煙幕干擾彈主要通過化學燃燒或爆炸分散形成煙幕或氣溶膠云團,在目標前方特定空域形成遮蔽，干擾敵方導彈，具有成本低、效費比高等優點。隨著煙幕干擾技術的不斷發展，現已有多種投放方式完成煙幕干擾彈的定點精確拋撒,即在拋撒前能精確控制煙幕干擾彈到達預定位置，通過時間引信時序控制起爆時間。
現考慮運用無人機完成煙幕干擾彈的投放策略問題。具有長續航能力的無人機掛載某型煙幕干擾彈在特定空域巡飛，受領任務后，無人機投放煙幕干擾彈在來襲武器和保護目標之間形成煙幕遮蔽。每架無人機投放兩枚煙幕干擾彈至少間隔1s。煙幕干擾彈脫離無人機后，在重力作用下運動。煙幕干擾彈起爆后瞬時形成球狀煙幕云團，由于采用特定技術，該煙幕云團以3 m/s的速度勻速下沉。據試驗數據知，云團中心 10 m范圍內的煙幕濃度在起爆 20s內可為目標提供有效遮蔽。
來襲武器為空地導彈，該型導彈飛行速度 300 m/s。導彈的飛行方向直指一個為掩護某半徑 7m、高 10m 的圓柱形固定目標而專門設置的假目標。以假目標為原點，水平面為 xy平面，真目標下底面的圓心為(0,200,0)。警戒雷達發現來襲導彈時，3 枚導彈 M1、M2.M3 分別位于(20000,0,2000)、(19000,600,2100)、(18000,-600,1900);5 架無人機的位置信息分別為 FY1(17800,0,1800)、FY2(12000,1400,1400)、FY3(6000,-3000,700)、FY4(11000,2000,1800)、FY5(13000,-2000,1300)。
在導彈來襲過程中，通過投放煙幕干擾彈盡量避免來襲導彈發現真目標。控制中心在警戒雷達發現目標時，立即向無人機指派任務。無人機受領任務后，可根據需要瞬時調整飛行方向，然后以 70~140 m/s 的速度等高度勻速直線飛行。每架無人機的航向、速度可不相同，
但一旦確定就不再調整。為實現更為有效的煙幕干擾效果，需設計煙幕干擾彈的投放策略,主要包括無人機飛行方向、飛行速度、煙幕干擾彈投放點、煙幕干擾彈起爆點等。請建立數學模型，針對不同情形，分別設計煙幕干擾彈的投放策略，使得多枚煙幕干擾彈對真目標的有效遮蔽時間盡可能長。不同煙幕干擾彈的遮蔽可不連續。
問題1 利用無人機 FY1 投放1枚煙幕干擾彈實施對 M1 的干擾,若 FY1以 120m/s 的速度朝向假目標方向飛行，受領任務 15s后即投放1枚煙幕干擾彈，間隔 3.6s后起爆。請給出煙幕干擾彈對 M1的有效遮蔽時長。
問題一模型的建立與求解
5.1 問題背景分析
無人機FY1需要向來襲導彈M1投放煙幕干擾彈，干擾彈的作用是通過在導彈與目標之間形成煙幕遮蔽，防止導彈鎖定真目標。在此過程中，關鍵因素包括：
無人機的飛行速度和方向。
煙幕干擾彈的投放時間與起爆時間。
煙幕云團的下沉速度與有效遮蔽范圍。
導彈的飛行軌跡和速度。
5.1.1 煙幕云團的特性
煙幕云團的下沉速度是3 m/s，且在起爆后的20秒內，在煙幕中心10米范圍內對目標有效。假設煙幕云團的作用范圍是球形的，且遮蔽效果在20秒內持續。煙幕的遮蔽效果的持續時間為20秒。
5.1.2 導彈的飛行軌跡
導彈M1的飛行速度為300 m/s，飛行方向直指假目標，起始位置為(20000, 0, 2000)，目標位置為(0, 200, 0)。導彈飛行的路徑是直線軌跡，飛行方向和時間可以通過目標位置與初始位置的矢量來計算。
5.2 無人機的飛行軌跡與煙幕投放
5.2.1 無人機的飛行速度和方向
無人機FY1的飛行速度為120 m/s，飛行方向為朝向假目標的方向。假目標的位置為(0, 200, 0)，FY1的起始位置為(17800, 0, 1800)。可以通過這些數據計算出無人機的飛行方向向量。
無人機的飛行方向向量是從FY1到假目標的向量，可以表示為：
飛行速度是120 m/s，飛行方向單位化后乘以速度得到無人機的速度向量。
5.2.2 煙幕干擾彈的投放點與起爆點
根據題目描述，FY1在受領任務1.5秒后投放煙幕干擾彈，且煙幕干擾彈投放與起爆之間的時間間隔為3.6秒。煙幕干擾彈的投放位置可以通過無人機的當前位置加上飛行的時間來計算。
煙幕干擾彈的下落與飛行是獨立的，且下落速度為3 m/s。煙幕干擾彈的有效遮蔽時間為20秒，即在20秒內，煙幕云團對目標形成遮蔽效果。
5.3 數學建模
5.3.1 無人機的飛行軌跡
根據無人機的初始位置和飛行速度，可以計算出無人機在某一時刻的位置。設無人機FY1的初始位置為，飛行速度為v = 120 ，飛行方向為單位向量，則無人機在時間 t 時刻的位置為：
其中分別是飛行方向單位向量的分量。
5.3.2 導彈的飛行軌跡
5.3.3 煙幕干擾彈的起爆與遮蔽時間
煙幕干擾彈的起爆時間為投放后3.6秒，起爆后煙幕云團以3 m/s的速度下沉。假設煙幕的有效遮蔽時間為20秒，那么煙幕云團的中心位置隨著時間的變化是：
其中是煙幕干擾彈投放點的高度，是煙幕干擾彈的投放時間。
煙幕對目標的有效遮蔽時間取決于導彈與煙幕云團的相對位置，當導彈進入煙幕的有效遮蔽范圍時，煙幕的遮蔽作用開始，直到導彈脫離有效遮蔽范圍為止。
5.3.4 有效遮蔽時間的計算
導彈與煙幕云團的有效遮蔽時間可以通過計算導彈軌跡與煙幕云團的相對距離來求得。當導彈進入煙幕云團的有效遮蔽范圍時，煙幕開始生效。假設煙幕云團的遮蔽范圍為10米，當導彈進入該范圍時，開始計算有效遮蔽時間。
5.4 問題一的求解與分析
問題2 利用無人機 FY1 投放1枚煙幕干擾彈實施對 M1 的干擾，確定 FY1 的飛行方向、飛行速度、煙幕干擾彈投放點、煙幕干擾彈起爆點，使得遮蔽時間盡可能長。
- 問題二模型的建立與求解
6.1 建模框架
在本問題中，我們需要設計一種優化策略，使得無人機投放的煙幕干擾彈能夠在導彈飛行過程中最大化遮蔽時間。為此，我們需要考慮以下幾個方面：
導彈的飛行軌跡：導彈M1是從目標區域飛向假目標區域的高速飛行物，其速度為300 m/s。導彈的飛行軌跡應該是直線型的，因此可以通過簡單的線性運動方程進行建模。
- 無人機的飛行軌跡：無人機FY1的飛行方向、速度、飛行路徑是關鍵因素。我們將通過優化無人機的飛行方向和速度來最大化煙幕干擾彈的有效遮蔽時間。
- 煙幕的物理特性：煙幕干擾彈在投放后會在起爆后以3 m/s的速度下沉。我們還假設煙幕的有效遮蔽時間為20秒，并且遮蔽范圍是一個以煙幕起爆點為中心的球形區域，隨著時間的推移，煙幕的遮蔽范圍逐漸增大。
- 優化目標：我們的優化目標是通過調整無人機的飛行路徑和煙幕的起爆點，使得煙幕能夠覆蓋導彈在飛行過程中盡可能長的時間，從而實現更高效的干擾。
6.2 導彈的飛行軌跡建模
6.3 無人機的飛行軌跡建模
無人機FY1的飛行速度為，其初始位置為 ，飛行方向為 ，這兩個參數將決定無人機的軌跡。無人機的飛行軌跡可以用下列參數化方程來表示：
其中，是無人機的飛行方向單位向量，是無人機的飛行速度。無人機的飛行路徑將受到飛行速度、方向和飛行時間的影響。我們的目標是通過優化無人機的飛行路徑，使得無人機能夠合理地投放煙幕干擾彈。
6 4. 煙幕干擾彈的投放和擴展模型
煙幕干擾彈的投放由無人機控制，其在投放后會根據重力下沉，速度為 3 m/s。假設煙幕干擾彈在投放后的秒內起爆，并開始擴展。煙幕的擴展是一個漸變的過程，在秒內，煙幕的半徑會隨著時間增加。我們可以用如下公式來表示煙幕擴展的半徑：
其中，是煙幕的初始半徑，通常為0，是煙幕的擴展速度。
煙幕在起爆后的有效遮蔽時間為 20 秒。煙幕的有效遮蔽范圍隨著時間的推移逐漸增大，且煙幕形成的區域是一個球形區域，中心位于煙幕的起爆點，半徑隨時間變化。
6.5 導彈與煙幕的遮蔽關系
6.6 優化目標與優化問題
我們希望最大化導彈的有效遮蔽時間，這意味著我們需要優化無人機的飛行方向、飛行速度、煙幕的投放點以及起爆時間等因素。優化目標可以表示為：
6.7 問題二的求解與分析
問題3利用無人機 FY1 投放 3枚煙幕干擾彈，實施對 M1的干擾。請給出煙幕干擾彈的投放策略，并將結果保存到文件result1.xlsx 中(模板文件見附件)。
問題 4 利用 FY1、FY2、FY3 等3架無人機，各投放1枚煙幕干擾彈，實施對 M1的干擾。請給出煙幕干擾彈的投放策略，并將結果保存到文件 result2.xlsx 中(模板文件見附件)。
問題5 利用5架無人機，每架無人機至多投放3枚煙幕干擾彈，實施對 M1、M2、M3等3枚來襲導彈的干擾。請給出煙幕干擾彈的投放策略,并將結果保存到文件 result3.xlsx 中(模板文件見附件)。
完整成品展示：
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