[作者]
常用網名: 豬頭三
出生日期: 1981.XX.XX
企鵝交流: 643439947
個人網站: 80x86匯編小站
編程生涯: 2001年~至今[共24年]
職業生涯: 22年
開發語言: C/C++、80x86ASM、Object Pascal、Objective-C、C#、R、Python、PHP、Perl、
開發工具: Visual Studio、Delphi、XCode、C++ Builder、Eclipse
技能種類: 逆向 驅動 磁盤 文件 大數據分析
涉及領域: Windows應用軟件安全/Windows系統內核安全/Windows系統磁盤數據安全/macOS應用軟件安全
項目經歷: 股票模型量化/磁盤性能優化/文件系統數據恢復/文件信息采集/敏感文件監測跟蹤/網絡安全檢測
專注研究: 機器學習、股票模型量化、金融分析
[描述]
用 Taylor 定理(帶余項的形式)來嚴格推導
ln ? ( 1 ? u ) ?? = ?? ? u ?? ? ?? u 2 2 ?? ? ?? u 3 3 ?? ? ? ?? ≈ ?? ? u \ln(1 - u) \;=\;-u \;-\;\frac{u^2}{2}\;-\;\frac{u^3}{3}\;-\cdots \;\approx\;-u ln(1?u)=?u?2u2??3u3???≈?u
重點在于寫出"余項"(remainder)的表達式, 并說明它為什么相對第一項很小, 從而可以忽略. 以下分幾步來展開.
1. Taylor 定理(拉格朗日余項形式)概述
設 f f f 在 a a a 的某鄰域內具有 n + 1 n+1 n+1 階連續導數, 那么在點 a a a 處對 f ( x ) f(x) f(x) 做 n n n 階 Taylor 展開, 有：
f ( x ) ?? = ?? P n ( x ) ?? + ?? R n ( x ) f(x) \;=\; P_n(x) \;+\; R_n(x) f(x)=Pn?(x)+Rn?(x)
其中
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P n ( x ) P_n(x) Pn?(x) 是關于 a a a 點的 n n n 階 Taylor 多項式：
P n ( x ) ?? = ?? f ( a ) ?? + ?? f ′ ( a ) ( x ? a ) ?? + ?? f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x ? a ) 2 ?? + ?? ? + ?? f ( n ) ( a ) n ! ( x ? a ) n P_n(x) \;=\; f(a) \;+\; f'(a)(x-a) \;+\; \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 \;+\;\cdots+\; \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n Pn?(x)=f(a)+f′(a)(x?a)+2!f′′(a)?(x?a)2+?+n!f(n)(a)?(x?a)n
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R n ( x ) R_n(x) Rn?(x) 是 Lagrange 格式的余項：
R n ( x ) ?? = ?? f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ? ( x ? a ) ? n + 1 , 對某個 ξ 在 a 與 x 之間. R_n(x) \;=\; \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x - a)^{\,n+1}, \quad \text{對某個 } \xi \text{ 在 }a\text{ 與 }x\text{ 之間.} Rn?(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)?(x?a)n+1,對某個 ξ 在 a 與 x 之間.
在本題中, 令
f ( u ) = ln ? ( 1 ? u ) , a = 0 f(u) = \ln(1 - u), \qquad a = 0 f(u)=ln(1?u),a=0
希望展開到一階(即 n = 1 n=1 n=1), 然后考察余項 R 1 ( u ) R_1(u) R1?(u) 的大小.
2. 計算各階導數, 并寫出一階多項式與余項
對 f ( u ) = ln ? ( 1 ? u ) f(u)=\ln(1 - u) f(u)=ln(1?u), 在 u = 0 u=0 u=0 處計算導數：
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f ( u ) = ln ? ( 1 ? u ) f(u) = \ln(1 - u) f(u)=ln(1?u).
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第一階導數：
f ′ ( u ) = d d u [ ln ? ( 1 ? u ) ] = ? ? 1 1 ? u f'(u) = \frac{d}{du}\bigl[\ln(1-u)\bigr] = -\,\frac{1}{1 - u} f′(u)=dud
