Eigen 是一個高性能的 C++ 模板庫，專注于線性代數、矩陣和向量運算，廣泛應用于科學計算、機器學習和計算機視覺等領域。以下是對 Eigen 庫的詳細介紹：

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1. 概述

• 核心功能：支持矩陣、向量運算，包括基本算術、矩陣分解（如 LU、QR、SVD）、幾何變換（旋轉、平移）等。
• 特點：
  • 表達式模板：通過延遲計算優化性能，減少臨時變量。
  • 多數據類型：支持 float、double、std::complex 等。
  • 存儲順序：默認列優先（類似 Fortran），可選行優先（兼容 C 風格數組）。
  • 動態與靜態矩陣：MatrixXd（動態大小雙精度）、Vector3f（固定大小 3 維單精度）等。
  • 零依賴：純頭文件實現，無需額外編譯。
• 許可證：MPL2（寬松開源協議，允許商業使用）。

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2. 安裝與配置

• 安裝：從 Eigen 官網 下載后，將頭文件目錄添加到編譯器包含路徑。

• 包含頭文件：

  #include <Eigen/Core>      // 核心模塊（Matrix、Vector）
  #include <Eigen/Dense>     // 常用模塊（包含 Core、LU、QR 等）
  #include <Eigen/Geometry> // 幾何變換
  

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3. 基本用法

3.1 定義矩陣與向量

Eigen::MatrixXd mat(3, 3);     // 動態大小雙精度矩陣
Eigen::Vector3f vec;           // 固定大小3維單精度向量
Eigen::Matrix3f mat_fixed;     // 固定大小3x3單精度矩陣

3.2 初始化

mat = Eigen::MatrixXd::Random(3, 3);  // 隨機初始化
vec << 1, 2, 3;                      // 逗號初始化
mat_fixed = Eigen::Matrix3f::Identity(); // 單位矩陣

3.3 算術運算

Eigen::MatrixXd a = Eigen::MatrixXd::Random(2, 2);
Eigen::MatrixXd b = Eigen::MatrixXd::Random(2, 2);
Eigen::MatrixXd c = a + b;          // 逐元素加法
Eigen::MatrixXd d = a * b;          // 矩陣乘法
Eigen::MatrixXd e = a.transpose();  // 轉置

3.4 解線性方程組

Eigen::Matrix3f A;
Eigen::Vector3f b, x;
A << 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10;
b << 3, 3, 4;
x = A.lu().solve(b); // LU分解求解Ax = b

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4. 高級功能

4.1 矩陣分解

// QR分解（最小二乘解）
x = A.householderQr().solve(b);
// SVD分解（奇異值分解）
Eigen::JacobiSVD<Eigen::MatrixXd> svd(A, Eigen::ComputeThinU | Eigen::ComputeThinV);

4.2 幾何模塊

Eigen::AngleAxisd rotation(M_PI/4, Eigen::Vector3d::UnitZ()); // Z軸旋轉45度
Eigen::Vector3d point(1, 0, 0);
point = rotation * point; // 應用旋轉變換

4.3 內存映射（Map類）

double data[] = {1, 2, 3, 4};
Eigen::Map<Eigen::VectorXd> vec_map(data, 4); // 將數組映射為向量

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5. 性能優化

• 表達式模板：自動合并操作（如 a = b + c + d 合并為單層循環）。
• 固定大小矩陣：小型矩陣（如 4x4）在棧上分配，避免堆開銷。
• SIMD 優化：啟用編譯器選項（如 -march=native）利用 SSE/AVX 指令集。

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6. 注意事項

• 別名問題：避免操作中同時讀寫同一矩陣：

  // 錯誤寫法：a = a.transpose();
  a = a.transpose().eval();        // 正確寫法1
  a.transposeInPlace();             // 正確寫法2
  

• auto 陷阱：延遲計算可能導致意外結果：

  auto tmp = a * b; // tmp是表達式對象，非實際矩陣
  Eigen::MatrixXd tmp_eval = a * b; // 立即求值
  

• 內存對齊：固定大小矩陣需注意內存對齊（使用 EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW）。

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7. 應用場景

• 科學計算：解微分方程、優化問題。
• 計算機視覺：三維重建、相機標定（如 OpenCV 可集成 Eigen）。
• 機器學習：線性回歸、PCA 降維。
• 物理引擎：剛體變換、碰撞檢測。

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8. 對比其他庫

庫名	特點
Armadillo	語法類似 Matlab，依賴 LAPACK。
OpenCV	側重圖像處理，內置矩陣但功能較局限。
BLAS/LAPACK	底層標準，需手動管理內存。

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Eigen 憑借其高性能、易用性和靈活性，成為 C++ 中線性代數運算的首選庫之一。深入掌握其特性后，可在項目中高效實現復雜的數學運算。