本文通過PyTorch實現二維互相關運算、自定義卷積層，并演示如何通過卷積核檢測圖像邊緣。同時，我們將訓練一個卷積核參數，使其能夠從數據中學習邊緣特征。

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1. 二維互相關運算的實現

互相關運算（Cross-Correlation）是卷積操作的基礎。以下代碼實現了二維互相關運算：

import torch
from torch import nndef corr2d(x, k):h, w = k.shapey = torch.zeros((x.shape[0] - h + 1, x.shape[1] - w + 1))for i in range(y.shape[0]):for j in range(y.shape[1]):y[i, j] = (x[i:i+h, j:j+w] * k).sum()  # 逐元素相乘后求和return y

驗證輸出：
輸入矩陣和卷積核如下，輸出結果為互相關運算后的張量：

x = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
k = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
print(corr2d(x, k))

輸出：

tensor([[19., 25.],[37., 43.]])

2. 自定義二維卷積層

通過繼承nn.Module實現一個自定義卷積層，包含可學習的權重和偏置：

class Conv2D(nn.Module):def __init__(self, kernel_size):super().__init__()self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))def forward(self, x):return corr2d(x, self.weight) + self.bias

3. 邊緣檢測應用

3.1 構造輸入圖像

創建一個6x8的矩陣，中間4列為黑色（值為0），兩側為白色（值為1）：

x = torch.ones(6, 8)
x[:, 2:6] = 0
print(x)

輸出：

tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])

3.2 定義卷積核

使用卷積核[[1, -1]]檢測垂直邊緣：

k = torch.tensor([[1.0, -1.0]])
y = corr2d(x, k)
print(y)

輸出：

tensor([[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.]])

• 結果解釋：
  輸出中1表示從白到黑的邊緣，-1表示從黑到白的邊緣。

3.3 水平邊緣檢測

若將輸入矩陣轉置，原卷積核無法檢測水平邊緣：

print(corr2d(x.T, k))

輸出：全零矩陣（無法檢測到水平邊緣）

tensor([[0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0.],...])

4. 學習卷積核參數

使用PyTorch內置的nn.Conv2d，通過梯度下降學習卷積核參數：

# 定義模型
conv2d = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=(1, 2), bias=False)# 調整輸入輸出形狀
x = x.reshape((1, 1, 6, 8))  # (batch_size, channels, height, width)
y = y.reshape((1, 1, 6, 7))# 訓練過程
for i in range(10):y_hat = conv2d(x)loss = (y_hat - y).pow(2)conv2d.zero_grad()loss.sum().backward()conv2d.weight.data[:] -= 3e-2 * conv2d.weight.grad  # 更新權重if (i+1) % 2 == 0:print(f'batch{i+1}, loss{loss.sum():.3f}')

輸出：

batch2, loss5.270
batch4, loss0.884
batch6, loss0.148
batch8, loss0.025
batch10, loss0.004

4.1 查看學習后的卷積核

訓練后的權重接近理想值[1, -1]：

print(conv2d.weight.data.reshape((1, 2)))

輸出：

tensor([[ 0.9883, -0.9878]])

5. 總結

1. 互相關運算：通過逐窗口計算實現基礎的卷積操作。

2. 邊緣檢測：方向特定的卷積核可提取圖像邊緣特征。

3. 參數學習：利用梯度下降可自動學習卷積核參數，無需手動設計。

完整代碼已驗證，讀者可自行調整輸入或卷積核探索更多效果。

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提示：實際項目中建議使用PyTorch內置的高效卷積層（如nn.Conv2d），而非手動實現，以充分利用GPU加速。