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為什么 sim(3) 中的尺度 s 與旋轉 R 相乘，而不是平移 t？

在視覺 SLAM 和三維重建中，相似變換 sim(3) 是一個關鍵數學模型，它可以表示三維空間中物體的旋轉、平移與尺度變化。但許多初學者和研究者在面對 sim(3) 變換時都會提出一個非常有代表性的問題：

?既然 sim(3) 中的尺度 s 是用來恢復真實物理尺度的，那為什么 s 只作用在旋轉 R 上，而不是也作用在平移 t 上？

這篇文章將從變換結構、幾何邏輯和 SLAM 系統中尺度不確定性的本質三個角度，深入分析這個問題。

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1?? sim(3) vs SE(3)：結構對比與核心差異

在歐式變換 SE(3) 中，我們熟悉的剛性變換形式是：

$$T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right],x^{\prime }=Rx+t$$

這個變換會保持物體的形狀與尺度，不會改變兩點之間的距離。

而在相似變換 sim(3) 中，我們引入了尺度因子 s，變換形式為：

$$T=\left[\begin{array}{cc}sR& t\\ 0& 1\end{array}\right],x^{\prime }=sRx+t$$

這里的 s 和 R 是共同作用于點 x 的，而 t 是直接疊加的平移項。

核心結論：

sim(3) 改變了物體的尺度（邊長變了），但保持了形狀（角度、比例不變）。

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2?? 為什么尺度 s 不乘在 t 上？

很多人會自然地想象成：

$$x^{\prime }=sRx+st$$

但這實際上破壞了 sim(3) 的群結構，并且在數學和幾何邏輯上都不合理：

🚫 數學破壞：

若將變換寫成：

$$T=\left[\begin{array}{cc}sR& st\\ 0& 1\end{array}\right]$$

我們可以提取一個因子 s：

$$T=s?\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& \frac{1}{s}\end{array}\right]$$

這不再是一個仿射變換，也不符合 Lie 群 sim(3) 的封閉性和組合規律。

🧭 幾何解釋：

• R 與 s 一起描述“對物體的變換”：旋轉 + 縮放
• t 單獨控制“變換后物體位于哪里”，是純平移

如果你也對 t 進行縮放，反而失去了 t 的原始幾何意義。

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3?? t 是“相對位置”，s 才是“真實尺度”

在實際系統中（尤其是單目 SLAM），恢復出來的 t 本身只是“方向”或“相對距離”：

$$\hat{t}=\frac{1}{s}t$$

也就是說：我們無法從圖像中知道 t 的真實長度，只能恢復方向，尺度信息則全都被 s 吸收了。

所以：

sim(3) 中的 t 只是一個相對位移量，而不是可用于恢復物理尺度的“基線”向量。

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4?? 圖解：SE(3) 與 sim(3) 的視覺差異

下面這張圖展示了 Se(3) 與 sim(3) 的核心區別：

• 左邊：SE(3) 變換僅包含旋轉 + 平移，圖形大小不變
• 右邊：sim(3) 變換引入了尺度因子，圖形大小發生變化

圖中也強調：s 與 R 一起作用于物體本體，而 t 控制變換后的“相對擺放位置”

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5?? 延伸思考：SLAM 系統中尺度恢復方式

不同類型的 SLAM 系統，對尺度 s 的恢復能力不同：

SLAM 類型	能否恢復 s？	原因說明
單目 SLAM	? 無法恢復	沒有絕對基線信息，t 是 up-to-scale
雙目 SLAM	? 可恢復	基線長度已知，通過三角化解出尺度
IMU 融合	? 可恢復	IMU 提供真實加速度和重力方向
GPS/融合定位	? 可恢復	GPS 提供全局坐標參考系

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? 總結一句話：

在 sim(3) 中，尺度 s 是用來縮放物體自身的幾何結構，而 t 是物體變換后的位置偏移，兩者語義不同、作用不同，因此 s 只能乘在 R 上，不能乘在 t 上。

參考

怎么解釋相似變換sim(3)中的尺度？

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