動態規劃----股票買賣問題（詳解）

目錄

一.買賣股票的最佳時機：

二.買賣股票的最佳時機含冷凍期：

三.買賣股票的最佳時期含?續費：

四.買賣股票的最佳時機III:?

五.買賣股票的最佳時機IV:

買賣股票的最佳時機問題介紹：動態規劃買賣股票的最佳時機是一個經典的算法問題。該問題的目標是在給定的股票價格數組中，找到最大的利潤，即最佳的買入和賣出時間，使得買入時間早于賣出時間。

下面我們通過一些例題，來解決這一類動態規劃的問題：

一.買賣股票的最佳時機：

  • 題目鏈接：121. 買賣股票的最佳時機 - 力扣（LeetCode）
  • 題目描述：

    給定一個數組?prices?，它的第?i?個元素?prices[i]?表示一支給定股票第?i?天的價格。

    你只能選擇?某一天?買入這只股票，并選擇在?未來的某一個不同的日子?賣出該股票。設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。

    返回你可以從這筆交易中獲取的最大利潤。如果你不能獲取任何利潤，返回?0?。

①.動態規劃解法：

  • 一.狀態表示dp[ i ][ j ]：下標為?i?這一天結束的時候，手上持股狀態為?j?時，我們持有的最大利潤。這里我們定義狀態 j （兩種情況）分別為：
  • 0?買入狀態
  • 1?可交易狀態
  • 二.狀態轉移方程：
  • dp[ i ][ 0 ] = Math.max( dp[ i - 1 ][ 0 ], -prices[ i ]) ; ①.在前面一天已經是買入狀態，今天選擇什么也不干，今天結束后，是買入狀態。②.前面是可交易狀態，今天選擇買入，則今天結束后是買入狀態，這里注意不是dp[ i - 1][ 1 ] - prices[ i ];因為只能交易一次，如果今天選擇買入，那后面一定要賣出（這算一次交易),此時才可能有最大利潤。則前面不能有交易，利潤為0.
  • dp[ i ][ 1 ] = Math.max( dp[ i - 1][ 1 ],dp[ i - 1][ 0 ] + prices[ i ]);①.前面一天是可交易狀態，今天選擇什么也不干，今天結束后是可交易狀態。②.前面一天是買入狀態，今天選擇賣出，今天結束后是可交易狀態。
  • 三.初始化：根據狀態表示：
  • dp[ 0 ][ 0 ] = - prices[ 0 ];第一天選擇買入，此時利潤為 - prices[ 0 ]
  • dp[ 0 ][ 1 ] = 0;第一天選擇什么也不干或則交易一次，此時的利潤為0;
  • 四.填表順序：根據狀態轉移方程，從左往右，從上往下填寫.
  • 五.返回值：dp[ n - 1 ][ 1 ];n為prices數組的長度,最后一天結束后，是可交易狀態，此時為最大利潤.

各個狀態關系圖：

代碼詳解：

class Solution {// 1. 創建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回值public int maxProfit(int[] prices) {int n = prices.length;int[][] dp = new int[n][2];//初始化dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = 0;for(int i = 1;i < n;i++){//注意這里不是dp[i - 1][1] - prices[i];dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], - prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1],dp[i - 1][0] + prices[i]);}//返回值return dp[n - 1][1];}
}

②.暴力解法（相對簡單這里給出解題過程）：?

代碼詳解：

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {int cost = Integer.MAX_VALUE;int profit = 0;for(int price : prices){cost = Math.min(cost,price);profit = Math.max(profit,price - cost);}return profit;}
}

運行結果：

?

二.買賣股票的最佳時機含冷凍期：

  • 題目鏈接：309. 買賣股票的最佳時機含冷凍期 - 力扣（LeetCode）
  • 問題描述：

    給定一個整數數組prices，其中第??prices[i]?表示第?i?天的股票價格 。?

    設計一個算法計算出最大利潤。在滿足以下約束條件下，你可以盡可能地完成更多的交易（多次買賣一支股票）:

  • 賣出股票后，你無法在第二天買入股票 (即冷凍期為 1 天)。

  • 注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

動態規劃解法：

一.狀態表示：dp[ i ][ j ]:由于有「買?」「可交易」「冷凍期」三個狀態，因此我們可以選擇?三個數組，其中：

  • dp[i][0] 表?：第 i 天結束后，處于「買?」狀態，此時的最?利潤；
  • dp[i][1] 表?：第 i 天結束后，處于「可交易」狀態，此時的最?利潤；
  • dp[i][2] 表?：第 i 天結束后，處于「冷凍期」狀態，此時的最?利潤

二.狀態轉移方程：

  • dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); ①.前一天是買入狀態，今天啥也不做，今天結束后是買入狀態②.前面一天是可交易狀態，今天選擇買入，今天結束后是買入狀態。
  • dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]); ①.前面一天是可交易狀態，今天啥也不干，今天結束后是可交易狀態②.前面一天是冷凍期，今天啥也不干，今天過后是可交易狀態
  • dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]；前面一天是買入狀態，今天選擇賣出，今天過后是冷凍期

三.初始化：

dp[0][0] = - prices[0] ；? ?dp[0][1] = 0 ；? ? dp[0][2] = 0;

四.填表順序：從左往右，從上往下，依次填寫三個表

五.返回值：狀態轉移方程三者的最大值：

?max(dp[n - 1][1], dp[n - 1] [2]);dp[n - 1][0]不可能是最大值，這里不用考慮進去（如果考慮進去了也沒關系）

各個狀態關系圖：

代碼詳解：

class Solution {// 1. 創建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回值public int maxProfit(int[] prices) {int n = prices.length;int[][] dp = new int[n][3];dp[0][0] = -prices[0];for(int i = 1;i < n;i++){dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0],dp[i - 1][1] - prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1],dp[i - 1][2]);dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];}return Math.max(dp[n - 1][1],dp[n - 1][2]);}
}

運行結果：?

三.買賣股票的最佳時期含?續費：

題目鏈接：714. 買賣股票的最佳時機含手續費 - 力扣（LeetCode）

題目描述：

給定一個整數數組?prices，其中?prices[i]表示第?i?天的股票價格 ；整數?fee?代表了交易股票的手續費用。

你可以無限次地完成交易，但是你每筆交易都需要付手續費。如果你已經購買了一個股票，在賣出它之前你就不能再繼續購買股票了。

返回獲得利潤的最大值。

注意：這里的一筆交易指買入持有并賣出股票的整個過程，每筆交易你只需要為支付一次手續費。

?動態規劃解法：

一.狀態表示：由于有「買?」「可交易」兩個狀態，因此我們可以選擇?兩個數組來定義我們的狀態（或則一個二維數組也行），其中：

  • f[i] 表?：第 i 天結束后，處于「買?」狀態，此時的最?利潤；
  • g[i] 表?：第 i 天結束后，處于「賣出」狀態，此時的最?利潤.

二.狀態轉移方程 ：我們選擇在「賣出」的時候，?付這個?續費，那么在「買?」的時候，就不?再考慮?續費的問題（完成一次交易支付手續費）：

  • f[i] = max(f[i - 1], g[i - 1] - prices[i]) ；①.在 i - 1 天「持有」股票，第 i 天啥也不?。此時最?收益為 f[i - 1] ；②.在 i - 1 天的時候「沒有」股票，在第 i 天買?股票。此時最?收益為 g[i - 1] - prices[i]) ；
  • g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1] + prices[i] - fee);①.在 i - 1 天「持有」股票，但是在第 i 天將股票賣出。此時最?收益為： f[i - 1] + prices[i] - fee) ，記得?續費；②.在 i - 1 天「沒有」股票，然后第 i 天啥也不?。此時最?收益為： g[i - 1]

三.初始化：由于需要?到前?的狀態，因此需要初始化第?個位置:

  • 對于 f[0] ，此時處于「買?」狀態，因此 f[0] = -prices[0]
  • 對于 g[0] ，此時處于「沒有股票」狀態，啥也不?即可獲得最?收益，因此 g[0] = 0?

四.填表順序：從左到右兩個表一起填

五.返回值：應該返回「賣出」狀態下，最后?天的最?值收益： g[n - 1]?

代碼詳解：

class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int n = prices.length;int[] f = new int[n];int[] g = new int[n];f[0] = -prices[0];for(int i = 1;i < n;i++){f[i] = Math.max(f[i - 1],g[i - 1] - prices[i]);g[i] = Math.max(g[i - 1],f[i - 1] + prices[i] - fee);}return Math.max(f[n - 1],g[n - 1]);}
}

運行結果：

四.買賣股票的最佳時機III:?

題目鏈接：123. 買賣股票的最佳時機 III - 力扣（LeetCode）

題目描述：

給定一個數組，它的第?i?個元素是一支給定的股票在第?i?天的價格。

設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你最多可以完成?兩筆?交易。

注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

動態規劃解法：

一.狀態表示：由于有「買?」「可交易」兩個狀態，因此我們可以選擇?兩個數組。但是這道題??還有交易次 數的限制，因此我們還需要再加上?維，?來表?交易次數。其中：

  • f[i][j] 表?：第 i 天結束后，完成了 j 次交易，處于「買?」狀態，此時的最?利 潤；
  • g[i][j] 表?：第 i 天結束后，完成了 j 次交易，處于「賣出」狀態，此時的最?利 潤。

二.狀態轉移方程：

  • f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);①.在 i - 1 天的時候，交易了 j 次，處于「買?」狀態，第 i 天啥也不?即可。此時最 ?利潤為： f[i - 1][j] ；②.在 i - 1 天的時候，交易了 j 次，處于「賣出」狀態，第 i 天的時候把股票買了。此 時的最?利潤為： g[i - 1][j] - prices[i] 。
  • g[i][j] = g[i - 1][j];

? ? ? if(j >?0) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);??

? ? ?①.在 i - 1 天的時候，交易了 j 次，處于「賣出」狀態，第 i 天啥也不?即可。此時的 最? ? ? ? ? ? ??利潤為： g[i - 1][j] ；

? ? ②.在 i - 1 天的時候，交易了 j - 1 次，處于「買?」狀態，第 i 天把股票賣了，然 后就完? ? ? ? ? 成了 j ?交易。此時的最?利潤為： f[i - 1][j - 1] + prices[i] 。但 是這個狀態不?定存? ? ? ? ? ? ? 在，要先判斷?下。

三.初始化：

  • 當處于第 0 天的時候，只能處于「買?過?次」的狀態，此時的收益為 -prices[0] ，因 此 f[0][0] = - prices[0] 。
  • 為了取 max 的時候，?些不存在的狀態「起不到?擾」的作?，我們統統將它們初始化為 - INF （? INT_MIN 在計算過程中會有「溢出」的?險，這? INF 折半取 0x3f3f3f3f ，?夠?即可）

四.填表順序：從「上往下填」每??，每??「從左往右」，兩個表「?起填」。

五.返回值：返回處于「賣出狀態」的最?值，但是我們也「不知道是交易了?次」，因此返回 g 表最后?? 的最?值。

代碼詳解：

class Solution {static int INF = -0x3f3f3f3f;public int maxProfit(int[] prices) {int n = prices.length;int[][] f = new int[n][3];int[][] g = new int[n][3];//1.f[0][0] = -prices[0];for(int i = 1;i < f[0].length;i++){f[0][i] = INF;}for(int j = 1;j < g[0].length;j++){g[0][j] = INF;//Integer.MIN_VALUE/2}//2.for(int i = 1;i < n;i++){for(int j = 0;j < 3;j++){f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j],g[i - 1][j] - prices[i]);g[i][j] = g[i - 1][j];if(j > 0){g[i][j] = Math.max(g[i][j],f[i - 1][j - 1] + prices[i]);}}}int res = Integer.MIN_VALUE;for(int j = 0;j < 3;j++){ res = Math.max(res,g[n - 1][j]);}return res;}
}

運行結果：

五.買賣股票的最佳時機IV:

題目鏈接：188. 買賣股票的最佳時機 IV - 力扣（LeetCode）

題目描述：

給你一個整數數組?prices?和一個整數?k?，其中?prices[i]?是某支給定的股票在第?i?天的價格。

設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你最多可以完成?k?筆交易。也就是說，你最多可以買?k?次，賣?k?次。

注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

動態規劃解法：

一.狀態表示：為了更加清晰的區分「買?」和「賣出」，我們換成「有股票」和「?股票」兩個狀態：

  • f[i][j] 表?：第 i 天結束后，完成了 j 筆交易，此時處于「有股票」狀態的最?收益；
  • g[i][j] 表?：第 i 天結束后，完成了 j 筆交易，此時處于「?股票」狀態的最?收益

二.狀態轉移方程：

  • f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);①.在 i - 1 天的時候，??「有股票」，并且交易了 j 次。在第 i 天的時候，啥也不?。 此時的收益為 f[i - 1][j] ；②.在 i - 1 天的時候，??「沒有股票」，并且交易了 j 次。在第 i 天的時候，買了股 票。那么 i 天結束之后，我們就有股票了。此時的收益為 g[i - 1][j] - prices[i];
  • g[i][j] = max(g[i - 1][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);①.在 i - 1 天的時候，??「沒有股票」，并且交易了 j 次。在第 i 天的時候，啥也不 ?。此時的收益為 g[i - 1][j] ；②.在 i - 1 天的時候，??「有股票」，并且交易了 j - 1 次。在第 i 天的時候，把 股票賣了。那么 i 天結束之后，我們就交易了 j 次。此時的收益為 f[i - 1][j - 1] + prices[i] ；

三.初始化：

  • 當處于第 0 天的時候，只能處于「買?過?次」的狀態，此時的收益為 -prices[0] ，因 此 f[0][0] = - prices[0]
  • 為了取 max 的時候，?些不存在的狀態「起不到?擾」的作?，我們統統將它們初始化為 - INF （? INT_MIN 在計算過程中會有「溢出」的?險，這? INF 折半取 0x3f3f3f3f ，?夠?即可）

四.填表順序：從上往下填每??，每??從左往右，兩個表?起填。

五.返回值：返回處于賣出狀態的最?值，但是我們也不知道是交易了?次，因此返回 g 表最后??的最? 值

代碼詳解：

class Solution {static int INF = -0x3f3f3f3f;public int maxProfit(int k, int[] prices) {int n = prices.length;int[][] f = new int[n][k + 1];int[][] g = new int[n][k + 1];//1.f[0][0] = -prices[0];for(int i = 1;i < f[0].length;i++){f[0][i] = INF;//->防止越界g[i - 1][j] - prices[i];}for(int j = 1;j < g[0].length;j++){g[0][j] = INF;//Integer.MIN_VALUE/2}//2.for(int i = 1;i < n;i++){for(int j = 0;j < k + 1;j++){f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j],g[i - 1][j] - prices[i]);g[i][j] = g[i - 1][j];if(j > 0){g[i][j] = Math.max(g[i][j],f[i - 1][j - 1] + prices[i]);}}}int res = Integer.MIN_VALUE;for(int j = 0;j < k + 1;j++){ res = Math.max(res,g[n - 1][j]);}return res;}
}

運行結果：

?結語：?寫博客不僅僅是為了分享學習經歷，同時這也有利于我鞏固知識點，總結該知識點，由于作者水平有限，對文章有任何問題的還請指出，接受大家的批評，讓我改進。同時也希望讀者們不吝嗇你們的點贊+收藏+關注，你們的鼓勵是我創作的最大動力！

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