加一：從簡單問題到復雜邊界的深度思考

引言

在算法世界里，有些問題看似簡單，實則暗藏玄機，其中“加一”問題就是一個典型例子。所謂“加一”，通常指的是給一個由數字組成的數組表示的整數加一，這聽起來簡單，但一旦遇到各種邊界情況，就變成了考驗代碼健壯性的試煉場。

今天，我們就從這個問題出發，分析不同的邊界情況，并通過多種解法讓這個簡單問題變得更具挑戰性！

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一、問題描述

我們有一個非負整數，它以數組的形式存儲，例如：

[1, 2, 3]

表示的是整數 123，我們要對這個數加一，然后返回新的數組。例如：

輸入: [1, 2, 3]
輸出: [1, 2, 4]

看起來很簡單？但邊界情況可不少，比如：

• 進位問題：如何處理 [9, 9, 9] 變成 [1, 0, 0, 0]？
• 長度變化：當所有數字都是 9，數組長度如何調整？
• 空數組或異常輸入：如何保證代碼的魯棒性？

我們來一步步拆解這些情況！

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二、基本解法

最直觀的做法是從數組末尾開始處理進位，直到找到不需要進位的數字：

def plus_one(digits):"""經典加一算法，從末尾開始處理進位問題"""for i in range(len(digits) - 1, -1, -1):  # 逆序遍歷if digits[i] < 9:  # 如果當前數字小于9，直接加一digits[i] += 1return digitsdigits[i] = 0  # 若等于9，則當前位變成0，繼續進位# 如果所有位都是9，進位后需要新添加一位1return [1] + digits# 示例測試
print(plus_one([1, 2, 3]))  # 輸出 [1, 2, 4]
print(plus_one([9, 9, 9]))  # 輸出 [1, 0, 0, 0]

這里，我們采用逆序遍歷，保證最少的計算量，同時使用 return 及時結束函數，減少不必要的循環。

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三、特殊邊界情況分析

1. 處理全 9 進位

進位的極端情況是 [9, 9, 9] 變成 [1, 0, 0, 0]，這個情況在我們的基本解法中已經妥善處理，即新數組首位加 1，其他位置變 0。

2. 處理空數組

如果輸入是 []，我們需要判斷：

def plus_one_safe(digits):if not digits:  # 處理空數組return [1]return plus_one(digits)print(plus_one_safe([]))  # 輸出 [1]

這樣保證了即使輸入異常，我們依然能正確處理。

3. 處理非整數輸入

如果數組內元素不全是數字，如 ["a", 2, 3]，我們要檢查輸入：

def plus_one_validate(digits):if not all(isinstance(x, int) and x >= 0 for x in digits):  # 確保都是非負整數raise ValueError("輸入必須是非負整數數組")return plus_one(digits)print(plus_one_validate(["a", 2, 3]))  # 拋出異常

這樣可以防止程序崩潰，并幫助用戶理解輸入格式。

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四、進階優化：使用大數計算

如果數組很長，比如 [9, 9, ..., 9]（有 10000 個 9），直接進行數組運算效率較低，此時可以轉換成整數處理：

def plus_one_big(digits):num = int("".join(map(str, digits))) + 1  # 轉換為整數再加一return list(map(int, str(num)))  # 再轉回數組print(plus_one_big([9, 9, 9]))  # 輸出 [1, 0, 0, 0]

這個方法適用于大數計算，避免遍歷，直接操作字符串。

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五、總結

這個看似簡單的“加一”問題，其實隱藏著多個邊界挑戰：

• 需要考慮進位邏輯
• 需要處理空數組
• 需要防止非法輸入
• 需要優化大數計算

不同的解法各有優劣：

解法	優勢	適用場景
基本解法	邏輯清晰、處理進位	常規數據
輸入校驗	防止異常崩潰	多種類型數據
大數計算	處理超長數組	需要高效計算