Information-Theoretic Limits of Bistatic Integrated Sensing and Communication

摘要

雙靜態感知指的是發射器（照亮目標）和感知接收器（估計目標狀態）在物理上分離的場景，這與發射和感知功能共存的單靜態感知形成對比。在實際場景中，雙靜態感知可能需要應對系統約束，或者作為一種方法來減輕單靜態配置中遇到的強自干擾。雙靜態射頻雷達系統的一個關鍵實際挑戰是分離的發射器和感知接收器的同步與校準。在本文中，我們關注信號處理方面，并從信息理論的視角對雙靜態集成感知與通信（ISAC）進行補充研究。也就是說，我們旨在描述容量-失真函數——通信容量與感知精度之間的基本權衡。我們考慮了一種通用的離散信道模型來分析雙靜態 ISAC 系統，并推導出了多字母表示形式的容量-失真函數。然后，我們建立了退化雙靜態 ISAC 信道的單字母上下界，并提供了退化信道下單字母特征的精確描述。此外，我們將分析擴展到雙靜態 ISAC 寬帶信道，并推導了退化情況下的容量-失真區域，通過數值示例說明理論結果，突顯 ISAC 相較于分離通信與感知的優勢，以及通信在輔助雙靜態系統感知中的作用。

I. 引言

集成感知與通信（ISAC）已成為未來無線網絡（超越 5G、6G）的一個關鍵技術和研究領域，因為許多實際場景對感知和通信提出了很高的要求 [2], [3]。例如，自動駕駛技術不僅需要高數據率來獲取重要信息，如媒體消息、超高分辨率地圖和實時交通信息，還需要感知功能來提供魯棒且高分辨率的障礙物檢測 [4]。此外，順應無線技術趨勢，隨著更大的信號帶寬 [5], [6] 和天線陣列 [7]–[10] 的使用，未來系統中的通信信號將能夠在延遲（即距離）和角度域提供高分辨率，因此可用于高精度感知。ISAC 泛指一類方法，即在單一平臺上集成感知和通信功能，使它們能夠共享相同的傳輸資源（時隙、帶寬和功率）以及相同的硬件，相較于分離的解決方案 [2], [3], [11]。

與專注于無線通信應用的 ISAC 研究并行 [12]–[20]，該主題也成為近期信息理論研究的焦點。文獻 [21], [22] 中的作者從信息理論視角研究了單靜態 ISAC 模型，并描述了可靠通信容量與狀態估計失真之間的最優權衡。在所考慮的系統中，發射器通過無記憶且狀態依賴的信道向接收器傳輸消息，其中狀態序列是獨立同分布（i.i.d.）的；與此同時，發射器還旨在通過反向散射信號估計接收器的狀態序列，這種信號被建模為因果信號。

遵循 [21], [22] 中的開創性工作，提出了多種信息理論 ISAC 框架，可根據所考慮的信道模型分為兩類：

- 在第一種框架中，如原始工作 [21], [22] 所述，狀態在時隙上是獨立同分布（i.i.d.）或在長度為 $T$ 的塊內是 i.i.d.，稱為塊衰落狀態，因此狀態依賴信道具有“塊內記憶” [23]。在這一框架中，適合建模狀態依賴信道，其中狀態根據某種平穩遍歷隨機過程演變，且平均估計失真是有意義的。特別地，文獻 [24] 中的作者將單靜態 ISAC 模型擴展到無記憶信道，提出了新的狀態依賴塊內記憶信道，稱為二元波束指向（BBP）信道，并推導了相應的容量-失真權衡。文獻 [25], [26] 考慮了具有塊內記憶的向量高斯信道，確定了感知和通信之間的子空間權衡以及隨機-確定性權衡。文獻 [27] 研究了單靜態 ISAC 的容量-失真區域，其中接收器具有完美的狀態知識，而感知參數和信道狀態并非完全一致。文獻 [28]–[30] 探討了多路訪問信道（MAC）中的 ISAC 容量-失真權衡，通過提出不同的協作通信和協作感知方法，獲得了相應的速率-失真區域。

- 在第二種框架中，如文獻 [31]–[33] 所述，狀態是離散的確定未知量，且在整個傳輸塊長度內保持不變，感知和通信之間的權衡通過通信速率與狀態檢測誤差指數來表達。在這一框架中，由于狀態是常數，適合建模“復合信道”場景，其中信道轉移概率分配可以是離散概率集合中的一個元素，例如，建模目標的存在或不存在。

在本文中，我們關注雙靜態感知系統，其中狀態在時隙上是獨立同分布（i.i.d.）的，可以是單靜態或多靜態。特別地，具有物理共址發射和接收天線的感知系統被稱為單靜態感知系統，而在許多情況下這些天線屬于同一陣列；具有物理分離發射和接收天線的感知系統被稱為雙靜態感知系統。如果使用多個分離的接收器，則感知系統被稱為多靜態感知系統 [34]。盡管雙靜態感知系統在實現上通常比單靜態感知系統更復雜 [35]，但雙靜態感知系統在抑制自干擾和增強目標檢測及定位精度方面具有優勢，激發了持續的研究興趣。例如，設計用于最小化反向散射以反射雷達能量的目標在其他方向上對于單靜態感知系統可能難以檢測，但對于雙靜態感知系統則可能易于檢測 [36]。此外，從發射天線到感知接收天線的干擾在單靜態感知系統中可能顯著，而在雙靜態感知系統中由于發射器和感知接收器相距較遠，這種干擾可以忽略。與雙靜態感知系統相關的一個關鍵問題是同步問題，這需要精確對齊物理分離的發射器和接收器在時間和頻率上的位置和運動狀態，在某些情況下，這可能導致多維度上的同步問題，如時間、頻率和相位 [37]。常用的解決同步挑戰的方法包括全球定位系統（GPS）時鐘同步 [37], [38]、鎖相環（PLLs）相位同步 [39], [40] 以及自適應同步 [41] 等。

受到雙靜態雷達吸引的優勢的啟發，在這項工作中，我們從信息理論的視角研究雙靜態 ISAC 系統，沿襲之前的信息理論 ISAC 工作的路線。如圖 1 所示，所考慮的雙靜態 ISAC 系統包括一個發射器（ISAC Tx）、一個通信接收器（ComRx）和一個感知接收器（SenRx）。ISAC Tx 發送編碼字以向 ComRx 傳遞信息，同時 SenRx 在另一位置接收 ISAC Tx 的輻射信號和 ComRx 的反射信號以執行感知任務，從而估計信道狀態。對于這一場景，我們采用通用離散信道模型。因此，同步問題與我們關注的模型無關。在實踐中，可以假設這些問題通過前述現有技術得以解決。

值得指出的是，本文考慮的雙靜態 ISAC 信息理論問題與現有的雙靜態模型 [42] 的主要概念差異在于，在我們的場景中，SenRx 知道通信編碼字，但不知道發送的消息（即，發送的編碼字）。因此，我們預計在雙靜態 ISAC 系統中，通信信號的隨機性對感知的影響比單靜態 ISAC 系統更大，這意味著通信-感知性能的權衡有所不同。需要注意的是，文獻 [43] 遵循我們的預印本并研究了類似的 ISAC 問題。特別地，文獻 [43] 的作者選擇對數損失來度量 ISAC 模型軟估計的質量，并推導了相應的容量-失真函數。相比之下，我們基于更一般的失真度量研究容量-失真函數，包括文獻 [43] 的結果作為我們結果的特例。

在信息理論框架下，我們的主要貢獻如下：

- 提出了雙靜態 ISAC 系統的多字母容量-失真函數表示，并將這一無限序列的有限維優化問題轉化為無限維優化問題。

- 提出了基于疊加編碼方案的單字母下界和基于部分解碼策略的單字母上界，特別地，對于 SenRx 相對于 ComRx 信道退化的特殊情況，通過證明推導的上界和下界重合，獲得了容量-失真函數的單字母特征。

- 將結果擴展到雙靜態 ISAC 寬帶信道模型，并推導了退化情況下的容量-失真區域。

- 提供了示例以明確展示所提出的界限的意義，并闡明利用通信輔助雙靜態系統感知的優勢。特別地，對于示例 1 中的信道，我們展示了容量-失真函數。

本文的組織結構如下：第 II 節介紹系統模型并定義容量-失真函數。第 III 節給出了容量-失真函數的多字母表示，推導了容量-失真函數的單字母上下界，并在退化情況下給出了容量-失真函數的單字母特征，并將結果擴展到雙靜態 ISAC 寬帶信道模型。第 IV 節提供了兩個示例以明確展示容量-失真函數的理論結果。第 V 節總結本文。

II. 系統模型

在本節中，我們介紹雙靜態 ISAC 系統，該系統被建模為具有兩個接收器的狀態依賴無記憶信道（SDMC）。具有兩個接收器的 SDMC 模型由四個有限集合 $\mathcal{X}, \mathcal{S}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}$ 和一組條件概率質量函數（pmf）$p(y, z|x, s)$ 定義，定義在 $\mathcal{Y} \times \mathcal{Z}$ 上。狀態序列 $S^n = (S_1, \dots, S_n)$ 根據給定的狀態分布 $P_S(\cdot)$ 是獨立同分布（i.i.d.）的。我們假設 $S^n$ 對于 ComRx 是完全已知的，但對于 SenRx 是未知的。

如圖 2 所示，發射器通過具有兩個接收器的 SDMC 發送 $X^n$ 。在接收到 $Y^n$ 并結合 $S^n$ 后，ComRx 找到消息的估計值。在接收到 $Z^n$ 后，SenRx 估計具有兩個接收器的 SDMC 的狀態。

一個 $(2^{nR}, n)$ 編碼用于上述具有兩個接收器的 SDMC，包括以下部分：

1) 消息集合 $[1: 2^{nR}]$ ；
2) 編碼器，為每個消息 $w \in [1: 2^{nR}]$ 分配一個碼字 $x^n(w)$ ；
3) 解碼器，為每個接收序列 $y^n$ 分配一個估計值 $\hat{w} \in [1: 2^{nR}]$ ；
4) 狀態估計器 $h: \mathcal{Z}^n \to \hat{\mathcal{S}}^n$ ，輸出 $\hat{s}^n = h(z^n)$ 作為狀態序列 $s^n$ 的估計值。

我們假設消息 $W$ 在 $[1: 2^{nR}]$ 上是均勻分布的。解碼器的性能由平均錯誤概率 $P_e^{(n)} = \text{Pr}\{\hat{W} \neq W\}$ 衡量。狀態估計的準確性由平均期望失真衡量：
$D^{(n)} := \frac{1}{n} \mathbb{E}[d(S^n, \hat{S}^n)] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i)], \quad (1)$
其中 $d: \mathcal{S} \times \hat{\mathcal{S}} \to \mathbb{R}^+$ 是一個有界失真函數：
$d_{\max} = \max_{(s, \hat{s}) \in \mathcal{S} \times \hat{\mathcal{S}}} d(s, \hat{s}) < \infty.$

一對 $(R, D)$ 被認為是可以實現的，如果存在一系列 $(2^{nR}, n)$ 編碼，使得：
$\lim_{n \to \infty} P_e^{(n)} = 0, \quad (2\text{a})$
$\lim_{n \to \infty} D^{(n)} \leq D. \quad (2\text{b})$

容量-失真函數定義為：
$C(D) = \max \{ R: R \text{ is achievable for given } D \}. \quad (3)$

III. 主要結果

在本節中，我們介紹容量-失真函數 $C(D)$ 的一些性質。然后，我們推導 $C(D)$ 的多字母特征以及多個單字母上下界。

**引理 1.** 容量-失真函數 $C(D)$ 是非遞減的、凹的且連續的，對于 $D \geq D_{\min} = \min \mathbb{E}[d(S, \hat{S})]$ 。

**證明**：根據 $C(D)$ 的定義，我們有 $C(D_1) \geq C(D_2)$ ，對于 $D_1 > D_2$ 。為了證明 $C(D)$ 的凹性，我們使用時間共享技術。對于每個塊長度 $n$ ，不失一般性地假設 $\alpha n$ 是一個介于 $[0, 1]$ 的整數，并且 $R_1 < C(D_1)$ ， $R_2 < C(D_2)$ 。假設 $(2^{nR_1}, \alpha n)$ 和 $(2^{(1-\alpha)nR_2}, (1-\alpha)n)$ 是一組碼率分別為 $R_1$ 和 $R_2$ 的編碼。

為了傳輸消息，在前 $\alpha n$ 次傳輸中，發送器發送來自第一個編碼的碼字，在剩余的傳輸中，發送來自第二個編碼的碼字。使用文獻 [44] 定理 15.3.2 中的類似方法，我們證明速率-失真對 $(\alpha R_1 + (1-\alpha)R_2, \alpha D_1 + (1-\alpha)D_2)$ 是可實現的。根據容量-失真函數 $C(D)$ 的定義，我們得到 $C(\alpha D_1 + (1-\alpha)D_2) \geq \alpha C(D_1) + (1-\alpha)C(D_2)$ 。

利用引理 1，我們在下一小節中給出容量-失真函數 $C(D)$ 的多字母特征。

A. C(D)的多字母表示

**定理 1.** 容量-失真函數 $C(D)$ 滿足：
$C(D) = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \sup_{P_k} \left\{ I(X^k; Y^k|S^k) \mid \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq kD \right\},\quad (4)$
其中 $(\hat{S}^k(Z^k) = ( \hat{S}_1(Z^k), \hat{S}_2(Z^k), \dots, \hat{S}_k(Z^k) )$ ，并且 $\hat{S}_i(Z^k) = \arg\min_{\hat{s}_i} \sum_{s_i} p(s_i|z^k) d(s_i, \hat{s}_i)$ ， $i = 1, 2, \dots, k$ 是最優估計器。

**證明**：我們首先證明極限的存在，然后證明可實現性和逆向命題。

定義 $C_k(D) = \frac{1}{k} \sup_{P_k} \left\{ I(X^k; Y^k|S^k) \mid \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq kD \right\}$ 。固定一個 pmf $p(x^k)$ 和 pmf $p(x^l)$ ，它們分別實現 $C_k(D)$ 和 $C_l(D)$ ，并且相應的失真滿足 $\mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq kD$ 和 $\mathbb{E}[d(S^l, \hat{S}^l(Z^l))] \leq lD$ 。然后，固定乘積 pmf $p(x^k) p(x^l)$ ，我們有相應的失真滿足：
$\mathbb{E}[d(S^{k+l}, \hat{S}^{k+l}(Z^{k+l}))] = \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] + \mathbb{E}[d(S^{k+1}, \hat{S}^{k+1}(Z^{k+1}))]$
$\stackrel{(a)}{=} \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] + \mathbb{E}[d(S^{k+1}, \hat{S}^{k+1}(Z^{k+1}))] \leq (k + l)D,\quad (5)$

對應的互信息表達式滿足

$I(X^{k+l}; Y^{k+l} \mid S^{k+l}) = H(Y^{k+l} \mid S^{k+l}) - H(Y^{k+l} \mid X^{k+l}, S^{k+l}) \overset{(b)}{=} H(Y^{k} \mid S^{k}) + H(Y_{k+1}^{k+l} \mid S_{k+1}^{k+l}) - H(Y^{k} \mid X^{k}, S^{k}) - H(Y_{k+1}^{k+l} \mid X_{k+1}^{k+l}, S_{k+1}^{k+l}) = I(X^{k}; Y^{k} \mid S^{k}) + I(X_{k+1}^{k+l}; Y_{k+1}^{k+l} \mid S_{k+1}^{k+l}) = k C_{k}(D) + l C_{l}(D),\quad (6)$
其中 $(a)$ 由 $Z^{k+l}$ 和 $S^k$ 給定 $Z^k$ 時的獨立性以及 $(b)$ 由 $Y^{k+l}$ 和 $S^k$ 給定 $Y^k$ 時的獨立性得出。因此，根據 $C_k(D)$ 的定義，我們得到 $kC_k(D) + lC_l(D) \geq (k + l)C_{k+l}(D)$ ，這意味著 $kC_k(D)$ 是超可加序列。此外，利用上下限的定義，我們得到極限 $lim_{k \to \infty} C_k(D) = \sup_k C_k(D)$ 存在。

**證明可實現性**：設 $P_k(x^k)$ 為實現 $C_k(D)$ 并且滿足 $\mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq kD$ 的 pmf。對于碼長 $n$ ，設 $n = kt + r,r < k$ 。固定一個 pmf $\prod_{i=1}^t p\left(x^{ik}_{(i-1)k+1}\right) p(x^r)$ ，其中 $p\left(x_{(i-1)k+1}^{ik}\right) = p(x^k)$ ， $i = 1, \dots, t$ ，以及 $p(x^n)$ 滿足 $\mathbb{E}[d(S^r, \hat{S}^r(Z^r))] \leq rD$ 。然后，使用聯合典型解碼在解碼器處，我們得到平均錯誤概率 $P_e^{(n)}$ 在 $R < \frac{1}{k} I(X^k; Y^k|S^k) - \delta(\epsilon)$ 成立時趨于零，其中 $\delta(\epsilon) \to 0$ 當 $n \to \infty$ 。類似地，利用方程 (5) 的推導過程，我們有：
$\frac{1}{n} \mathbb{E}\left[d(S^n, \hat{S}^n(Z^n))\right] = \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^t \mathbb{E}\left[d\left(S_{(i-1)k+1}^{ik}, \hat{S}_{(i-1)k+1}^{ik}(Z_{(i-1)k+1}^{ik})\right)\right] + \mathbb{E}\left[d\left(S_{tk+1}^n, \hat{S}_{tk+1}^n(Z_{tk+1}^n)\right)\right] \right)$

$= \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^t \mathbb{E}\left[d\left(S_{(i-1)k+1}^{ik}, \hat{S}_{(i-1)k+1}^{ik}(Z_{(i-1)k+1}^{ik})\right)\right] + \mathbb{E}\left[d\left(S_{tk+1}^n, \hat{S}_{tk+1}^n(Z_{tk+1}^n)\right)\right] \right) \leq \frac{1}{n} (tkD + rD) = D.\quad (7)$

**證明逆向命題**：對于任意 $p(x^k)$ 滿足 $\frac{1}{k} \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq D$ ，我們有：
$kR \leq I(W; Y^k|S^k) + k\epsilon_k = I(W; Y^k|S^k) + k\epsilon_k \stackrel{(a)}{\leq} I(X^k; Y^k|S^k) + k\epsilon_k \leq kC_k(D) + k\epsilon_k,\quad (8)$
其中 $(a)$ 由容量-失真函數 $C_k(D)$ 的定義得出。因此，我們通過在不等式的兩邊取極限得出結論。

并且互信息表達式滿足：
$\mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] = \sum_{i=1}^k \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z^k))] \\ = \sum_{i=1}^k \sum_{z^k} p(z^k) \sum_{\hat{s}_i} p(\hat{s}_i | z^k) \sum_{s_i} p(s_i | z^k) d(s_i, \hat{s}_i) \\ \geq \sum_{i=1}^k \sum_{z^k} p(z^k) \min_{s'} \sum_{s_i} p(s_i | z^k) d(s_i, s') \\ \stackrel{(a)}{=} \sum_{i=1}^k \sum_{z^k} p(z^k) \sum_{s_i} p(s_i | z^k) d(s_i, \hat{s}_i^*) \\ = \sum_{i=1}^k \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i^*(Z^k))] = \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^{*k}(Z^k))], \quad (9)$
其中 $(a)$ 由 $Z^{k+l}$ 和 $S^k$ 給定 $Z^k$ 時的獨立性以及 $(b)$ 由 $Y^{k+l}$ 和 $S^k$ 給定 $Y^k$ 時的獨立性得出。

基于上述推導，我們得出在雙靜態 ISAC 模型中，單字母表示無法得到容量-失真函數的原因在于最優估計器是一個序列估計器。在單靜態 ISAC 模型中，最優估計是一次性估計，即在時隙 $i$ 中估計狀態 $s_i$ 僅依賴于 $x_i$ 和 $z_i$ ，因為估計器自然知道發送的消息 $X$ 和馬爾可夫鏈 $(X^{i-1}, X^{i+1}, Z^{i-1}, Z^{i+1}, \hat{S}_i) - (X_i, Z_i) - S_i$ 成立，這導致了容量-失真函數的單字母表示。

定理 1 中的上確界定義在整個聯合分布 $P_k$ 的空間上。接下來的定理表明我們可以將優化變量限制為所有平穩和遍歷隨機過程。

**定理 2.** 容量-失真函數 $C(D)$ 滿足：
$C(D) = C_{\text{SE}}(D) = \sup_{X'} I(X'; Y'|S') | \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq D,$
其中上確界取遍所有平穩和遍歷隨機過程 $X'$ ， $Y'$ 是通過雙靜態信道模型將 $X'$ 傳遞得到的輸出，并且 $I(X'; Y'|S') = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} I(X^k; Y^k|S^k)$ 。

**證明**：見附錄 A。

B.?C(D)的下界

盡管上一小節已明確定義了容量-失真函數的多字母表征，但其具體計算方法仍不明確。因此，本小節提出容量-失真函數的幾種單字母下界。

在圖2所示的雙基地ISAC系統中，由于估計器無法獲取發送消息，其估計誤差大于單基地ISAC系統（后者已知發送消息）。為改善此問題，我們利用通信輔助感知：SenRx處的解碼器通過部分解碼發送消息，進而基于解碼信息優化估計。根據SenRx中通信輔助感知的程度，提出三種**解碼-估計**策略： ?
1. **盲估計** ?
2. **部分解碼輔助估計** ?
3. **完全解碼輔助估計** ?
由此導出容量-失真函數的三個下界。

**推論1**（盲估計）. ?
容量-失真函數 $C(D)$ 滿足 ?
$C(D) \geq \max_{P_{X}} \left\{ I(X;Y|S) \ \Big| \ \mathbb{E}\left[d(S,\hat{s}^{*}(Z))\right] \leq D \right\}, \quad (10)$
其中聯合分布 $SXYZ$ 由 $P_{X}P_{S}P_{YZ|XS}$ 給出，且估計器 ?
$\hat{s}^{*}(z) = \arg\min_{s^{\prime}\in\mathcal{S}} \sum_{s\in\mathcal{S}} P_{S|Z}(s|z) d\left(s,s^{\prime}\right).$
**證明**. ?
由定理II-C的證明可得 ?
$C(D) = \lim_{k\to\infty} C_{k}(D) = \sup_{k} C_{k}(D) \geq C_{1}(D) = \max_{P_{X}} \left\{ I(X;Y|S) \ \Big| \ \mathbb{E}\left[d(S,\hat{s}^{*}(Z))\right] \leq D \right\},$
證畢。 ?

推論II-C中，盲估計體現為估計器 $\hat{s}^{*}(Z)$ 不解碼發送消息，僅依賴接收數據 $Z$ 。下文通過部分解碼輔助估計策略導出新下界。

**定理3**（部分解碼輔助估計）. ?
容量-失真函數 $C(D)$ 滿足 ?
$C(D) \geq \max_{P_{UX}} \left\{ \min\left\{ I(U;Z) + I(X;Y|U,S), \ I(X;Y|S) \right\} \ \Big| \ \mathbb{E}\left[d(S,\hat{s}^{*}(U,Z))\right] \leq D \right\}, \quad (11)$
其中 ?
$\hat{s}^{*}(u,z) = \arg\min_{s^{\prime}\in\mathcal{S}} \sum_{s\in\mathcal{S}} P_{S|UZ}(s|u,z) d\left(s,s^{\prime}\right).$
聯合分布 $SUXYZ$ 由 $P_{UX}P_{S}P_{YZ|XS}$ 給出 $P_{UX}$ 為某概率質量函數），且輔助隨機變量 $U$ 的基數滿足 $|\mathcal{U}| \leq |\mathcal{X}| + 1$ 。 ?

**證明**. ?
證明分為兩部分：速率表達式與狀態失真約束。 ?

### **編碼與估計方案**

1. **碼本生成**. ?
? ?固定概率質量函數 $p(u)p(x|u)$ ，使得期望失真小于 $D/(1+\epsilon) ,\epsilon > 0$ 為小正數）。按以下方式生成碼本： ?
? ?- 獨立隨機生成 $2^{nR_0}$ 個序列 $u^n(w_0) ,w_0 \in [1:2^{nR_0}]$ ，每個序列服從 $\prod_{i=1}^n p_U(u_i)$ 。 ?
? ?- 對每個 $w_0$ ，條件獨立生成 $2^{nR_1}$ 個序列 $x^n(w_0,w_1)$ $( w_1 \in [1:2^{nR_1}]$ ，每個序列服從 $\prod_{i=1}^n p_{X|U}(x_i | u_i(w_0))$ 。 ?

2. **編碼**. ?
? ?發送消息對 $(w_0, w_1)$ 時，傳輸 $x^n(w_0, w_1)$ 。 ?

3. **解碼**. ?
? ?- **通信接收端（ComRx）**：若存在唯一消息對 $(\hat{w}_{01}, \hat{w}_1)$ 使得 $(u^n(\hat{w}_{01}), x^n(\hat{w}_{01}, \hat{w}_1), y^n, s^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_\epsilon(P_{UXYS})$ ?? $\mathcal{T}^{(n)}_\epsilon$ 為聯合 $\epsilon$ -典型序列），則判定該消息對為發送信號；否則報錯。 ?
? ?- **感知接收端（SenRx）**：若存在唯一消息 $\hat{w}_{02}$ 使得 $(u^n(\hat{w}_{02}), z^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_\epsilon(P_{UZ})$ ，則判定該消息為發送信號；否則報錯。 ?

4. **估計**. ?
? ?設感知信道輸出為 $Z^n = z^n$ ，解碼信息為 $\hat{U}^n = \hat{u}^n$ ，則單次估計器對狀態序列的估計為 ?
? $\hat{S}^n = \left( \hat{s}^*(\hat{u}_1, z_1), \hat{s}^*(\hat{u}_2, z_2), \ldots, \hat{s}^*(\hat{u}_n, z_n) \right).$

5. **誤差概率分析**. ?
? ?假設發送消息為 $(W_0, W_1) = (1,1)$ ，平均誤差概率為 ?
$P^{(n)}_{1e} = P\left\{ (\hat{W}_{01}, \hat{W}_1) \neq (1,1) \ \text{and} \ \hat{W}_{02} \neq 1 \right\}.$
? ?通過聯合典型解碼與疊加編碼內界類似分析，當 $n \to \infty$ 時，若滿足 ?
? ? $R_0 < I(U; Z) - \delta(\epsilon), \quad R_1 < I(X; Y|U, S) - \delta(\epsilon), \quad R_0 + R_1 < I(X; Y|S) - \delta(\epsilon),$
? ?則 $P^{(n)}_{1e} \to 0$ （其中 $\delta(\epsilon) \to 0$ ）。 ?

6. **期望失真分析**. ?
? ?定義正確解碼事件 $\mathcal{A} = \{ (\hat{W}_{01}, \hat{W}_1) = (1,1) \ \text{and} \ \hat{W}_{02} = 1 \}$ ，其補集為 $\mathcal{A}^c$ 。期望失真（對隨機碼本、狀態及信道噪聲取平均）可上界為 ?
? $D^{(n)} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i)] \\ = \frac{1}{n} P(\mathcal{A}^c) \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}^c] + \frac{1}{n} P(\mathcal{A}) \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}] \\ \le d_{\max} P_{1e}^{(n)} + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}] (1 - P_{1e}^{(n)}). \quad (12)$

根據解碼原則，當解碼正確時，滿足以下聯合典型性條件：
$(U^n(1),X^n(1,1),Y^n,S^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_{\epsilon}(P_{UX}P_SP_{Y|SX}), \quad (U^n(1),Z^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_{\epsilon}(P_UP_{Z|U}).$
進一步，由估計器 $\hat{S}_i = \hat{s}^*(U_i,Z_i)$ 和條件典型性引理（[45] Lemma 2.5）可知，對任意 $\epsilon' > \epsilon$ ，有
$P\left((S^n,U^n(1),\hat{S}^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_{\epsilon'}(P_{SU\hat{S}}) \right) = 1 - \eta,$
其中聯合邊際分布 $P_{SU\hat{S}}$ 定義為
$P_{SUXZ\hat{S}}(s,u,x,z,\hat{s}) = P_{UX}(u,x) \cdot P_S(s) \cdot P_{Z|SX}(z|s,x) \cdot \chi(\hat{s} = \hat{s}^*(u,z)),$
$\chi(\cdot)$ 為指示函數， $\eta \in (0,1)$ 且 $\lim_{n \to \infty} \eta = 0$ 。定義事件 $\mathcal{B} = \{(S^n,U^n(1),\hat{S}^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_{\epsilon'}(P_{SU\hat{S}})\}$ ，其補集為 $\mathcal{B}^c$ 。根據[45]的典型平均引理，可得
$\overline{\lim_{n \to \infty}} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}] \\ = \overline{\lim_{n \to \infty}} \frac{1}{n} (1 - \eta) \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}, \mathcal{B}] + \overline{\lim_{n \to \infty}} \frac{1}{n} \eta \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}, \mathcal{B}^c] \\ \le \overline{\lim_{n \to \infty}} (1 - \eta) (1 + \epsilon') \mathbb{E}[d(S, \hat{S})] + \eta d_{\max} = (1 + \epsilon') \mathbb{E}[d(S, \hat{S})] \quad (13)$
其中 $(S,\hat{S})$ 服從上述定義的聯合邊際分布 $P_{SUZ\hat{S}}$ 。結合式（12）與式（13），可得
$\varlimsup_{n \to \infty} D^{(n)} \leq (1 + \epsilon') \mathbb{E}[d(S,\hat{S})].$
當 $\epsilon' \to \epsilon$ 時，誤差概率趨于零且失真約束在條件（II）下成立。此外，根據[45]附錄C的基數限制技術，并考慮狀態變量 S，輔助隨機變量 U的基數滿足 $|\mathcal{U}| \leq |\mathcal{X}| + 1$ 。

### **最優估計器性質**

對于聯合分布 $SUXYZ \sim P_{UX}P_SP_{YZ|XS}$ ， $\hat{s}^*(u,z)$ 是最優單次狀態估計器，即其在時隙 $i$ 僅基于 $u_i$ 和 $z_i$ 估計狀態 $s_i$ 。該估計器可視為失真度量 $d$ 的懲罰函數最小化器，且 $P_{S|UZ}(s|u,z)$ 為已知 $(U,Z)$ ?時 S的后驗概率。特別地，當失真度量 $d$ 為漢明距離時， $\hat{s}^*(u,z)$ 是最大后驗概率估計。最優性證明詳見附錄B。

**注1**. ?
參考廣播信道模型，可利用Marton內界思想（[45] Theorem 8.4）得到更一般的下界。但其表達式較復雜，且證明步驟與上述類似，故細節從略。

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### **完全解碼輔助估計下界**

通過完全解碼輔助估計策略（SenRx完全解碼發送消息以輔助估計），可得容量-失真函數的以下下界。

**推論 2.（基于完全解碼的估計）** 容量-失真函數 C(D)滿足：
$C(D) \geq \max_{P_X} \left\{ \min \left\{ I(X; Y|S), I(X; Z) \right\} \mid \mathbb{E}[d(S, \hat{S}^*(X, Z))] \leq D \right\},\quad(14)$
其中聯合分布 SXYZ由 $P_X P_S P_{Y Z|X S}$ 給出，且最優估計器為 $\hat{s}^*(x, z) = \arg \min_{\hat{s} \in \hat{\mathcal{S}}} \sum_{s \in \mathcal{S}} P_{S|XZ}(s|x, z) d(s, \hat{s})$ 。

**證明**：與定理 3 的證明類似，結論通過讓 SenRx 解碼發送的信息 X并應用最優估計器 $\hat{S}^n = (\hat{s}^*(x_1, z_1), \hat{s}^*(x_2, z_2), \dots, \hat{s}^*(x_n, z_n))$ 得出。

**備注 2**：從定理 3 的表達式中，我們觀察到當 $U = \emptyset$ 時，定理 3 的結果退化為推論 1；當 $U = X$ 時，定理 3 的結果退化為推論 2，其中 U?被視為用于輔助估計的解碼信息量。這一觀察表明，基于部分解碼的估計策略包含了基于盲估計和基于完全解碼的估計策略，作為特殊情況。

**備注 3**：注意到我們在 (1) 中采用平均期望失真作為失真度量，這在某些場景下可能沒有最大失真度量更有意義。然而，在我們考慮的情況下，即所有單字母界限也適用于最大失真度量。對于逆命題，最大失真比平均失真更嚴格。如果逆命題對平均失真成立，即沒有代碼在錯誤概率和失真方面存在一定的平均性能，那么也沒有代碼在最大性能方面存在，這意味著逆命題對最大失真也成立。因此，在下文我們主要分析基于平均度量的下界（可實現性）。具體來說，基于圖 2 模型，我們定義最大期望失真為：
$\Delta_n^{\text{max}} \overset{\triangle}{=} \max_w \Delta_n(x^n(w)) = \max_w \frac{1}{n} \mathbb{E}[d(S^n, \hat{S}^n(Z^n)) \mid W = w].$

為了調和最大失真和平均失真，并將輸入分布 $P_X$ 帶入圖中，我們考慮一個序列。對于序列 $x^n \in \mathcal{X}^n$ ，其類型為分布 $\pi$ ，即 $\pi(|x^n|) \overset{\triangle}{=} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1\{x_i = a\}$ 。回到期望失真，給定序列 $X^n = x^n$ ，我們有：
$\Delta_n(x^n) = \frac{1}{n} \mathbb{E}[d(S^n, \hat{S}^n(Z^n)) \mid W = w] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z_i)) \mid X_i = x_i]$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{\hat{s}_i \in \hat{\mathcal{S}}} \sum_{z_i \in \mathcal{Z}} P_{Z_i|S_i, X_i}(z_i|s_i, x_i) d(s_i, \hat{s}_i(z_i))$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z_i)) \mid X_i = x_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{a \in \mathcal{X}} 1\{x_i = a\} \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z_i)) \mid X_i = a]$
$= \sum_{a \in \mathcal{X}} \pi(a|x^n) \mathbb{E}[d(S, \hat{S}(Z)) \mid X = a] \stackrel{(b)}{=} \sum_{a \in \mathcal{X}} P_X(a) \mathbb{E}[d(S, \hat{S}(Z)) \mid X = a] = \mathbb{E}[d(S, \hat{S}(Z))], \quad (4)$
其中 $(a)$ 由我們下界中的所有估計器均為一次性估計得出， $(b)$ 由當 $x^n$ 屬于魯棒典型集（定義為 $\mathcal{T}_{\epsilon}^{(n)}(P_X) \overset{\triangle}{=} \{x^n \in \mathcal{X}^n : |\pi(a|x^n) - P_X(a)| \leq \epsilon P_X(a), \forall a \in \mathcal{X}\}$ ）時成立。更具體地說，如果碼本中的所有碼字具有一個接近于 $P_X$ 的類型，那么上述結論對每個碼字（即每個消息）都成立。

比較 (1) 和 (4)，我們得出最大期望失真和平均期望失真本質上相同。因此，對于我們所考慮的模型，平均期望失真是有效且充分的。

C. C(D)?的上界

在本小節中，我們提出容量-失真函數的三個單字母上界，并對其進行特征化。

通過引入一個精靈向估計器提供發送消息，可以得到一個上界，如下述定理 4 所示。

**定理 4.（上界 1）** 容量-失真函數 $C(D)$ 滿足：
$C(D) \leq C_0(D) = \max_{P_X} \left\{ I(X; Y|S) \mid \mathbb{E}[d(S, \hat{S}^*(X, Z))] \leq D \right\},$
其中聯合分布 $SXYZ$ 由 $P_X P_S P_{Y Z|X S}$ 給出，且最優估計器為 $\hat{s}^*(x, z) = \arg \min_{\hat{s} \in \hat{\mathcal{S}}} \sum_{s \in \mathcal{S}} P_{S|XZ}(s|x, z) d(s, \hat{s})$ 。

**證明**：當發送的信息通過一個精靈向估計器揭示時，該模型類似于文獻 [21] 中的單靜態 ISAC 系統，因此證明細節省略。

**備注 4**：注意到當 SenRx 在統計上比 ComRx 強時，即從 ComRx 到 SenRx 的信道是物理退化的，或者統計退化的信道時，如果 ComRx 可以解碼發送的消息，即 $R \leq I(X; Y|S)$ ，那么 SenRx 也可以解碼該消息，因為 $R \leq I(X; Y|S) \leq I(X; Z)$ 。在這種情況下，估計器可以獲取發送的消息，因此對應的容量-失真函數 $C(D) = C_0(D)$ 。

在下文，我們通過引入一個精靈向估計器提供部分發送消息的先驗信息，推導一個新的上界。

**定理 5.（上界 2）** 容量-失真函數 $C(D)$ 滿足：
$C(D) \leq \max_{P_{U X}} \min \left\{ I(X; Y|S), I(X; Y|U, S) + I(U; Z), I(X, Y; Z|U, V, S) + I(U; Z), I(X, Y; Z|U, V, S) \right\} \mid \mathbb{E}[d(S, \hat{S}^*(U, V, Z))] \leq D,\quad(16)$
其中聯合分布 $UVSXYZ$ 由 $P_{U V X} P_S P_{Y Z|X S}$ 給出，估計器為 $\hat{s}^*(u, v, z) = \arg \min_{\hat{s} \in \hat{\mathcal{S}}} \sum_{s \in \mathcal{S}} P_{S|UV Z}(s|u, v, z) d(s, \hat{s})$ ，且輔助隨機變量 U和 V?滿足 $|U| \leq |\mathcal{X}| + 2$ 以及 $|V| \leq |U||\mathcal{X}| + 1$ 。

**證明**：基于 Fano 不等式和 Csiszár 和量和恒等式 [45]，我們通過取輔助隨機變量為 $U_i = (Z_{i+1}, Y^{i-1}, S^{i-1})$ 和 $V_i = (Z^{i-1})$ 得到 (16) 中的速率表達式。詳見附錄 C。

在下文，我們考慮失真約束。對于每個滿足 $D \geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z^n))]$ 的估計器，定義一個基于精靈的估計器 $\hat{S}_i^*(U_i, V_i, Z^n)$ ，其對應的失真滿足 $\hat{S}_i^*(U_i, V_i, Z^n) = \hat{S}_i(U_i, V_i, Z_i)$ 。由于輔助隨機變量恒等式 $U_i, V_i$ ，我們有：
$D \geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z^n))]$
$\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i^*(U_i, V_i, Z^n))]$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i^*(U_i, V_i, Z_i))]$
$\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i^*(U_i, V_i, Z_i))].$