高中數學聯賽模擬試題精選學數學系列第24套幾何題

$\odot O_1$ 和 $\odot O_2$ 交于 $A$ , $B$ . $Y$ 是 $\odot O_1$ 上一點, $Z$ 是 $\odot O_2$ 上一點， $Y Z$ 通過 $A$ . 過 $Y$ 的 $\odot O_1$ 的切線和過 $Z$ 的 $\odot O_2$ 的切線交于點 $X$ . 線段 $BX$ 交 $\triangle BO_1O_2$ 的外接圓于點 $Q$ . 求證: $XQ$ 之長等于 $\triangle BO_1O_2$ 的外接圓直徑之長.

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證明:

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設 $O$ 是 $(X Y Z)$ 的圓心. 設 $B I$ 是 $BO_1O_2$ 的直徑). 延長 $B I$ 交 $(X Y Z)$ 于點 $J$ .

$\triangle BYZ\sim\triangle BO_1O_2$ .

$OO_1\bot BY$ , $OO_2\bot BZ$ , 所以 $\angle O_1BO_2=\pi-\angle YBZ=\angle O_1OO_2=\pi-\angle O_1BO_2$ , 進而 $O$ 在 $BO_1O_2)$ 上.

$\angle Q_1QB=\angle O_1O_2B=\angle BZY=\angle BXY$ , 所以 $QO_1//XY$ .

$OO_1\bot BY$ , $O_1Y\bot O_1Q$ , 所以 $\angle QO_1O=\angle O_1YB$ .
設 $QO_2$ 和 $IO_2$ 分別交 $BZ$ 于點 $K$ , $L$ .

$\angle OBZ=\frac{\pi}{2}-\angle BOO_2$ , $\angle IBO_2=\frac{\pi}{2}-\angle BIO_2$ .

$\angle BOO_2=\angle BIO_2$ , 所以 $\angle OBZ=\angle IBO_2$ , 進而 $\angle OBI=\angle ZBO_2$ .

顯然 $\angle ZBO_2=\angle O_1BY=\angle O_1YB$ .

所以 $\angle QBO=\angle IBO$ . 結合 $O$ 是 $(X Y Z)$ 圓心可知 $BX = B J$ .
顯然 $\angle BIO_2=\angle BJZ$ , 所以 $IO_2//JZ$ .

$B I / I J = B L / L Z$ , $XQ / BQ = Z K / B K$ .

易證明 $\triangle O_2KB \simeq \triangle O_2LZ$ .

所以 $B L / L Z = Z K / B K$ . 進而 $B I / I J = XQ / BQ$ , 結合 $BX = J B$ 可知 $XQ = B I$ .

證畢.

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