求解線性方程組是線性代數的核心問題之一，根據方程組的類型（如齊次/非齊次、方陣/非方陣、稀疏/稠密等），可以采用不同的解法。以下是常見的線性方程組解法分類及簡要說明：
一、直接解法（精確解）
適用于中小規模或特殊結構的方程組，理論上可在有限步內得到精確解。
高斯消元法（Gaussian Elimination）
通過初等行變換將增廣矩陣化為行階梯形（REF）或簡化行階梯形（RREF），然后回代求解。
適用于任意線性方程組，但計算復雜度為?
LU分解（LU Decomposition）
將系數矩陣?A 分解為下三角矩陣LL 和上三角矩陣?U的乘積（A=LU），再分別求解?
Ly=b 和?
Ux=y。
適用于需要多次求解不同右端項?b 的情況。
Cholesky分解
針對對稱正定矩陣，分解為?
A=L。
克拉默法則（Cramer's Rule）
通過行列式計算每個變量的解：
僅適用于小規模方程組（因行列式計算復雜度高）。
二、迭代解法（近似解）
適用于大規模稀疏方程組，通過迭代逼近解，適合數值計算。
雅可比迭代法（Jacobi Iteration）
高斯-賽德爾迭代法（Gauss-Seidel Iteration）
類似雅可比法，但使用最新計算的?值加速收斂：
逐次超松弛迭代法（SOR, Successive Over-Relaxation）
高斯-賽德爾的加速版本，引入松弛因子?ω 以提高收斂速度。
共軛梯度法（Conjugate Gradient, CG）
針對對稱正定矩陣的迭代法，通過構造共軛方向快速收斂。常用于求解大型稀疏方程組。
廣義最小殘量法（GMRES）
適用于非對稱矩陣的迭代法，通過Krylov子空間最小化殘差。
三、特殊類型方程組的解法
齊次方程組?
欠定方程組（方程數 < 變量數）
有無窮多解，可求最小范數解（如用SVD或偽逆?
?
超定方程組（方程數 > 變量數，最小二乘問題）
QR分解（數值穩定性更好）。
SVD分解（適用于病態矩陣）。
四、矩陣分解法
QR分解
奇異值分解（SVD）
Schur分解
適用于特征值問題相關的方程組。
五、其他數值方法
并行算法
針對超大規模方程組，使用分布式計算（如并行LU分解）。
符號計算
用計算機代數系統（如Mathematica、SymPy）求符號解。
預處理技術
對矩陣進行預處理（如不完全LU分解）以加速迭代法收斂。
選擇依據
矩陣性質：對稱性、正定性、稀疏性等。
規模：小規模用直接法，大規模用迭代法。
精度要求：直接法精度高，迭代法需控制誤差。
計算資源：內存、并行能力等。
解法舉例：
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總結
直接法：適合小規模精確解（如高斯消元、LU分解）。
迭代法：適合大規模稀疏問題（如共軛梯度法）。
特殊問題：超定方程組用最小二乘，欠定方程組用SVD。
通過具體例子可以更直觀地理解每種解法的操作流程和適用場景！
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