD 分解
• 第二行：取前 $k$ 個奇異值重新構造圖像

說明：由于 $\mathsf{Sigma}$ 矩陣除對角元素外，其余元素都為 $0$，因此 linalg.svd 函數將其處理為一維矩陣返回。在重新構造圖像時，我們需要使用 np.diag 函數將其還原為對角矩陣。

2?完整代碼

import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('white_bear.jpg')
img = img[:, :, [2, 1, 0]]
print('image shape is ', img.shape)def svd_compression(img, k):res_image = np.zeros_like(img)for i in range(img.shape[2]):U, Sigma, VT = np.linalg.svd(img[:, :, i])res_image[:, :, i] = U[:, :k].dot(np.diag(Sigma[:k])).dot(VT[:k, :])return res_image# 保留前 k 個奇異值
res1 = svd_compression(img, k=300)
res2 = svd_compression(img, k=200)
res3 = svd_compression(img, k=100)
res4 = svd_compression(img, k=50)plt.subplot(1, 5, 1)
plt.title("image", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(img, cmap='gray')plt.subplot(1, 5, 2)
plt.title("image", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(res1, cmap='gray')plt.subplot(1, 5, 3)
plt.title("u", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(res2, cmap='gray')plt.subplot(1, 5, 4)
plt.title("s", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(res3, cmap='gray')plt.subplot(1, 5, 5)
plt.title("v", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(res4, cmap='gray')plt.show()