當使用定焦鏡頭時，仍然可以調整鏡頭與感光元件（或膠片）之間的距離時，使得不同距離的物體在感光元件上形成清晰的影像。對此可以用高斯透鏡公式進行解釋：

一、透鏡成像的基本原理

在光學中，一個基本的公式是：

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$$

其中：

• $f$：鏡頭的焦距（焦距是鏡頭本身的屬性，固定不變）
• $u$：物距，即被攝物體到鏡頭的距離
• $v$：像距，即鏡頭到感光元件（如相機傳感器）的距離

這個公式叫做高斯透鏡公式，它描述了光線通過鏡頭后在感光元件上成像的條件。

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二、高斯透鏡公式推導

推導步驟

1. 相似三角形關系：

   • 假設有一個物體通過薄透鏡成像。根據圖像，我們有兩對相似三角形：△ABO∽△A’B’O 和 △COF∽△A’B’F。
   • 從 △ABO∽△A’B’O 得到的比例關系為：$$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{u}{v}$$
   • 從 △COF∽△A’B’F 得到的比例關系為：$$\frac{CO}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{f}{v?f}$$

2. 矩形性質的應用：

   • 因為四邊形 ABOC 是一個矩形，所以有 ( AB = CO )。

3. 等式轉換：

   • 由上述兩點可以知道：$$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{CO}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{f}{v?f}$$
   • 將$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{u}{v}$代入上式得：$$\frac{u}{v}=\frac{f}{v?f}$$

4. 交叉相乘并簡化：

   • 交叉相乘后得到：$u(v?f)=vf$
   • 展開并重新排列得到：$uv?uf=vf$

5. 移項與除法操作：

   • 由于 $uvf\ne 0$，我們可以兩邊同時除以 $uvf$ 來得到更簡潔的形式：
     $$\frac{uv}{uvf}?\frac{uf}{uvf}=\frac{vf}{uvf}$$
   • 簡化上述表達式可得：$$\frac{1}{f}?\frac{1}{v}=\frac{1}{u}$$

6. 最終形式：

   • 最后將方程調整為標準形式：$$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$$

三、高斯透鏡公式跟針孔模型的關系

針孔相機模型

針孔相機模型是一種理想化的幾何模型，它假設光線通過一個無窮小的孔（針孔）進入相機并在對面的平面上形成倒立的實像。在針孔模型中，并沒有使用透鏡來聚焦光線，因此不存在焦距的概念（即沒有(f)）。在這個模型下，圖像平面的位置相對于針孔的距離是一個固定的參數，通常稱為“焦距”以方便描述，但它與光學透鏡中的焦距概念不同。針孔模型主要用于簡化場景理解、3D 重建等任務中的數學計算，尤其是在不需要考慮鏡頭畸變的情況下。

高斯透鏡公式

另一方面，高斯透鏡公式適用于帶有透鏡系統的相機，其中涉及到物距(u)、像距(v)和透鏡焦距(f)之間的關系。這個公式描述了如何根據物體距離調整像距（或反之），以便在感光元件上獲得清晰的影像。

二者關系

當使用針孔模型進行相機標定時，實際上是在利用一種簡化的數學模型來近似真實世界的成像過程。在這種情況下，“焦距”指的是從針孔到圖像傳感器的距離，這與透鏡系統中的焦距概念并不直接對應。因此，在針孔相機模型中，傳感器位置固定地放置在所謂的“焦距”處，并不意味著違反了高斯透鏡公式；這是因為兩者基于完全不同的物理基礎——一個是無透鏡的理想化情況，另一個則是基于實際透鏡的光學性質。

總結來說，針孔相機模型和應用高斯透鏡公式的透鏡成像模型是兩個獨立的概念。針孔模型用于簡化成像過程，而高斯透鏡公式則精確描述了包含透鏡的成像系統的行為。將針孔模型應用于相機標定時，實際上是選擇了一種簡化的方式來處理成像問題，而不是直接應用或違背了高斯透鏡公式。

盡管在名稱上針孔相機的“焦距”和高斯透鏡中的像距都使用了(f)這一符號，但它們代表的意義并不完全相同：

• 針孔相機模型中的“焦距”(f)是一個固定值，它定義了針孔到成像平面的距離，且不涉及光學聚焦的概念。
• 而高斯透鏡公式中的像距(v)則依賴于具體的光學設置，包括物距(u)和透鏡的物理特性（即焦距，并且可以通過調整這些參數來獲得不同的成像效果。

針孔模型的f更偏向于高斯透鏡公式里的v

1. 針孔模型與像距

• 在針孔相機模型中，所謂的“焦距”(f)實際上是指從針孔到成像平面（傳感器或膠片）的距離。這個距離決定了圖像的大小和視角。
• 當針孔相機的“焦距”(f)增加時，相當于增大了像距(v)，這會導致視場變窄，物體在成像平面上的投影變小；反之，當“焦距”減小時，視場變寬，物體的投影變大。

2. 高斯透鏡公式中的像距(v)

• 通過調整鏡頭的位置可以使得像距(v)發生變化，從而讓不同距離上的物體能夠在感光元件上形成清晰的影像。