前言

線性變換這一章節是考頻較高的一部分，此部分涉及考點較多，涉及的考題也較多，學習線性變換時，應該注意搭建線性變換與矩陣之間的聯系，掌握如何利用矩陣表示一個線性變換結構，同時介紹了最簡單的線性變換下的矩陣，即對角矩陣，但是并非所有矩陣均可以化為對角矩陣，可以進行進一步的退化，僅僅化為若爾當標準型即可。進而介紹了線性變換的值域與核，以及對不變子空間的介紹，最后講解了最小多項式以及相關求法。

課本簡單概括

第一部分：線性變換的定義及性質

線性變換其實簡而言之，就是符合線性性質的變換，線性變換保持向量的加法與數量乘法，同時要注意，線性變換把線性相關的向量組變成線性相關的向量組，但是注意：線性變換也可以把線性無關的向量組也變成線性相關的向量組。關于線性變換的運算，包括乘積、和、數量乘法、逆、冪以及由線性變換構成的多項式。掌握基本的運算方法以及運算性質即可。

第二部分：特征值與特征向量

搭建線性變換與矩陣之間的關系，對于每一個線性變換，在每一組基下，都有一個對應的矩陣，那么每一個線性變換與矩陣便搭建了聯系。對于所有的線性變換中，線性變換即為最簡單最容易分析的一種變換形式，那么為了尋找這種最簡單易于分析的變換，便引入了特征值與特征向量的相關概念，這部分是非常重要的重難點，需要進行重點練習。

第三部分：對角型與若爾當標準型

經過特征值、特征變量的變換后，尋找到合理基后，可以使其所對應的矩陣變為對角矩陣，主對角線元素即為特征值，這便是對角矩陣。但是并不是所有的線性變換都可以對應對角陣，因此，可以退而求其次，求某一線性變換所對應的若爾當標準型，也可以在一定程度上簡化矩陣的分析。

第四部分：線性變換的值域與核·不變子空間

本章還介紹了線性變換的值域與核，要注意區分值域與核的基本概念與求法，同時還要注意對于每一個線性變換，其秩與零度之和為n。此外，本章還介紹了不變子空間，注意，線性變換的值域與核均為該線性變換的不變子空間。

小結

在本章的學習中，一定要注意加強對于題目的練習，多多訓練，尤其要關注對于特征值與特征向量的計算，以及對于標準型和若爾當標準型的計算，都要進行多多練習。

課本經典例題

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