考綱

術語

• (隨機)試驗
• 隨機事件
• 必然事件
• 不可能事件
• 樣本點
• 樣本空間
• 基本事件
• 完備事件組
• 概率
• 全集分解法
• 事件的獨立性
• 獨立試驗序列概型
• n重伯努利概型

事件的關系與運算

事件的關系、運算與集合的關系、運算相當，且具有相同的運算法則，所以實在不會時可以考慮用文氏圖來做。

關系

• 包含
• 相等
• 積（交）事件
• 相容
• 互斥
• 和（并）事件
• 差事件
• 逆（對立）事件

運算

• 吸收律
• 交換律
• 結合律
• 分配律
• 對偶律（德$?$摩根律）

事件運算順序約定為先進行逆運算，然后進行交運算，最后進行并或差運算。

古典概型

概念和性質

如果隨機試驗的樣本空間滿足：

• 只有有限個樣本點（基本事件）
• 每個樣本點（基本事件）發生的可能性都一樣

則稱隨機試驗的概率模型為古典模型，事件A的古典概率計算公式：
$$P(A)=\frac{事件A所包含基本事件的個數}{基本事件總數}$$
另外這里面可能會用到排列與組合的公式。

放入問題——隨機分配

取出問題——簡單隨機抽樣問題

幾何概型

簡而言之，基本事件無限且具有幾何度量、等可能發生的隨機試驗為幾何概型。A的幾何概率為：
$$P(A)=\frac{A的幾何度量}{\Omega 的幾何度量}$$
常見的幾何度量為面積或者體積，比如下面這道題：


一般的做題步驟就是先畫圖然后做計算。

概率的性質與計算

性質

有界性：對于任一事件A，有$0\le P(A)\le 1$，且$P(?)=0$
Ω 表示一個人在8點到9點之間進入教室的所有可能時間。這是一個連續的時間區間（例如，從8:00到9:00），因此 Ω 是一個連續樣本空間。
?事件 A 表示“恰好8:30到達教室”。**在連續概率分布中，任何單個時間點的概率都為零。**這是因為概率是通過積分計算的：概率密度函數在單個點上的積分為零。
**例如，如果到達時間均勻分布在8點到9點之間，那么概率密度函數是常數（f(t) = 1/60，其中 t 是以分鐘計的時間）即使事件 A 可能發生（理論上有人可能正好在8:30到達），但其概率為零。**這類似于在一條線上選一個點，選到特定點的概率為零。
兩個重要結論：

• $P(A)=0\ne >A=?$?： **概率為0的事件不一定是不可能事件。**它只是意味著該事件發生的“機會”或“測度”為0，但在無限多的可能性中，它仍然可能發生。
• ?$P(A)=1\ne >A=\Omega$?： **概率為1的事件不一定是必然事件。**它意味著該事件“幾乎肯定”會發生，但樣本空間中可能存在一些“例外點”，這些點的集合的測度為0。

比如：幾何概率 - 在平面上隨機選一個點
?樣本空間 Ω?： 單位正方形 [0,1]×[0,1] 內的所有點

• ?事件 A?： “點恰好落在對角線 y=x 上”。
  ?分析?： 對角線是一條沒有寬度的“線”。它的面積（2維測度）為0。因此，隨機扔一個點恰好落在這條線上的概率 P(A) = 0。
  ?結論?： P(A)=0，但 A 顯然不是空集，因為對角線上有無限多個點（例如(0,0), (0.5,0.5), (1,1)等都是可能的結果）。
• ?事件 B?： “點沒有落在對角線 y=x 上”。
  ?分析?： P(B) = 1 - P(A) = 1。
  ?結論?： P(B)=1，但 B 不等于整個樣本空間 Ω，因為它排除了對角線上的所有點。

計算

• 加法公式

• 減法公式

• 逆事件概率公式

• 條件概率公式

• 乘法公式
  
  做證明題還要有舉反例的思路，反例可以是特殊值，比如令P(AB)=0等。

• 全概率公式
  
  

• 貝葉斯公式（逆概率公式）
  

事件的獨立性和獨立的判定

事件的獨立性

設A,B為兩個事件，如果$P(AB)=P(A)P(B)$，則稱事件A與B相互獨立，簡稱A與B獨立。

判定定理

舉反例的思想

獨立試驗序列概型與n重伯努利概型

在第二講中會進一步看到應用，如果用X表示n重伯努利概型中事件A發生的次數，則X服從二項分布B(n,p)

錯題

如果簡單的題做錯，那么真正在考場上的時候怎么辦？