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1. 海盜分金博弈

五個海盜搶走了一個裝滿 100 枚金幣的箱子。作為一群民主的海盜，他們同意以下分配戰利品的方法:最資深的海盜將提議分配硬幣。所有的海盜，包括最資深的海盜，都會進行投票。如果至少50%的海盜(在本例中為3名海盜)接受提議，則黃金按提議進行分配。如果沒有，則將最高級的海盜喂給鯊魚，然后從下一個最高級的海盜開始這個過程.…重復這個過程，直到一個計劃被批準。你可以假設所有的海盜都是完全理性的：他們首先想活下去，其次是獲得盡可能多的金子。最后，作為嗜血的海盜，如果在其他方面均等的結果之間做出選擇，他們希望船上的海盜更少。

Q: 金幣最終將如何分配?

A: 根據海盜的分配規則和理性行為（優先生存、其次最大化金幣、最后在金幣相同情況下希望船上海盜更少），我們從海盜數量最少的情況開始逆向推理，逐步推導出五個海盜時的分配方案。

1. 一個海盜（只剩 P5）：

   • P5 提出方案，拿走所有 100 枚金幣。
   • 投票：僅 P5 一人，100% 支持，方案通過。
   • 分配：P5 得到 100。

2. 兩個海盜（P4 和 P5）：

   • P4 提出方案。需要至少 50% 支持（2 的 50% 為 1，即至少一票支持）。
   • P4 會投票支持自己的方案，因此即使 P5 反對，方案也能通過（P4 一票支持即滿足條件）。
   • P4 可以提出：自己拿 100，P5 拿 0。
   • 分配：P4 得到 100，P5 得到 0。

3. 三個海盜（P3、P4、P5）：

   • P3 提出方案。需要至少 50% 支持（3 的 50% 為 1.5，向上取整需至少 2 票支持）。
   • P3 會投票支持自己，因此還需要一票支持。
   • 如果方案被拒絕，P3 被淘汰，進入兩個海盜情況（P4 得 100，P5 得 0）。
   • P5 在拒絕情況下得 0，因此 P3 可以賄賂 P5：給 P5 1 枚金幣，P5 會支持（1 > 0）。
   • P4 在拒絕情況下得 100，但 P3 無需賄賂 P4（成本高）。
   • 方案：P3 得 99，P4 得 0，P5 得 1。
   • 投票：P3 支持、P5 支持（兩票支持），方案通過。

4. 四個海盜（P2、P3、P4、P5）：

   • P2 提出方案。需要至少 50% 支持（4 的 50% 為 2，需至少 2 票支持）。
   • P2 會投票支持自己，因此還需要一票支持。
   • 如果方案被拒絕，P2 被淘汰，進入三個海盜情況（P3 得 99，P4 得 0，P5 得 1）。
   • P4 在拒絕情況下得 0，因此 P2 可以賄賂 P4：給 P4 1 枚金幣，P4 會支持（1 > 0）。
   • P3 在拒絕情況下得 99，賄賂成本高；P5 在拒絕情況下得 1，如果給 1 枚，金幣相同但海盜更少時 P5 可能反對（嗜血偏好），因此賄賂 P4 更劃算。
   • 方案：P2 得 99，P3 得 0，P4 得 1，P5 得 0。
   • 投票：P2 支持、P4 支持（兩票支持），方案通過。

5. 五個海盜（P1、P2、P3、P4、P5）：

   • P1 提出方案。需要至少 50% 支持（5 的 50% 為 2.5，向上取整需至少 3 票支持）。
   • P1 會投票支持自己，因此還需要兩票支持。
   • 如果方案被拒絕，P1 被淘汰，進入四個海盜情況（P2 得 99，P3 得 0，P4 得 1，P5 得 0）。
   • P3 在拒絕情況下得 0，因此 P1 可以賄賂 P3：給 P3 1 枚金幣，P3 會支持（1 > 0）。
   • P5 在拒絕情況下得 0，因此 P1 可以賄賂 P5：給 P5 1 枚金幣，P5 會支持（1 > 0）。
   • P2 在拒絕情況下得 99，賄賂成本高；P4 在拒絕情況下得 1，如果給 1 枚，金幣相同但海盜更少時 P4 可能反對，因此賄賂 P3 和 P5 更劃算。
   • 方案：P1 得 98，P2 得 0，P3 得 1，P4 得 0，P5 得 1。
   • 投票：P1 支持、P3 支持、P5 支持（三票支持），方案通過。

根據上述推理過程，我們可以生成如下表格來展示分配方案：

海盜數量	P5	P4	P3	P2	P1
1					100
2				0	100
3			1	0	99
4		0	1	0	99
5	1	0	1	0	98

在五個海盜的情況下，金幣分配如下：

• 最資深海盜（P1）：98 枚金幣
• 第二資深海盜（P2）：0 枚金幣
• 第三資深海盜（P3）：1 枚金幣
• 第四資深海盜（P4）：0 枚金幣
• 最年輕海盜（P5）：1 枚金幣

總金幣：98 + 0 + 1 + 0 + 1 = 100 枚。

Python實現：

要解決海盜分金問題，我們可以使用逆向歸納法（從最少海盜數開始逐步推導到5個海盜），并通過Python代碼實現這一邏輯。以下是完整的代碼實現：

from typing import Dict, List, Tupledef pirate_allocation(total_pirates: int) -> Dict[int, int]:"""計算海盜分配金幣的最優策略。Args:total_pirates (int): 海盜總數。Returns:Dict[int, int]: 每個海盜的金幣分配方案，鍵為海盜編號（從1到total_pirates），值為金幣數量。"""# 存儲不同海盜數量的分配方案allocations: Dict[int, Dict[int, int]] = {}# 基礎情況：1個海盜allocations[1] = {1: 100}# 從2個海盜開始逐步計算到指定數量的海盜for n in range(2, total_pirates + 1):# 獲取n-1個海盜時的分配方案prev_alloc: Dict[int, int] = allocations[n - 1]# 計算每個非提議者海盜在下一輪（n-1海盜）中的收益next_round_gains: List[Tuple[int, int]] = []for i in range(2, n + 1):  # 當前海盜編號i（從2到n）# 在下一輪中，當前海盜的編號變為i-1gain_in_next: int = prev_alloc.get(i - 1, 0)next_round_gains.append((i, gain_in_next))# 按下一輪收益升序排序，收益相同則按海盜編號升序next_round_gains.sort(key=lambda x: (x[1], x[0]))# 計算通過方案所需總票數（向上取整）total_votes_needed: int = (n + 1) // 2votes_to_buy: int = total_votes_needed - 1  # 需要收買的海盜數# 初始化當前分配方案（所有海盜0金幣）curr_alloc: Dict[int, int] = {pirate: 0 for pirate in range(1, n + 1)}total_cost: int = 0# 收買代價最小的votes_to_buy個海盜for idx in range(votes_to_buy):pirate_id, next_gain = next_round_gains[idx]bribe_amount: int = next_gain + 1  # 必須比下一輪收益多至少1金幣curr_alloc[pirate_id] = bribe_amounttotal_cost += bribe_amount# 剩余金幣歸提議者（1號海盜）curr_alloc[1] = 100 - total_cost# 存儲當前海盜數的分配方案allocations[n] = curr_allocreturn allocations[total_pirates]# 計算5個海盜的分配方案
result: Dict[int, int] = pirate_allocation(5)
print("金幣分配方案（海盜編號從最資深到最年輕海盜）：")
for pirate, coins in sorted(result.items()):print(f"海盜{pirate}: {coins}枚金幣")

輸出結果

金幣分配方案（海盜編號從最資深到最年輕海盜）：
海盜1: 98枚金幣
海盜2: 0枚金幣
海盜3: 1枚金幣
海盜4: 0枚金幣
海盜5: 1枚金幣

代碼邏輯詳解

1. 基礎情況處理：當只有1個海盜時，他獨占全部100枚金幣。
2. 逆向歸納：
   • 從2個海盜開始逐步計算到5個海盜。
   • 對于每個海盜數量n：
     • 獲取n-1個海盜時的分配方案（作為下一輪基準）。
     • 計算每個非提議者海盜（編號2~n）在下一輪中的預期收益。
     • 將這些海盜按下一輪收益排序（收益低者優先，收益相同則按編號升序）。
     • 計算通過方案所需票數：ceil(n/2)（通過整數除法(n+1)//2實現）。
     • 提議者（1號海盜）需要收買ceil(n/2)-1個海盜，選擇代價最小的海盜（給下一輪收益+1金幣）。
     • 剩余金幣歸提議者所有。
3. 輸出結果：返回5個海盜時的分配方案。

關鍵點說明

• 理性行為：海盜優先考慮生存，其次最大化金幣，最后在同等收益下希望減少海盜。
• 投票邏輯：提議者只需確保獲得剛好足夠的贊成票（包括自己的一票）。
• 收買策略：提議者會收買在下一輪收益最低的海盜，用最小代價（下一輪收益+1金幣）換取支持。
• 嗜血特性：通過嚴格大于下一輪收益的出價規避嗜血影響（避免海盜因嗜血而投反對票）。

風險提示與免責聲明
本文內容基于公開信息研究整理，不構成任何形式的投資建議。歷史表現不應作為未來收益保證，市場存在不可預見的波動風險。投資者需結合自身財務狀況及風險承受能力獨立決策，并自行承擔交易結果。作者及發布方不對任何依據本文操作導致的損失承擔法律責任。市場有風險，投資須謹慎。