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文章傳送門：高數 不定積分（4-2）：換元積分法

今天再更一篇:)
上篇文章，我們在復合函數求導法則的基礎上，得到了換元積分法。這篇文章，我們就要利用兩個函數乘積的求導法則，了解另一個求積分的方法——分部積分法。

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分部積分法

😕 一個小問題

問題：求 $\int x^2\ln x\mathrm{d}x$.

我們發現，這個積分用換元積分法不易求得，但是，我們看到了關鍵：$x^2\ln x$ 具有乘積形式，所以它很有可能就來自某兩個函數乘積求導的一部分。具體應該怎么做呢？接下來我們就要引出神奇的分部積分法來解決這個問題了。

? 分部積分法是怎么來的？

我們知道兩個函數乘積的導數公式：

設 $u=u(x)$，$v=v(x)$ 具有連續導數，則 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

也就是“前導后不導+后導前不導”。

移項，就可以得到：$u{v}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }?u^{\prime }v$.
我們對這個式子兩邊求不定積分，就會得到這樣一個式子：$$\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x=uv?\int u^{\prime }v\mathrm{d}x.$$ 那么這個公式，就稱為分部積分公式。為了簡便起見，我們也可以將這個公式寫成：$$\int u\mathrm{d}v=uv?\int v\mathrm{d}u.$$ 就像上面的問題一樣，當求 $\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x$ 有困難，而求 $\int u^{\prime }v\mathrm{d}x$ 相對容易時，分部積分公式就可以發揮作用了。

我們先來解決上面的問題：求 $\int x^2\ln x\mathrm{d}x$.

該怎么求呢？我們首先需要選出分部積分公式左端的“u”和“dv”。確定了它們，才可以進行后續的運算。根據被積函數的形式，我們可以設 $u=\ln x$，$\mathrm{d}v=x^2\mathrm{d}x$ 即 $v=\frac{1}{3}{x}^3$，下面就可以根據分部積分公式運算了。

$I=\frac{1}{3}\int \ln x\mathrm{d}(x^3)=\frac{1}{3}(\ln x?x^3?\int x^3\mathrm{d}\ln x)=\frac{1}{3}(x^3\ln x?\int x^3?\frac{1}{x}\mathrm{d}x)=\frac{1}{3}(x^3\ln x?\frac{1}{3}{x}^3)+C$.

注意常系數可以自由進出積分號（不定積分的一個性質）。

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🌰 幾個小例子

我們再來看幾個書上的例子：

eg1. 求 $\int x\cos x\mathrm{d}x$.

這個積分用換元公式也不容易求出結果，所以我們試試用分部積分法來求。我們設 $u=x$，$\mathrm{d}v=\cos x\mathrm{d}x$，則 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$，$v=\sin x$.
代入分部積分公式，可得：$I=x\sin x?\int \sin x\mathrm{d}x$.
而 $\int v\mathrm{d}u=\int \sin x\mathrm{d}x$ 容易積出，$\int \sin x\mathrm{d}x=?\cos x+C$，所以：
$I=x\sin x+\cos x+C.$

*但是我們發現，如果設 $u=\cos x$，$\mathrm{d}v=x\mathrm{d}x$，那么通過分部積分公式得出的被積表達式會更不容易求出。所以在使用分部積分法時，一定要注意 $u$ 和 $\mathrm{d}v$ 的選取。其實根據上面的兩個例子，我們就能大概感覺到選取 $u$ 和 $\mathrm{d}v$ 的規則了：

• $v$ 要容易求得；
• $\int v\mathrm{d}u$ 要比 $\int u\mathrm{d}v$ 更容易積出。

eg2. 求 $\int x{e}^x\mathrm{d}x$.

我們可以嘗試用簡化版的分部積分公式寫：
$I=\int x\mathrm{d}(e^x)=x{e}^x?\int e^x\mathrm{d}x=x{e}^x?e^x+C=(x?1)e^x+C$.

eg3. 求 $\int x^2{e}^x\mathrm{d}x$.

設 $u=x^2$，$\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$
則 $\int x^2{e}^x\mathrm{d}x=\int x^2\mathrm{d}(e^x)=x^2{e}^x?2\int x{e}^x\mathrm{d}x$.
根據 eg2 的結論，再用一次分部積分法就可以了。最終可得結果：$I=e^x(x^2?2x+2)+C$.

通過上面的例子我們可以知道，如果被積函數是冪函數和正（余）弦函數或冪函數和指數函數的乘積，那么就可以考慮分部積分法，并且設冪函數為 $u$. 這樣用一次分部積分法就可以使冪函數的冪次降低一次（假定冪指數是正整數）。

eg4. 求 $\int \arccos x\mathrm{d}x$.

設 $u=\arccos x$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$
則 $I=x\arccos x?\int x\mathrm{d}(\arccos x)=x\arccos x+\int \frac{x}{\sqrt{1?x^2}}\mathrm{d}x=x\arccos x?\frac{1}{2}\int \frac{1}{(1?x^2{)}^{\frac{1}{2}}}\mathrm{d}(1?x^2)=x\arccos x?\sqrt{1?x^2}+C$.

我們也可以知道，如果被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就可以考慮分部積分法，并設對數函數或反三角函數為 $u$.

還有一些例子，方法比較典型。

eg5. 求 $\int e^x\sin x\mathrm{d}x$.

$I=\int \sin x\mathrm{d}(e^x)=e^x\sin x?\int e^x\cos \mathrm{d}x$.
對等式右端的積分再用一次分部積分法，得：$I=e^x\sin x?\int \cos x\mathrm{d}(e^x)=e^x\sin x?e^x\cos x?\int e^x\sin x\mathrm{d}x$.
我們將上式右端的第三項進行移項，再在等式兩邊同除以 2，就可以得到 $I=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x?\cos x)+C$.

這種方法就有點“解方程”的感覺。
再次提醒什么時候 $+C$：當所有積分號都去掉的時候，就要加上任意常數 $C$.

同時，在積分的過程中，我們也會兼用換元法與分部積分法，比如??

eg6. 求 $\int e^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$.

我們令 $\sqrt{x}=t$，則 $x=t^2$，$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$. 所以 $I=2\int t{e}^t\mathrm{d}t$.
再利用 eg2 的結果，并用 $t=\sqrt{x}$ 代回，便得到所求積分：$I=2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}?1)+C$.

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? 最終總結！

• 分部積分法：恰當地選取 $u$ 和 $\mathrm{d}v$.
• 一般可依次選取 $u$ 的順序為：反對冪指三，即對于 $\int x^a$ ? $e^x$ / $\ln x$ / 三角函數 / 反三角函數 $\mathrm{d}x$：
  • 將 $e^x$，三角函數放在 $\mathrm{d}$ 后，而 $\ln x$，反三角函數留在 $\mathrm{d}$ 前。
  • 兩個函數相乘，把其中一個函數往后拿，誰容易積分誰就往后拿。

什么意思呢？$u$ 和 $\mathrm{d}v$ 的選取就像元素的化學性質。$e^x$ 容易積分，就好比金屬銫遇到水會炸。由于 $e^x$ 和三角函數（$\sin x$ 和 $\cos x$）容易積分，所以在選擇 $\mathrm{d}v$ 的時候優先選它們，而選擇 $u$ 的時候則會考慮那些不那么容易積分的函數，就讓它們賴在那里不動，比如說反三角和對數函數。而冪函數就像是中間人，它可以充當 $u$，也可以充當 $\mathrm{d}v$，這種時候就得看情況了。

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后話

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