1 概述

最近閱讀高翔大神的《視覺SLAM十四講》這本書，感覺整本書寫的非常的平實，用非常接地氣的語言毫無保留的介紹了視覺SLAM的相關知識，非常值得一讀。不過，在第4章出現的李群和李代數的相關概念就有點令人難以費解了。其實這段不是這本書的作者故意寫的晦澀難懂，而是這部分知識屬于數學或者物理專業才會學習的知識，普通的理工科專業的讀者沒有接觸過這方面的知識。筆者也是在這個地方卡了殼，因此在本文中將李群和李代數相關的知識總結一下。

2 群

在數學中，群是一個基礎但非常重要的代數結構，它由一個集合和一種滿足特定條件的二元運算組成。具體來說，如果一個集合$G$和其上的一個二元運算$?$滿足以下四個公理，則稱$(G,?)$為一個群：

1. 封閉性（Closure）：對于$G$中任意兩個元素$a$和$b$，它們通過運算$?$得到的結果也是$G$的一個元素。即，如果$a,b\in G$，那么$a?b\in G$。
2. 結合律（Associativity）：對于$G$中任意三個元素$a$、$b$和$c$，它們之間的運算滿足結合律。即，$(a?b)?c=a?(b?c)$。
3. 單位元（Identity element）：存在一個$G$中的特殊元素$e$（稱為單位元），使得對于$G$中的任何元素$a$都有$e?a=a?e=a$。
4. 逆元（Inverse element）：對于$G$中的每一個元素$a$，都存在一個$G$中的元素$b$（記作$a^{?1}$，稱為$a$的逆元），使得$a?a^{?1}=a^{?1}?a=e$，這里$e$是上述的單位元。

概念說出來都是很抽象的，那么接下來直接舉兩個具體的例子。

2.1 整數集與加法運算

如果集合 G = Z = { … , ? 2 , ? 1 , 0 , 1 , 2 , … } G = \mathbb{Z}= \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\ \} G=Z={…,?2,?1,0,1,2,…?}，運算$?=+$，那么整數集與加法運算$(Z,+)$就是一個群，因為其符合群的四個公理：

1. 封閉性：
   對于任意兩個整數$a,b\in \mathbb{Z}$，$a+b$仍然是一個整數。例如，$3+(?5)=?2$，結果仍然在$\mathbb{Z}$中。
   因此，封閉性成立。

2. 結合律：
   加法是結合的，即對于任意$a,b,c\in \mathbb{Z}$，有

   $$(a+b)+c=a+(b+c)$$

   因此，結合律成立。

3. 單位元：
   單位元是$e=0$，因為對于任意$a\in \mathbb{Z}$，有

   $$a+0=0+a=a$$

   因此，單位元存在。

4. 逆元：
   對于任意$a\in \mathbb{Z}$，它的逆元是$?a$，因為

$$a+(?a)=(?a)+a=0$$

因此，每個元素都有逆元。

2.2 非零實數集與乘法運算

如果集合 G = R ? = { x ∈ R ∣ x ≠ 0 } G = \mathbb{R}^* = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0 \} G=R?={x∈R∣x=0}，運算$?=\times$，那么非零實數集與乘法運算$({\mathbb{R}}^{?},\times )$就是一個群，因為其符合群的四個公理：

1. 封閉性：
   對于任意兩個非零實數$a,b\in {\mathbb{R}}^{?}$，$a\times b$仍然是一個非零實數。例如，$3\times (?2)=?6$，結果仍然在${\mathbb{R}}^{?}$中。
   因此，封閉性成立。

2. 結合律：
   乘法是結合的，即對于任意$a,b,c\in {\mathbb{R}}^{?}$，有

   $$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$$

   因此，結合律成立。

3. 單位元：
   單位元是$e=1$，因為對于任意$a\in {\mathbb{R}}^{?}$，有

   $$a\times 1=1\times a=a$$

   因此，單位元存在。

4. 逆元：
   對于任意$a\in {\mathbb{R}}^{?}$，它的逆元是$\frac{1}{a}$，因為

   $$a\times \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\times a=1$$

   因此，每個元素都有逆元。

這樣來看的話，群的概念還是很好理解的。數學上的語言都是很抽象很概括的，我們不妨結合具體的例子來理解。那么，為什么會有群這個概念呢，因為數學家發現這種二元運算的集合有非常規律良好的性質，因此將其歸納總結了出來。

3 李群

李群是具有光滑性質的群。群的定義我們剛才論述過，那么這個“光滑”指的是一個怎么樣的概念呢？要說清楚這個概念，可能需要更加專業的數學知識（比如《微分幾何》），但是我們可以用簡單一點的概念進行類比，那就是高數中的可導。

回憶一下高數中關于可導的定義：設$f:D\to \mathbb{R}$是一個實值函數，定義在某個區間$D$上，并且$x_0\in D$是該區間中的一個內點。如果極限

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)?f(x_0)}{h}$$

存在，則稱函數$f$在點$x_0$處是可導的，這個極限稱為$f$在$x_0$處的導數，記作$f^{\prime }(x_0)$或$\frac{df}{dx}(x_0)$。

直觀地說，這個極限衡量了當輸入$x$發生微小變化時，輸出$f(x)$的變化率。如果一個函數在某區間內處處可導，那么這個函數在該區間內不僅連續，而且是“光滑”的，沒有尖點或間斷。這是一個非常優良的性質，它意味著這個函數的每個點都可以用切線方程來近似，從而使得復雜的問題可以通過簡單的線性問題來解決，極大地簡化了計算。

李群的光滑性質就類似于高數中的可導性。光滑意味著群運算是可以進行微分的，李群上的任何點都可以研究其局部變化率（即導數），并通過這些導數來分析群的性質。函數的導數就是導函數，而李群在單位元附近的局部性質的描述就是李代數，它通過切空間捕捉了李群的局部線性化信息。

SLAM中兩個重要的李群是特殊正交群$SO(n)$ 和 特殊歐式群$SE(n)$，特殊正交群是旋轉變換的集合和運算，特殊歐式群是歐式變換/剛性變換的集合和運算。旋轉變換和歐式變換是SLAM中的兩個重要的幾何變換，要理解這兩個概念，需要重點看《視覺SLAM十四講》第3講三維空間剛體運動的知識；或者對計算機圖形學、計算機視覺中幾何變換的知識有所了解。

3.1 特殊正交群$SO(3)$

如果集合$G$是所有的三維旋轉矩陣，運算$?$是矩陣乘法，這樣構成的群就是特殊正交群 S O ( 3 ) = { R ∈ R 3 × 3 ∣ R T R = I , det ? ( R ) = 1 } SO(3) = \{ R \in \mathbb{R}^{3\times3} \mid R^T R = I, \det(R) = 1\} SO(3)={R∈R3×3∣RTR=I,det(R)=1}。

特殊正交群符合群的四個公理：

• 封閉性：如果$R_1,R_2\in SO(3)$，則$R_1{R}_2\in SO(3)$。兩個旋轉矩陣的乘積仍然是正交矩陣，且行列式仍為1。從圖形學的角度上來說，旋轉兩次得到的姿態，旋轉一次也可以得到。
• 結合律：矩陣乘法本身是結合的，因此$SO(3)$滿足結合律。
• 單位元：單位矩陣$I\in SO(3)$，因為$I^{T}I=I$且$\det (I)=+1$。
• 逆元：對于任意$R\in SO(3)$，其逆元是$R^{?1}=R^T$（正交矩陣的性質），且$\det (R^{?1})=1$。

特殊正交群具有光滑特性，這一點我們可以結合旋轉變換本身的特性來理解。設想這樣的一個場景：三維空間中有一個魔方，這個魔方以自己的中心點位置進行旋轉。無論這個魔方怎么旋轉，到任何位置，旋轉過程都是平滑的。在計算機圖形學中，很容易實現這樣的一個任務：給定一個起點旋轉矩陣、終點旋轉矩陣以及起終點的時間差，很容易線性插值出任意時刻的旋轉矩陣。能夠平滑地旋轉物體，也很符合我們對客觀物理現象的認知。

3.2 特殊歐式群$SE(3)$

如果集合$G$是所有的歐式變換（剛體變換）矩陣，運算$?$是矩陣乘法，這樣構成的群就是特殊歐式群$SE(3)=\{T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{4\times 4}\mid R\in SO(3),t\in {\mathbb{R}}^3\}$。在這里，$R$表示旋轉矩陣，$t$是平移向量。

特殊歐式群符合群的四個公理：

• 封閉性：如果$T_1,T_2\in SE(3)$，則$T_1{T}_2\in SE(3)$。歐式變換是齊次變換矩陣，相乘后仍然保持旋轉矩陣在左上角，平移向量在右上角的形式。從圖形學的角度上來說，歐式變換兩次得到的位姿，歐式變換一次也可以得到。
• 結合律：矩陣乘法本身是結合的，因此$SE(3)$滿足結合律。
• 單位元：單位矩陣$I_{4\times 4}$（包含$3\times 3$單位矩陣和零平移向量）是$SE(3)$的單位元。
• 逆元：對于任意$T\in SE(3)$，其逆元是

$$T^{?1}=\left[\begin{array}{cc}{R}^T& ?R^{T}t\\ 0& 1\end{array}\right].$$

特殊歐式群具有光滑特性，這一點同樣可以結合歐式變換本身的特性來理解。歐式變換是旋轉變換與平移變換的組合，我們可以假設這樣一個場景：一個照相機要拍攝一個物體，需要移動到這個物體的前方，并且要調整相機朝向，才能準確生成這張物體的照片。相機無論怎么移動位置，調整朝向，這個過程都是平滑的。在計算機圖形學的場景中，經常會有這樣的需求，按照一條固定的軌跡飛行，這條飛行軌跡上的任意一點都可以通過插值得到，保證相機操作的平滑性。

4 李代數

4.1 預備

在進行李代數的論述之前，我們需要先學習一些預備知識。

4.1.1 反對稱矩陣

一個$n\times n$實矩陣$A$是反對稱矩陣（或斜對稱矩陣），如果它滿足：

$$A^T=?A.$$

也就是說，矩陣的轉置等于它的負數，那么這個矩陣就是反對稱矩陣。一個反對稱矩陣的例子如下：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& ?a_3& a_2\\ a_3& 0& ?a_1\\ ?a_2& a_1& 0\end{array}\right].$$

反對稱矩陣有一個很重要的性質：每個三維向量都有唯一的反對稱矩陣對應。具體來說，給定一個三維實向量：

$$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^3,$$

我們可以唯一地構造一個$3\times 3$的反對稱矩陣，記作：

$$[\mathbf{a}{]}_{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& ?a_3& a_2\\ a_3& 0& ?a_1\\ ?a_2& a_1& 0\end{array}\right].$$

這個符號$[\mathbf{a}{]}_{\times }$中的$\times$表示“叉乘”，因為這個矩陣的作用就等價于與$\mathbf{a}$做叉積。

等價于叉積運算是什么意思呢？設$\mathbf{a},\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^3$，那么：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=[\mathbf{a}{]}_{\times }\mathbf{b}.$$

即：$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的叉積 等于 反對稱矩陣$[\mathbf{a}{]}_{\times }$作用在$\mathbf{b}$上的結果。

舉例說明，設：

$$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right],$$

則：

$$[\mathbf{a}{]}_{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& ?3& 2\\ 3& 0& ?1\\ ?2& 1& 0\end{array}\right]$$

$$[\mathbf{a}{]}_{\times }\mathbf{b}=\left[\begin{array}{ccc}0& ?3& 2\\ 3& 0& ?1\\ ?2& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}?3\\ 6\\ ?3\end{array}\right]$$

而直接計算叉積：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right|=?3\mathbf{i}+6\mathbf{j}?3\mathbf{k}=\left[\begin{array}{c}?3\\ 6\\ ?3\end{array}\right]$$

兩者的結果一致。

4.1.2 函數求導

1. 乘積法則

設$f(t),g(t)$是兩個可導的實函數，那么它們乘積的導數為：

$$\frac{d}{dt}(f(t)g(t))=f^{\prime }(t)g(t)+f(t)g^{\prime }(t)$$

例如，設$f(t)=t^2,g(t)=\sin t$，則：

$$(fg{)}^{\prime }=(t^2\sin t{)}^{\prime }=2t\sin t+t^2\cos t$$

2. 鏈式法則

如果$y=f(g(t))$，那么：

$$\frac{dy}{dt}=f^{\prime }(g(t))?g^{\prime }(t).$$

例如，令$f(u)=e^u$，$u=g(t)=at$，根據鏈式法則：

$$\frac{d}{dt}{e}^{at}=\frac{d}{du}{e}^u?\frac{d}{dt}(at)=e^u?a=e^{at}?a=a{e}^{at}.$$

即：

$$\frac{d}{dt}{e}^{at}=a{e}^{at}$$

4.1.3 矩陣求導

對于一個隨自變量t變化的矩陣$R(t)$，它的導數$\frac{dR(t)}{dt}$是將該矩陣的每個元素分別對自變量$t$求導得到的新矩陣。例如：

如果：

$$R(t)=\left[\begin{array}{cc}{r}_{11}(t)& r_{12}(t)\\ r_{21}(t)& r_{22}(t)\end{array}\right],$$

那么：

$$\frac{dR(t)}{dt}=\left[\begin{array}{cc}\frac{d{r}_{11}}{dt}& \frac{d{r}_{12}}{dt}\\ \frac{d{r}_{21}}{dt}& \frac{d{r}_{22}}{dt}\end{array}\right].$$

所以，矩陣對自變量求導 = 矩陣中每個元素對自變量求導。

通過上述概念可看出，矩陣轉置運算與微分運算是可交換的。可以理解為：

• 轉置是對矩陣元素做排列；
• 微分是對每個元素做導數；
• 所以先轉置再導數 = 先導數再轉置。

公式描述就是：

$$\frac{d}{dt}R(t{)}^T={\left(\frac{dR(t)}{dt}\right)}^T.$$

4.1.4 微分方程

微分方程是數學中的一種方程，它涉及一個或多個未知函數及其導數，目標是找到滿足該方程的未知函數。后面會求解一個一階線性常微分方程如下：

$$\frac{dx(t)}{dt}=ax(t),x(0)=x_0,$$

其中$a$是常數。

先說答案，這個方程的通解是：

$$x(t)=x_0{e}^{at}.$$

可以把這個解代入原方程驗證是否成立。對解的兩邊進行求導：

$$\frac{dx(t)}{dt}=x_0?\frac{d}{dt}(e^{at})=x_0?a{e}^{at}=a{x}_0{e}^{at}=ax(t).$$

左邊是$\frac{dx(t)}{dt}$，右邊是$ax(t)$，兩者相等，所以解成立。

如果需要嚴格推導這個解，需要使用分離變量法。

從原方程出發：

$$\frac{dx}{dt}=ax.$$

把變量分開：

$$\frac{1}{x}dx=adt.$$

兩邊積分：

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{x}dx=\int adt \\ ?\ln |x|=at+C, \end{gathered}$$

其中$C$是積分常數。

兩邊取指數：

$$|x|=e^{at+C}=e^C{e}^{at}.$$

令$x_0=e^C$，得：

$$x(t)=x_0{e}^{at}.$$

4.2 引出

前面我們介紹過，李群的光滑性質保證了是可以微分的，那我們就嘗試對李群$SO(3)$進行求導。假設一個剛體在三維空間中繞某個軸旋轉，其旋轉狀態可以用一個旋轉矩陣$R(t)$來描述，其中$t$是時間參數。那么我們要求的就是$R(t)$關于時間$t$的導數：

$$\frac{d}{dt}R(t)$$

由于$R(t)$是正交矩陣，滿足$R(t{)}^{T}R(t)=I$，對兩邊關于$t$求導：

$$\frac{d}{dt}(R(t{)}^{T}R(t))=\frac{d}{dt}I$$

根據函數求導的乘積法則，展開左邊的導數：

$$\frac{dR(t{)}^T}{dt}R(t)+R(t{)}^T\frac{dR(t)}{dt}=0.$$

根據預備知識，矩陣轉置運算與微分運算可交換，有$\frac{dR(t{)}^T}{dt}=(\frac{dR(t)}{dt}{)}^T$，因此上式可以改寫為：

$$(\frac{dR(t)}{dt}{)}^{T}R(t)+R(t{)}^T\frac{dR(t)}{dt}=0.$$

繼而：

$$\frac{dR(t)}{dt}R(t{)}^T=?(\frac{dR(t)}{dt}{)}^{T}R(t)$$

這表明$\frac{dR(t)}{dt}R(t{)}^T$是一個反對稱矩陣，記作$[\mathbf{\omega }(t){]}_{\times }$，即：

$$\frac{dR(t)}{dt}=[\mathbf{\omega }(t){]}_{\times }R(t),$$

上式是一個一階線性微分方程，有如下條件：

$$\frac{dR(t)}{dt}=[\mathbf{\omega }{]}_{\times }R(t),R(0)=I,$$

這個方程我們在預備知識中求解過，它的解是：

$$R(t)=\exp ([\mathbf{\omega }{]}_{\times }t).$$

其中$\exp$表示矩陣指數運算。$\mathbf{\omega }(t)$描述了剛體在時刻$t$的瞬時旋轉軸和旋轉速率，其實也就是表達旋轉矩陣的旋轉向量，$[\mathbf{\omega }(t){]}_{\times }$是其對應的反對稱矩陣。這個公式給出了從旋轉向量到旋轉矩陣（李群）的映射，也就是指數映射。而這個旋轉向量，就是我們要論述的李代數。

如果讀者熟悉計算機圖形學，就會對旋轉向量并不陌生，它描述了一個旋轉操作的方向（旋轉軸）和大小（旋轉角度）。四元數就是一個與旋轉向量密切相關的參數，通過羅德里格斯公式也可以將旋轉向量轉換成旋轉矩陣。

5 結語

本篇由群引申到李群，再引出到李代數，不得不說SLAM中李群和李代數相關的知識還是很多，其中很多知識都是第一次接觸到。另外，很多更基礎的知識（比如高數、線代）也都忘記了，不得不一邊學習新的知識一邊復習舊的知識。在下一篇文章中，筆者會繼續總結論述一下李代數相關的內容。