FGMRES（Flexible Generalized Minimal Residual）方法是GMRES的變種，主要用于處理變預處理子（即每次迭代的預處理子可能不同）的情況。與標準GMRES相比，FGMRES通過存儲預處理后的向量而非預處理子本身，避免了因預處理子變化導致的子空間不一致問題。

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FGMRES與GMRES的核心區別

1. 預處理子的靈活性

   • GMRES：要求預處理子固定（即每次迭代的預處理子 ( M ) 必須相同）。若預處理子變化，Krylov子空間的正交性會被破壞，導致收斂失敗。
   • FGMRES：允許預處理子 ( M_i ) 在每次迭代中動態變化（例如依賴當前迭代的解或殘差），更適合非線性預處理或自適應預處理場景。

2. 存儲的向量不同

   • GMRES存儲的是預處理前的向量 ( v_j = M^{-1} A q_j )。
   • FGMRES存儲的是預處理后的向量 ( z_j = M_j^{-1} v_j )，從而適應預處理子的變化。

3. 計算開銷
   FGMRES需要額外存儲預處理后的向量 ( z_j )，但避免了重新構造整個Krylov子空間。

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FGMRES的優勢場景

當預處理子需要動態調整時，FGMRES是唯一選擇。例如：

• 非線性預處理：預處理子依賴當前解（如基于物理的近似）。
• 內迭代法作為預處理子：例如用不完全LU分解（ILU）或少量迭代的GMRES作為預處理子，但內層迭代的精度可能隨外層變化。
• 自適應策略：預處理子的參數（如閾值、填充級別）根據殘差動態調整。

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具體例子

問題：求解線性系統 ( Ax = b )，其中 ( A ) 是病態矩陣，預處理子通過內層GMRES迭代實現（每次內層迭代次數可能不同）。

GMRES的局限

若用內層GMRES（如5次迭代）作為固定預處理子，外層GMRES可能因預處理子不精確而收斂緩慢甚至失敗。

FGMRES的解決方案

允許內層GMRES的迭代次數動態調整（例如基于殘差閾值）。FGMRES的偽代碼如下：

for k = 1, 2, ...:# 動態生成預處理子 M_k（例如內層GMRES迭代次數由殘差決定）z_k = M_k^{-1} v_k  # 內層迭代求解# 將z_k加入FGMRES的子空間并正交化# 更新解和殘差

此時，即使每次 ( M_k^{-1} ) 不同（如內層迭代次數從5次變為10次），FGMRES仍能保證子空間的正交性。

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數學形式對比

• GMRES：構建Krylov子空間 ( \mathcal{K}_m(A M^{-1}, r_0) )，要求 ( M ) 固定。
• FGMRES：構建子空間 ( \text{span}{z_1, z_2, \dots, z_m} )，其中 ( z_j = M_j^{-1} v_j )，允許 ( M_j ) 變化。

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總結

• 使用FGMRES當：預處理子需要動態調整（如非線性、內層迭代不精確或自適應策略）。
• 使用GMRES當：預處理子固定且易于求逆（如靜態ILU、SSOR）。

典型應用：

• 多物理場耦合問題（預處理子依賴其他場的解）。
• 嵌套迭代法（外層FGMRES + 內層GMRES預處理）。

通過靈活處理變預處理子，FGMRES擴展了GMRES的適用性，但代價是更高的存儲需求和潛在穩定性風險（需監控殘差）。

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使用FGMRES方法迭代求解的指南與實例

FGMRES (Flexible Generalized Minimal Residual) 方法是GMRES的一種變體，特別適用于預處理子可能隨迭代變化的情況。下面我將詳細介紹FGMRES方法及其應用實例。

FGMRES方法概述

FGMRES是GMRES的靈活變體，主要特點：

• 允許預處理子在每次迭代中變化
• 適用于非線性預處理或迭代依賴的預處理
• 保持GMRES的最小殘差特性
• 需要存儲所有基向量，內存需求與GMRES相同

算法基本步驟：

1. 初始化殘差和第一個基向量
2. 構建Krylov子空間
3. 應用靈活預處理
4. 正交化過程
5. 最小化殘差

實際應用實例：計算流體力學中的Navier-Stokes方程求解

問題描述

考慮二維不可壓縮Navier-Stokes方程：

?u/?t + u·?u = -?p + (1/Re)?2u
?·u = 0

其中u是速度場，p是壓力場，Re是雷諾數。

離散化后的線性系統

經過半離散化和線性化后，我們得到如下塊線性系統：

[ A   G ][u] = [f]
[ D   0 ][p]   [g]

其中A是速度矩陣，G是梯度算子，D是散度算子。

使用FGMRES求解

由于這是一個 saddle-point 問題，我們采用分塊預處理策略，預處理子可能隨物理參數或迭代變化，因此FGMRES是合適選擇。

MATLAB代碼示例

% 假設已定義：A, G, D, f, g 和預處理子函數 apply_preconditioner% 構建塊系統矩陣
n = size(A,1);
m = size(D,1);
bigA = [A, G; D, sparse(m,m)];% 右側向量
rhs = [f; g];% FGMRES參數設置
maxit = 100;    % 最大迭代次數
tol = 1e-6;     % 容差
restart = 30;   % 重啟次數% 定義預處理函數 (可能隨迭代變化)
precond_func = @(x) apply_preconditioner(x, A, G, D);% 調用FGMRES
[x, flag, relres, iter, resvec] = fgmres(@(x)bigA*x, rhs, [], tol, maxit, precond_func);% 提取解
u_sol = x(1:n);
p_sol = x(n+1:end);

預處理子函數示例

function y = apply_preconditioner(x, A, G, D)% 分塊預處理示例n = size(A,1);m = size(D,1);% 分解x為速度和壓力部分x_u = x(1:n);x_p = x(n+1:n+m);% 近似求解速度塊 (可能使用不完全LU分解)[L,U] = ilu(A);  % 可能每次迭代不同u_sol = U\(L\x_u);% 壓力Schur補近似 (使用質量矩陣或對角線近似)S_approx = diag(diag(D*(diag(diag(A))\G));  % 簡單對角近似p_sol = S_approx\x_p;% 組合結果y = [u_sol; p_sol];
end

實際應用中的考慮因素

1. 預處理子選擇：在CFD中常用：

   • 分塊三角預處理
   • 近似Schur補預處理
   • 多重網格作為預處理

2. 可變預處理：當非線性較強時，預處理可能需要在迭代間更新

3. 重啟策略：由于內存限制，需要定期重啟FGMRES

4. 收斂性：對于對流主導問題，可能需要特殊的預處理技術

其他應用領域

FGMRES還常用于：

1. 電磁場計算（Maxwell方程）
2. 結構力學中的耦合問題
3. 多物理場模擬
4. 大規模優化問題

優勢與局限

優勢：

• 處理變預處理子的靈活性
• 保持最小殘差性質
• 適用于復雜物理問題

局限：

• 與GMRES相同的存儲需求（隨迭代次數線性增長）
• 重啟可能影響收斂
• 預處理質量對性能影響大

結論

FGMRES是處理需要靈活預處理的大型稀疏線性系統的強大工具，特別適用于多物理場耦合問題和非線性預處理情況。在實際應用中，預處理子的設計和實現通常是獲得良好性能的關鍵。