Unity入門學習（四）3D數學（4）之四元數Quaternion

一、什么是四元數

二、和歐拉角的關聯以及為什么會出現四元數

三、四元數的基本組成

Unity中的表示：

四、四元數Quaternion這個類中具有的屬性和方法

常用屬性

核心方法

五、四元數之間的計算

1. 叉乘（組合旋轉）

2. 點積（相似度）

六、總結

四元數?Quaternion?屬性與方法總結

詳細說明

1. 屬性

2. 方法

3. 運算符與靜態方法

一、什么是四元數

定義
????????四元數（Quaternion）是一種數學工具，用于表示三維空間中的旋轉。它由四個分量組成：一個實部（w）和三個虛部（x, y, z），數學表達式為：
????????????????????????????????????????q=w+xi+yj+zk
其中?

???????????????????????????????? $i^{2} + j^{2} + k^{2} = ijk = -1$

? ? ? ? 你可以想象四元數是一個“方向標記”，而歐拉角是“分解成三個步驟的轉動角度”。四元數通過一種緊湊的數學形式直接描述方向，避免了歐拉角的分步旋轉可能導致的萬向節死鎖問題。

Unity中的應用????????
????????在Unity中，所有Transform組件的旋轉底層均由四元數實現。雖然開發者通常通過歐拉角（如Inspector面板中的Rotation）調整物體朝向，但Unity會自動將其轉換為四元數存儲。

二、和歐拉角的關聯以及為什么會出現四元數

歐拉角的局限性
????????萬向節死鎖（Gimbal Lock）：當繞某一軸旋轉90度時，另外兩個軸的旋轉會重合，導致丟失一個自由度。就是說當你轉到90度時，你想單獨再沿著某一條軸進行旋轉，發現怎么都不可以
例如：飛機俯仰90度后，偏航和滾轉將繞同一軸旋轉，無法獨立控制。
插值不平滑：直接對歐拉角插值會導致旋轉路徑不自然（如抖動或突變）。

四元數的優勢
無萬向節死鎖：四元數通過四維空間描述旋轉，避免了三維歐拉角的軸順序問題。
平滑插值：支持球面線性插值（Slerp），保證旋轉路徑的最短性和平滑性。
計算高效：旋轉合成和逆運算更高效，適合實時計算。

關聯
轉換關系：歐拉角可通過Quaternion.Euler()轉換為四元數，反之通過Quaternion.eulerAngles屬性獲取。
?

三、四元數的基本組成

四元數構成
一個四元數包含一個標量和一個3D向量
[w,v]，w為標量，v為3D向量
[w,(x,y,z)]
對于給定的任意的一個四元數：
表示3D空間中的一個旋轉量

軸-角對
在3D空間中任意旋轉都可以表示繞著某個軸旋轉一個旋轉角得到

注意：該軸并不是空間中的xyz中軸而是任意一個軸
對于給定旋轉假設為繞著n軸旋轉β角度 n軸為（x,y,z）
那么可以構成的四元數為：
四元數Q = [cos(β/2)，sin(β/2)n]
四元數Q = [cos(β/2，sin(β/2)x,sin(β/2)y,sin(β/2)z]

四元數Q則表示繞著軸n，旋轉β度的旋轉量

單位四元數
單位四元數表示沒有旋轉量（角位移）
當角度為0或者360度時
對于給定的軸都會得到單位四元數

[1,(0,0,0)]和[-1,(0,0,0)]都是單位四元數
表示沒有旋轉量

Unity中的表示：

Quaternion q = new Quaternion(x, y, z, w);
// 注意：Unity的構造函數參數順序為(x, y, z, w)

例如：繞Y軸旋轉90度的四元數：

Quaternion rotation = Quaternion.Euler(0, 90, 0);
// 等效于手動計算：
float angle = 90 * Mathf.Deg2Rad;
Quaternion q = new Quaternion(0, Mathf.Sin(angle/2), 0, Mathf.Cos(angle/2));

四、四元數Quaternion這個類中具有的屬性和方法

常用屬性

屬性	說明
`identity`	單位四元數（無旋轉）。
`eulerAngles`	轉換為歐拉角（只讀）。

核心方法

方法	說明	示例
`AngleAxis`	創建繞指定軸旋轉角度的四元數。	`Quaternion.AngleAxis(90, Vector3.up)`
`Euler`	將歐拉角轉換為四元數。	`Quaternion.Euler(0, 90, 0)`
`Slerp`	球面線性插值（平滑旋轉）。	`Quaternion.Slerp(a, b, t)`
`Lerp`	線性插值（速度更快，但路徑非最短）。	`Quaternion.Lerp(a, b, t)`
`Inverse`	返回反向旋轉的四元數。	`Quaternion.Inverse(rotation)`
`LookRotation`	生成朝向某個方向的旋轉。	`Quaternion.LookRotation(direction)`

詳細解釋：

屬性：

（1）identity：單位四元數（無旋轉）
表示“不旋轉”的狀態，常用于初始化旋轉或重置物體方向。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{void Start(){// 將物體旋轉重置為初始狀態（無旋轉）transform.rotation = Quaternion.identity;}
}

（2）eulerAngles：將四元數轉換為歐拉角
返回當前四元數對應的歐拉角（只讀屬性），常用于調試或顯示直觀角度。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{void Update(){// 實時輸出物體的歐拉角Debug.Log("當前歐拉角：" + transform.rotation.eulerAngles);// 注意：直接修改 eulerAngles 可能導致問題，應通過 Quaternion.Euler() 設置// transform.eulerAngles = new Vector3(0, 90, 0); // 不推薦}
}

方法：

(1) AngleAxis：繞指定軸旋轉指定角度
創建繞某個軸旋轉一定角度的四元數，常用于自由軸旋轉。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{public float rotateSpeed = 90f; // 每秒旋轉90度void Update(){// 繞Y軸旋轉（按每秒 rotateSpeed 度旋轉）float angle = rotateSpeed * Time.deltaTime;Quaternion rotation = Quaternion.AngleAxis(angle, Vector3.up);transform.rotation = rotation * transform.rotation;}
}

(2) Euler：歐拉角轉四元數
將歐拉角轉換為四元數，避免直接操作 eulerAngles 導致的問題。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{void Start(){// 設置物體繞Y軸旋轉90度Quaternion targetRotation = Quaternion.Euler(0, 90, 0);transform.rotation = targetRotation;}
}

(3) Slerp：球面線性插值
沿球面最短路徑平滑插值，適合攝像機跟蹤或自然旋轉。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{public Transform target; // 拖入目標物體public float speed = 0.5f;void Update(){// 計算目標方向Vector3 direction = target.position - transform.position;Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(direction);// 使用Slerp平滑旋轉transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, targetRotation, speed * Time.deltaTime);}
}
//先快后慢
//A.rotation = Quaternion.Slerp(A.rotation,target.rotation,Time.deltaTime);//勻速變化
//time += Time.deltaTime;
//B.rotation = Quaternion.Slerp(start,target.rotation,time);

效果：物體會平滑轉向目標物體，路徑無抖動。?

(4) Lerp：線性插值
快速插值但路徑非最短，適合對平滑性要求不高的場景。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{public Transform target;public float speed = 1f;void Update(){Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(target.position - transform.position);transform.rotation = Quaternion.Lerp(transform.rotation, targetRotation, speed * Time.deltaTime);}
}

(5) Inverse：反向旋轉
獲取當前旋轉的逆旋轉，常用于坐標系轉換或相對旋轉。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{public Transform otherObject;void Update(){// 計算當前旋轉的逆旋轉Quaternion inverseRotation = Quaternion.Inverse(transform.rotation);// 將另一個物體的旋轉設置為當前物體的逆旋轉otherObject.rotation = inverseRotation;}
}

效果：otherObject?會始終與當前物體保持反向旋轉。?

(6) LookRotation：朝向某個方向
使物體正面朝向指定方向，常用于控制角色或攝像機。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{public Vector3 targetDirection = Vector3.forward; // 默認朝前void Update(){// 動態讓物體朝向 targetDirection 方向Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(targetDirection);transform.rotation = targetRotation;}
}

效果：物體正面始終指向?targetDirection（可修改為鼠標或目標位置）。?

完整臻享版：

using UnityEngine;public class QuaternionDemo : MonoBehaviour
{public Transform target;public float rotateSpeed = 90f;public float slerpSpeed = 0.5f;void Start(){// 初始化無旋轉transform.rotation = Quaternion.identity;}void Update(){// 1. AngleAxis 持續繞Y軸旋轉float angle = rotateSpeed * Time.deltaTime;Quaternion rotation = Quaternion.AngleAxis(angle, Vector3.up);transform.rotation = rotation * transform.rotation;// 2. LookRotation 朝向目標if (target != null){Vector3 direction = target.position - transform.position;Quaternion targetRot = Quaternion.LookRotation(direction);transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, targetRot, slerpSpeed * Time.deltaTime);}// 3. 輸出當前歐拉角Debug.Log("當前歐拉角：" + transform.rotation.eulerAngles);}
}

五、四元數之間的計算

1. 叉乘（組合旋轉）

四元數乘法表示旋轉的疊加，順序為從右到左應用。
公式：

???????????????????????? $q_{result} = q_{1} \times q_{2}$

注意啊不滿足交換律：即：

??????????????????????????????? $q_{1} \times q_{2} \neq q_{2} \times q_{1}$

Quaternion qY = Quaternion.Euler(0, 90, 0); // 繞Y軸轉90度
Quaternion qX = Quaternion.Euler(90, 0, 0); // 繞X軸轉90度// 順序1：先繞Y軸轉，再繞X軸轉
transform.rotation = qX * qY;// 順序2：先繞X軸轉，再繞Y軸轉
transform.rotation = qY * qX;
/*效果：順序1：物體會先面向右側（Y軸旋轉），然后向上翻轉（X軸旋轉）。順序2：物體會先向上翻轉（X軸旋轉），然后面向右側（Y軸旋轉）。
最終朝向完全不同（可通過運行代碼觀察）。
*/

2. 點積（相似度）

四元數的點乘（Quaternion.Dot(q1, q2)）返回值的范圍是 [-1, 1]，表示兩個旋轉的相似程度：

1：完全相同旋轉。
-1：互為反向旋轉。
0：旋轉方向正交（無關）。

????????? $Dot(q_{1},q_{2}) = q_{1}.x \cdot q_{2}.x +q_{1}.y \cdot q_{2}.y +q_{1}.z \cdot q_{2}.z +q_{1}.w \cdot q_{2}.w$ ?????????????????????????

?實際應用場景
(1) 判斷旋轉是否完成

Quaternion targetRotation = Quaternion.Euler(0, 90, 0);
float similarity = Quaternion.Dot(transform.rotation, targetRotation);if (similarity > 0.999f) {Debug.Log("旋轉完成！");
}

(2) 平滑過渡檢測在插值旋轉時，若相似度接近1，可提前終止插值以優化性能：

Quaternion current = transform.rotation;
Quaternion target = Quaternion.Euler(0, 90, 0);
float t = Quaternion.Dot(current, target);if (t < 0.99f) {transform.rotation = Quaternion.Slerp(current, target, Time.deltaTime * speed);
}

(3) 反向旋轉檢測

Quaternion inverse = Quaternion.Inverse(currentRotation);
float similarity = Quaternion.Dot(currentRotation, inverse);if (similarity < -0.999f) {Debug.Log("當前旋轉與反向旋轉對齊");
}

操作	數學本質	Unity中的作用	典型場景
乘法（×）	旋轉疊加（順序敏感）	組合多個旋轉，或轉換坐標系	角色轉身+抬頭、動畫疊加
點乘（Dot）	四維空間中的夾角余弦	檢測旋轉相似度、判斷旋轉完成或反向	插值優化、AI朝向檢測、反向動作觸發

綜合對比：

using UnityEngine;public class QuaternionOperationsDemo : MonoBehaviour
{void Start(){// 1. 驗證乘法順序Quaternion qY = Quaternion.Euler(0, 90, 0);Quaternion qX = Quaternion.Euler(90, 0, 0);Debug.Log("順序1 (qX*qY): " + (qX * qY).eulerAngles); // 輸出 (90, 90, 0)Debug.Log("順序2 (qY*qX): " + (qY * qX).eulerAngles); // 輸出 (90, 90, 270)// 2. 驗證點乘相似度Quaternion a = Quaternion.identity;Quaternion b = Quaternion.Euler(0, 90, 0);Quaternion c = Quaternion.Inverse(b);Debug.Log("a vs b: " + Quaternion.Dot(a, b)); // 約0.7（不相似）Debug.Log("b vs b: " + Quaternion.Dot(b, b)); // 1（完全一致）Debug.Log("b vs c: " + Quaternion.Dot(b, c)); // -1（完全反向）}
}

3. 逆運算

四元數的逆（Inverse）表示反向旋轉。

公式：

???????????????????????????????????????????????????????????????????? $q^{-1} = (-\frac{x}{||q||},-\frac{y}{||q||},-\frac{z}{||q||},-\frac{w}{||q||},)$

例如：

Quaternion inverse = Quaternion.Inverse(rotation);

???????????????? ? ? ?這里同上，不再贅述

六、總結

四元數?`Quaternion`?屬性與方法總結

屬性/方法	參數	返回值	簡單示例
`identity`	無	`Quaternion`	`transform.rotation = Quaternion.identity;`
`eulerAngles`	無	`Vector3`（歐拉角）	`Vector3 angles = transform.rotation.eulerAngles;`
`AngleAxis`	`float angle`,?`Vector3 axis`	`Quaternion`	`Quaternion q = Quaternion.AngleAxis(90, Vector3.up);`
`Euler`	`float x`,?`float y`,?`float z`?或?`Vector3 euler`	`Quaternion`	`Quaternion q = Quaternion.Euler(0, 90, 0);`
`Slerp`	`Quaternion a`,?`Quaternion b`,?`float t`	`Quaternion`	`Quaternion.Slerp(current, target, Time.deltaTime * speed);`
`Lerp`	`Quaternion a`,?`Quaternion b`,?`float t`	`Quaternion`	`Quaternion.Lerp(current, target, Time.deltaTime * speed);`
`Inverse`	`Quaternion rotation`	`Quaternion`	`Quaternion inverse = Quaternion.Inverse(transform.rotation);`
`LookRotation`	`Vector3 forward`,?`Vector3 upwards=Vector3.up`（可選）	`Quaternion`	`Quaternion q = Quaternion.LookRotation(target.position - transform.position);`
*`operator `**	`Quaternion a`,?`Quaternion b`（或?`Vector3`?向量）	`Quaternion`?或?`Vector3`	`Quaternion combined = q1 * q2;` `Vector3 rotated = q * Vector3.forward;`
`Dot`	`Quaternion a`,?`Quaternion b`	`float`（相似度）	`float similarity = Quaternion.Dot(q1, q2);`

詳細說明

1. 屬性

屬性	說明
`identity`	表示無旋轉的四元數，等同于?`new Quaternion(0, 0, 0, 1)`。
`eulerAngles`	將四元數轉換為歐拉角（單位為度），僅用于調試，不可直接修改。

2. 方法

方法	說明
`AngleAxis`	繞指定軸旋轉指定角度（單位為度）。
`Euler`	將歐拉角轉換為四元數（單位為度）。
`Slerp`	沿球面最短路徑插值，適合平滑旋轉（如攝像機跟隨）。
`Lerp`	線性插值，速度更快但路徑可能非最短。
`Inverse`	返回反向旋轉的四元數（等效于逆矩陣）。
`LookRotation`	生成朝向指定方向的四元數，默認以?`Vector3.up`?為向上方向。

3. 運算符與靜態方法

操作	說明
*`operator `**	組合兩個四元數的旋轉，或對向量應用旋轉（順序為從右到左）。
`Dot`	計算兩個四元數的四維點積，用于判斷旋轉相似度（1為相同，-1為反向）。