對于n維點R0(I1,I2,I3,......In)

如果到R（I1+， I2 +?, I3 +?,......,In +?)

有基分析求導定理：

即R0? +? R0 *（x1 ,x2 ,x3 ,.............xn)? ?= R

當I1，I2，....,In獨立不能轉化時

有了獨立變量的求導和積分不相干法則??

對于能轉化的基，例如下列基分析規則

對于能轉化的基R0(I1,I2,I3,I4,I5)??

有I1I2 = I3

I2I3 = I4

I3I4=I5

I4I5 = I1

I5I1 = I2

而且一個該基規則下的數為t? =? u1 I1 + u2 I2 + u3 I3 +? u4 I4 + u5 I5滿足此規則

根據基分析求導規則

R0? +? R0 *（x1 ,x2 ,x3 ,.............xn)? ?= R

此時

R0（I1? ， I2? ， I3 ， I4， I5）

R（I1+， I2 +?, I3 +?,I4 + , I5?+ )?

所以 根據基分析求導規則

（I1? ， I2? ， I3 ， I4， I5）*（x1 ,x2 ,x3 ,x4?,x5) = （， , ?,?, ?）

對于I1 來說? du1 /dx1? = I1? du2/dx2 = I2? du3/dx3 = I3? du4/du4 = I4? du5/du5 = I5

所以該基分析規則下的可導法則時，對于I3的值來說，有

du1/dx1? ?*? du1/dx2 + du2/dx1?* du2/dx2? + du3/dx1 * du3/dx2? + du4/dx1?* du4/x2?+

du5/dx1 * du5/dx2? =?

du1/dx3? ?+?du2/dx3? ?+

du3/dx3? ?+?du4/dx3? +? du5/ dx3??

對于I4的值來說

du1/dx2? ?*? du1/dx3?+ du2/dx2?* du2/dx3? + du3/dx2?* du3/dx3? + du4/dx2?* du4/x3?+

du5/dx2?* du5/dx3? =?

du1/dx4?? +?du2/dx4? ?+

du3/dx4? ?+?du4/dx4? +? du5/ dx4??

依次類推I5，I1，I2

此為該基分析下的充要條件

左右兩邊相乘我們得到? ??

就是該基分析下的必要條件

對于復分析

- 5 x 5? =? 5i x 5i

3 x 5i? = 5i x 3

所以有

-? I1 * I1 = I2 * I2

I1I2? = I2 I1

我們發現I1，I2的秩為1

（I1， I2）（x1?,x2) = （， ）

-? du1/dx1 du2/dx1 =? du1/dx2? * du2/dx2

把u1，u2，x1，x2改成u，v ,? x ,? y

即? ? ? ? -? du/dx? *? dv/dy? =? du /dy? ?*? dv? /dx

即柯西尼曼方程的擴展方程版也是可以求導的

我們已知實分析的一切映射公式

下篇講基分析下的積分和基分析下的一切映射公式