主成分分析（PCA）法例題—

主成分分析（PCA）法例題——給定協方差矩陣

已知樣本集合的協方差矩陣為

${\bm C}_x = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}$

使用PCA方法將樣本向量降到二維。

求解
計算 ${\bm C}_x$ 的特征值得到：

$\lambda_1 = 0.1, \quad \lambda_2 = \lambda_3 = 0.4$

其對應的特征向量分別為：

${\bm u}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad {\bm u}_2 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad {\bm u}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

取最大的兩個特征值 $\lambda_2, \lambda_3$ 對應的特征向量構成壓縮空間，形成新的向量：

${\tilde {\bm y}} = \begin{bmatrix} {\bm u}_2 & {\bm u}_3 \end{bmatrix}^\top {\bm x} = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix} {\bm x}$

K-L 變換為：

${\bm y} = {\bm W}^\top {\bm x} = \begin{bmatrix} {\bm u}_1 & {\bm u}_2 & {\bm u}_3 \end{bmatrix}^\top {\bm x} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{3} \\ 2/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix} {\bm x}$

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