【綜述】相位解包裹算法對比分析

引言

相位解包裹是基于干涉的位相測量技術中的重要環節，如合成孔徑雷達干涉、光學干涉測量技術、醫學成像技術、數字全息三維成像、相干衍射成像等技術中都涉及位相解包裹。位相解包裹也稱為位相展開、位相解截斷、位相解纏繞等。與之相反的過程謂之包裹位相、截斷位相、纏繞位相等。近年來，隨著數字全息術和其他三維成像技術的發展，位相解包裹也得到了很快的發展，研究者提出了很多算法。雖然所提出的算法針對的具體領域不同，但由于解決的問題本質相同，位相解包裹算法具有通用性。

相位解包裹算法研究匯總分類

近年來，國外對于位相解包裹算法的研究很多，基本理論日趨成熟。下表對目前國際及國內出現的位相解包裹算法研究進行了初步的總結。

表1 國外相位解包裹算法研究匯總

序號	作者	方法	積分路徑	優點	缺點
1	Jonahan M. Huntley	枝切法	PF	使用奇異點環，抗噪能力強	枝切線容易設置不當
2	Antonio Baldi	四叉樹	NPF	分塊再合并，速度較快	噪聲厲害區域效果不好
3	Curtis W. Chen	統計模型解費用函數	NPF	抗噪能力強	需要先驗圖，費時
4	Curtis W. Chen	統計費用網絡流法	NPF	圖像分割合并算法，效果好	需先驗知識
5	Mark Jerkimson	網絡流法	NPF	每一維分別操作，省時，準確	較適合于處理 MRI 數據
6	Vyacheslav V. Volkov	2 次 FFT 方法	NPF	只需要三次 FFT 變換，省時	欠采樣厲害的區域出錯
7	Marvin A. Schofield	4 次 FFT	NPF	編程簡單，易于實現	需要對圖像進行鏡像操作，費時
8	Rene Schone	加窗技術和最小費用匹配	NPF	抗噪能力強	運行速度比較慢
9	Mariano Rivera	半正定費用函數，正則化法	NPF	抗噪聲能力強	位相出現不連續現象
10	Y. Sasaki	統計力學方法，1 - Ising 模型	NPF	適合處理含有欠采樣圖像	運行速度比較慢
11	Myung K. Kim	雙波長光學法	NPF	解包裹易實現	會存在 “拉線” 現象
12	Lei Ying	馬爾科夫隨機場模型	NPF	對噪聲、位相跳變區域處理效果好	運行速度比較慢
13	Wang Huailiang	蒙特卡羅算法	PF	抗噪能力比較強	易產生 “拉線” 現象
14	S Kanat	奇異點 - 矢量圖作為質量圖	PF	比其他質量圖好	產生 “孤島區域”
15	Jose M. Biurrun - Dias	最大流最小割算法	PF	適合處理含有欠采樣的圖像	運行速度比較慢
16	Sheng Liu	基于條紋估計和圖像分割的區域濾波	NPF	精度較高	運行速度比較慢
17	Juan J. Martinez - Espla	基于網絡濾波器和枝切法	PF	抗噪能力強	濾波會丟失信息，存在 “孤島區域”
18	Juan J. Martinez - Espla	粒子濾波和 Isodata 算法	PF	抗噪能力強	濾波會丟失高頻信息，會產生 “拉線” 現象
19	Handford C. Herndargo	合成波長技術	NPF	精度較高	只適用于光學干涉領域
20	Gonzalo Valado	貝葉斯方法	NPF	適合處理含有陰影、高斯噪聲數據	需要后驗概率
21	Miguel Arevalillo	質量導向、區域增長和蟻切	PF	精度較高	運行速度比較慢
22	Rizardo Legarda Senz	傅里葉相位包裹變換，時間里的正定變換	NPF	算法簡單，速度較快	只適合于跟時間有關系的數據
23	A. Plyush Shanker	改進的最小費用流法	NPF	用邊代替閉合路徑，可用于多維數據	較適用于處理 INSAR 時間序列
24	A. Khmaladze	改變再現距離	NPF	消噪效果較好	不適合于處理含有欠采樣的數據
25	Jesús Mu?oz Maciel	傅里葉方法	NPF	運行速度較快	干涉圖須含有封閉條紋
26	Satoshi Tomioka	旋轉補償器、不約束的奇異點定位和虛擬奇異點	PF	抗噪能力強	運行速度比較慢
27	Sai Siva Gorthi	立方位相方程	NPF	位相跳變厲害的區域效果也好	適合于光學干涉
28	黃源浩	傅里葉位相濾波和柵格位相解包裹	PF	抗噪能力強，適合于動態物體	易產生 “拉線” 現象和 “孤島區域”
29	Batuhan Osmanoglu	FD 路徑	PF	比其他路徑好	易產生 “拉線” 現象和 “孤島區域”
30	丁毅	利用兩幅干涉圖恢復位相	NPF	算法簡單運行時間短	需選定兩幅圖像干涉的頻率

注：LS：最小二乘；FFT：快速傅里葉變換；DCT：離散傅里葉變換；PF：路徑跟蹤；NPF：非路徑跟蹤；FD：Fisher距離；Itoh’s算法：行列逐點位相解包裹算法。

表2 國內相位解包裹算法研究匯總

序號	作者	方法	積分路徑	優點	缺點
1	蘇顯渝等	條紋分析	PF	誤差傳遞小	易產生 “拉線” 和 “孤島區域”
2	錢克茂等	調制度加權最小二乘法	NPF	算法較穩健	對條紋清晰度要求高
3	Chi Fung Lo 等	分塊和質量導向	PF	抗噪能力強	合并時可能導致連續性差
4	康新等	最小截面差	NPF	算法簡單，速度較快，可靠性較高	不適用于處理欠采樣數據
5	吳祿慎等	新的區域增長算法	PF	抗噪能力強	易產生 “拉線” 現象
6	惠梅等	DCT	NPF	速度快，不存在 “拉線” 現象	具有平滑作用，產生誤差
7	彭震君等	模擬退火	NPF	抗噪能力強，易于解決欠采樣問題	運行速度較慢
8	彭震君等	位相跳變區域劃分	PF	抗噪能力強	易不連續
9	蘇顯渝等	參數導向	PF	抗噪能力強	易產生“孤島區域”
10	鄭剛等	可靠性的方法 & 隊列法	PF	易處理含有噪聲、陰影和空洞的數據	易產生 “拉線” 現象
11	王燕等	相鄰區域算法（菱形算法）	PF	算法簡單，可消除 “拉線”	不適用于處理欠采樣數據
12	楊亞良等	確定性的 FFT 算法	NPF	速度較快，精度較高	需要對圖像進行鏡像操作
13	陳家鳳等	改進的最近相鄰點連接法	PF	抗噪能力強，速度較快	易產生 “孤島區域”
14	路元剛等	質量相關的 WLS	NPF	抗噪能力強，速度較快	不適用于處理欠采樣數據
15	朱勇建等	局部質量導向和假設相鄰像素在一平面上	PF	抗噪能力強	對質量圖要求高
16	楊鋒濤等	基于二階差分的加權最小費用流法	NPF	精度較高	需權重，運行較慢
17	楊鋒濤等	模擬退火	NPF	抗噪能力強，適合于處理含有欠采樣的數據	運行速度比較慢
18	王軍等	八角模型消除不連續點和多方向去包裹	NPF	抗噪能力強	運行速度比較慢
19	魏志強等	蟻群算法	NPF	抗噪能力強	運行速度比較慢
20	陳家鳳等	小波變換	NPF	速度較快，精度較高	不適合用于處理欠采樣數據
21	武楠等	枝切法和有限元法	PF+NPF	精度較高	區域合并影響連續性
22	張婷等	邊緣檢測和 flynn 算法	PF	抗噪能力強	運行速度比較慢
23	朱勇建等	4 次 DCT	NPF	速度較快，精度較高	不適合用于處理欠采樣數據
24	錢克茂等	加窗傅里葉濾波和質量導向	PF	對噪聲、奇異點處理效果好	濾波會丟失一些信息
25	熊六東等	希爾伯特變換	NPF	速度較快	易產生 “拉線” 現象
26	錢曉凡等	基于掩膜和 LS 迭代法	NPF	易處理含有 “空洞” 的數據	多次迭代，費時
27	張志斌等	枝切法和有限元法	PF	精度較高	區域合并時會影響連續性
28	錢曉凡等	基于橫向剪切干涉的 LS 法	PF	精度較高，速度較快，適合于解決欠采樣問題	限于光場再現的應用領域
29	張會站等	改進的 Goldstein 和 Pritt 算法	PF	精度較高	運行速度比較慢
30	萬文博等	菱形算法	PF	算法簡單可消除 “拉線” 現象	不適合用于處理欠采樣數據
31	范琦等	傅里葉變換和橫向剪切干涉	NPF	適用于處理欠采樣數據	抗噪能力較弱
32	謝光明等	不敏粒子濾波	NPF	精度較高，效率較高	存在一定的誤差

通過比較，不難發現，國內對于位相解包裹算法大多是在國外基礎上進行改進得到的，因此，國內在這方面的研究和國外還有很大的差距。通過觀察表1和表2中各種算法的優缺點，可以發現：①各類位相解包裹算法都存在一定的優勢，也存在一些不足。到目前為止，還沒有發現一種能解決所有問題的算法；②噪聲、欠采樣問題是位相解包裹面臨的兩個主要困難，解決好這兩個主要困難，可以提高位相解包裹精度，獲得更準確的三維形貌信息。

常用算法基本思想

（1）路徑跟蹤算法：路徑跟蹤算法是依賴路徑的局部算法，通過選擇合適的積分路徑，繞開噪聲區，阻止誤差的全程傳遞，采用逐點比較的方法，計算量小，效率高，但處理噪聲、誤差嚴重的位相圖效果較差。該類算法主要包括六種：
①行列逐點解包裹算法，該算法是路徑跟蹤算法中最基本的算法，具有簡單易行、耗時少、效率高、理想情況下位相解包裹精度高等優點，但噪聲嚴重時，出現“拉線”現象，使解包裹結果出現嚴重的錯誤；
②枝切法（branch cut，BC），是最經典的路徑跟蹤算法，1986年由美國JPL實驗室Goldstein等人提出。該算法通過識別正負殘差點，然后連接鄰近的殘差點對，使殘差點的“極性”達到平衡，形成最優枝切線，確定不經過枝切線的積分路徑，防止誤差傳遞，但若該算法速度快、效率高，枝切位置放置不當，會形成“孤島區域”，從而導致嚴重錯誤；
③質量導向路徑跟蹤算法（quality guide，QG），是利用質量圖指導積分路徑的生成，使積分路徑開始于高質量的像素，避開低質量的像素，最大限度地阻止誤差傳播。該算法最初由Bone于1991年提出，利用相位的二次偏導數作為質量圖來指導位相解包裹。1995年，Querenga等提出了自適應的閾值，改進了Bone的方法。然后，Xu和Cumming首次將相干系數圖作為質量圖對像素進行排序，實現位相解包裹。這種算法不需要識別出殘差點，準確性比枝切法要好，但速度比枝切法慢，而且需要高質量的質量圖作為保證，若質量圖選取的不好，在噪聲過多的區域，會產生不能解調的“孤島區域”；
④掩模 - 切割法（mask - cut），該算法是枝切法與質量圖導向路徑跟蹤算法的結合，它首先識別殘差點，并用枝切線將殘差點連接起來，與Goldstein枝切法不同的是，它利用相位質量圖指導枝切線的設置，從這一點上來說它又與質量圖導向的路徑跟蹤法相似。該算法準確性較高，但速度比枝切法慢，且需要高質量的質量圖作為保證。在噪聲過多的區域，會形成“孤島”現象；
⑤區域生長算法（region grow），區域生長法從高質量的像素出發，根據已經經解包裹的像元和質量圖來決定下一個解包裹方向（從相鄰的八個方向中選），同時通過設定閾值來評定相鄰八個方向的平均偏差，優先選取平均偏差最小的方向進行解包裹。該算法可以實現同步位相解包裹。運算速度快，抗噪能力強，精度較高，但可能會形成“孤島區域”；
⑥菱形算法（rhombus algorithm，RA），該算法是通過識別1個種子點，然后依次向相鄰4點擴展，再把這4個點作為第二批種子點，依次向各自的4點鄰域擴展，以菱形軌跡遍歷所有的有效信息點，以達到整幅圖像位相解包裹的目的。算法速度較快，但在噪聲較多的區域，容易出現“拉線”現象。

（2）最小范數法：最小范數法是求出展開位相的相鄰像素位相差和包裹位相的相鄰像素位相差最小(L^{p})范數意義上的解，它是一種路徑獨立的全局算法，不需要識別殘差點。該算法計算量大，但是對誤差點的控制很好。

最小范數法從原理上來說就是進行曲面擬合，其關鍵就是范數的選取問題。當(p＞2)時，解包裹位相的曲面過于平滑，與真實位相梯度誤差較大；當(p＜2)時，解包裹的結果與局部位相梯度較匹配，而對權重的要求就很高，確定噪聲比較嚴重的區域權重是一個很困難的問題；當(p = 2)時，成為目前研究最多的最小范數法，即最小二乘位相解包裹方法，因為該類算法可盡量保證解包裹梯度和真實梯度一致，并且這時的位相解包裹問題可以轉化為求解離散泊松方程的問題，求解該方程的方法有很多，擴展了位相解包裹的思路。

最小二乘法中有一種特殊情況，即無權最小二乘位相解包裹算法。求解此種情況下的離散泊松方程的方法有：①基本迭代法，它包括(omega - Jacobi)迭代法、高斯 - 賽德爾（Gauss - Seidel）迭代法、超松弛（SOR）迭代法，迭代法收斂速度比較慢，因而目前應用較少；②基于快速傅里葉變換的最小二乘法（簡稱FFT - LS），該算法需要對包裹位相圖進行“鏡像”操作，也即對包裹位相進行周期延拓，從而使泊松方程滿足周期性，適合用FFT算法進行求解。由于采用的是FFT變換，該算法速度較快，抗噪能力強，不會出現“拉線”現象，但需要進行周期延拓會影響計算時間，而且由于采用FFT變換，所以要求圖像滿足(2^m+1)× (2^n+1)大小，有局限性；③基于離散余弦變換的最小二乘法（DCT - LS），該算法的原理和基于FFT的算法原理相同，它的優點是不需要進行周期延拓，但是它需要有紐曼邊界條件進行約束，因而速度比FFT算法快，抗噪能力也比較強，不會出現“拉線”現象，由于該算法具有平滑作用，會導致誤差傳遞；④多級格網法（multi - grid），該算法是對Gauss - Seidel迭代法進行改進得到的，目的是為了加快其收斂速度，基本算法與Gauss - Seidel法一致；⑤基于橫向剪切干涉的最小二乘法（LS - LS），橫向剪切干涉是指被測光場與其平移后的光場相干涉而形成的光場。對于數字全息來說，由于具有數字化優點，可以通過將數字全息重構光場做橫向和縱向平移即可實現剪切干涉，得到幾乎沒有包裹的剪切位相分布，大幅度降低了位相解包裹的難度。

在實際應用中，常常會出現位相跳變厲害、調制度低以及欠采樣的問題，使位相解包裹面臨著比較大的困難。為了解決欠采樣的問題，2011年，昆明理工大學錢曉凡老師等提出了一種基于橫向剪切干涉的最小二乘位相解包裹算法，該算法的思路為：對重構光場的復振幅分布沿(X(Y))方向上平移(s)個像素（通常取(s = 1)），得到光場復振幅的新分布；由于平移量極小，可忽略原光場在((m,n))與((m + s,n))點處的差異，兩光場相除可得到它們在((m,n))點處的位相差值，然后利用基于離散余弦變換的最小二乘法解包裹，即可獲得光場的展開位相分布。該算法優點：速度快，抗噪能力強，精度更高，適合解決還有欠采樣的圖像。算法缺點：由于使用基于DCT的最小二乘法進行解包裹運算，所以會造成誤差傳遞。

無權最小二乘位相解包裹算法沒有考慮殘差點的影響，因此會造成誤差傳遞，這種誤差可以通過加權來彌補。比較經典的加權最小二乘法主要有：演化的Gauss - Seidel迭代法、Picard法和預條件共軛梯度法（PCG）。對于加權最小二乘法，由于引入了迭代運算，運算時間比較長，且需要高質量的質量圖作保證，實際應用價值不大。然而，由于引入權重，所以抗噪能力較強。

綜上所述，最小二乘位相解包裹算法是最小范數算法中最常用的算法。由于加權算法引入了權重，可以減弱噪聲對位相解包裹的影響，因此從解包裹精度上來說，加權最小二乘法要比無權最小二乘法精度高，但是加權算法的運行速度比無權算法的慢。

3）基于最優估計的位相解包裹算法：最經典的基于最優估計的位相解包裹算法就是1996年Costantini提出的基于網絡規劃的最小費用流算法（minimum cost flow，MCF），這種算法的基本思想是最小化解包裹位相導數和包裹位相導數差的范數。該算法比較費時，而且隨著數據塊的增多，運行時間急劇增加。郭春生博士提出了改進算法，將數據分塊操作，然后再將解包裹后的位相合并起來。雖然可以提高速度，但是合并時的連續性受到了影響。為了提高位相解包裹的精度，王超等提出了一種基于不規則網絡下的網絡規劃算法，但是該算法增加了生成Delaunay三角網的時間開銷，使得運行速度更慢。后續提出的基于最優估計的算法有：遺傳算法、模擬退火算法等，這些算法也同樣存在運行速度慢的問題，不適合實時處理和動態監測領域，也不適合處理大面積的包裹位相圖。

（4）基于特征提取的位相解包裹算法：基于特征提取的位相解包裹方法是直接從位相圖干涉條紋入手，首先識別出位相條紋；然后根據條紋之間的相互關系，積分時每通過一個干涉條紋就加上或減去2π，最終實現整幅圖的位相解包裹。條紋識別的常見方法有兩種：①通過干涉圖的特征提取位相條紋，可以通過各種算子進行特征提取，如羅伯斯（Roberts）算子、索貝爾（Sobel）算子、拉普拉斯（Laplacian）算子等；②也可以通過區域分割，即通過相鄰像素位相差來獲取，條紋之間的相互關系在區域分割過程中就可以獲取。該算法不需要判斷殘差點，也不對誤差點進行任何處理，因而簡單快捷，但對條紋圖要求較高，需要有連續的、明顯的干涉條紋，條紋不連續的區域需要進行人工干預。必然會引入誤差，實際應用嚴重受限。

（5）基于傅里葉變換的位相解包裹算法：該類算法運算速度比較快，這是FFT自身的特點所決定的，特別是當圖像的大小是2的偶數次冪時，運算速度會更快。此外，由于在頻域中對數據進行操作不是點點一一對應的，能夠圓滿解決空域中的噪聲等問題。

基于傅里葉變換的經典算法有四種：基于四次傅里葉變換的算法（四次FFT）、基于二次傅里葉變換的算法（二次FFT）、基于四次離散余弦變換的算法（四次DCT）和基于橫向剪切干涉與傅里葉變換相結合的算法（LS - FFT）等。基于橫向剪切干涉與傅里葉變換相結合的算法比較適合解決欠采樣的問題，基于四次和二次傅里葉變換的算法比較適合處理強噪聲的情況，由此可見，將傅里葉變換引入到位相解包裹算法中來是很有發展前景的。

該類算法并不是無權最小二乘算法中的基于傅里葉變換的位相解包裹算法，不過也可以把基于傅里葉變換的最小二乘解包裹算法歸為這類算法中來。

解包裹算法的分類比較

每類算法各有優缺點，它們的具體情況列于下表。

表3 相位解包裹算法比較

算法分類	算法原理	優點	缺點	前景
路徑跟蹤算法	通過識別殘差點或者依靠質量圖尋找最佳積分路徑來實現位相解包裹	對于噪聲少的情況，可以得到比較滿意的結果	噪聲比較強，就會出現 “拉線” 和 “孤島” 區域	對于處理一些噪聲弱的圖像是不錯的選擇
最小Lp范數算法	即求出解包裹位相的相鄰像素位相差和包裹位相的相鄰像素位相差最小Lp范數意義上的解	運算穩定性好，速度較快，不需要識別誤差點，抗噪能力強	誤差嚴重的區域，容易造成誤差傳遞，導致精度降低	最小二乘算法是目前比較常用的算法，有待進一步發展
基于最優估計算法	即最小化解包裹位相導數和包裹位相導數的差異	能有效抑制誤差點導致的位相誤差傳播，且不需要識別誤差點，效果較好	由于計算量非常大，運行速度非常慢，不適合做大面積處理	理論復雜，研究進展較慢，不適合于實時動態監測
基于特征提取算法	識別出位相條紋，積分時每通過一個干涉條紋就加上或減去2π，最終實現整幅圖的解包裹	不需要識別誤差點	條紋必須清楚，條紋不連續區域需要進行人工干預，會引入誤差	限制太大，實際應用性不強
基于傅里葉變換的算法	將傅里葉變換引入位相解包裹算法中，即將空域引入到頻域中來，有其獨特的優勢	處理速度非常快，尤其是處理 2 的偶數次冪的圖像，解包裹精度較高	有些相關算法不適合于解決欠采樣問題	速度較快，該類算法是比較有發展前景的一類算法

通過表可知，目前各類算法都有自己的優缺點，因此，相互借鑒、相互組合優化，尋找合適的適用范圍是以后的必然趨勢。

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▁▂▃▅▆▇ 博士研究生 ，研究方向主要涉及定量相位成像領域，具體包括干涉相位成像技術(如**全息干涉?**、散斑干涉?等)、非干涉法相位成像技術(如波前傳感技術?，相位恢復技術?)、條紋投影輪廓術(相位測量偏折術)、此外，還對各種相位解包裹算法?，相干噪聲去除算法?等開展過深入的研究。
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