線性方程組的解法

看到以下線性方程組的一般形式：設有以下的$n$階線性方程組：

$$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$$

求解線性方程組的方法可以分為兩類：直接法和迭代法。

• 直接法是指假設計算中不產生舍入誤差，結果有限次的運算可以得到方程組的精確解的方法，主要用于解低階稠密矩陣。
• 迭代法是一種通過構造迭代序列逐步逼近方程組精確解的方法。它將求解方程組的問題轉化為一個迭代格式，從一個初始近似解出發，按照一定的迭代公式反復計算，得到一系列近似解，當迭代次數足夠多時，這些近似解逐漸收斂到方程組的精確解。迭代法主要用于解高階稀疏矩陣方程組，因為對于高階稀疏矩陣，直接法可能會面臨計算量過大、存儲需求過高的問題，而迭代法可以利用矩陣的稀疏性，減少計算量和存儲空間。

認識一些基本的矩陣函數

函數	功能
$\text{rank}(\mathbf{A})$	求$\mathbf{A}$的秩，即$\mathbf{A}$中線性無關的行數和列數
$\text{det}(\mathbf{A})$	求$\mathbf{A}$的行列式
$\text{inv}(\mathbf{A})$	求$\mathbf{A}$的逆矩陣，若$\mathbf{A}$近似奇異，會拋出錯誤
$\text{pinv}(\mathbf{A})$	求$\mathbf{A}$的偽逆
$\text{trace}(\mathbf{A})$	求$\mathbf{A}$的跡，即對角線元素和

MATLAB 實現

在$MATLAB$中，使用運算符\直接求解線性系統，該運算符功能強大，具有智能性。

x=A\b  %求解線性系統 Ax=b
X=A\B  %求解系統：AX=B

1. 直接解法：

問題
$$?\begin{array}{ll}{x}_1+3x_2?3x_3?x_4& =1\\ 3x_1?6x_2?3x_3+4x_4& =4\\ x_1+5x_2?9x_3?8x_4& =0\end{array}$$

A=[1,3,-3,-1;3,-6,-3,4;1,5,-9,-8];
B=[1,4,0]';
X=A\B

2. 逆矩陣:

注意這種方法首先要看一下$\mathbf{A}$是不是方陣。

x=A^-1*b
x=inv(A)*b

問題
$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+2x_2& =?1\\ 3x_1+4x_2& =?1\end{array}$$

A=[1,2;3,4];b=[-1;-1];x=A^-1*b

3. $LU$分解

[L U]=lu(A)
X=U\(L\B)

問題
$$?\begin{array}{c}4x_1+2x_2?x_3=2\\ 3x_1?x_2+2x_3=10\\ 11x_1+3x_2+x_3=8\end{array}$$

>> A=[4 2 -1;3 -1 2; 11 3 1];
>> B=[2 10 8]';
>> D=det(A)D =-10.0000>> [L U]=lu(A)L =0.3636   -0.5000    1.00000.2727    1.0000         01.0000         0         0U =11.0000    3.0000    1.00000   -1.8182    1.72730         0   -0.5000>> X=U\(L\B)X =4.0000-10.0000-6.0000

機電工程學院教學函數構造

1.高斯消元法

代碼模板

function x = pureGaussianElimination(A, b)% 獲取矩陣 A 的行數n = size(A, 1);% 構建增廣矩陣 [A, b]augmentedMatrix = [A, b];% 前向消元過程for k = 1:n - 1for i = k + 1:n% 計算消元因子factor = augmentedMatrix(i, k) / augmentedMatrix(k, k);% 消去第 i 行第 k 列的元素augmentedMatrix(i, k:end) = augmentedMatrix(i, k:end) - factor * augmentedMatrix(k, k:end);endend% 回代求解x = zeros(n, 1);x(n) = augmentedMatrix(n, end) / augmentedMatrix(n, n);for i = n - 1:-1:1x(i) = (augmentedMatrix(i, end) - augmentedMatrix(i, i + 1:n) * x(i + 1:n)) / augmentedMatrix(i, i);end
end

2.列主元消去法

代碼模板

function x = gaussianElimination(A, b)% 獲取矩陣 A 的行數和列數[n, m] = size(A);% 構建增廣矩陣 [A, b]augmentedMatrix = [A, b];% 前向消元過程for k = 1:n-1% 選主元[~, pivotIndex] = max(abs(augmentedMatrix(k:n, k)));pivotIndex = pivotIndex + k - 1;% 交換行if pivotIndex ~= ktemp = augmentedMatrix(k, :);augmentedMatrix(k, :) = augmentedMatrix(pivotIndex, :);augmentedMatrix(pivotIndex, :) = temp;end% 消元for i = k+1:nfactor = augmentedMatrix(i, k) / augmentedMatrix(k, k);augmentedMatrix(i, k:end) = augmentedMatrix(i, k:end) - factor * augmentedMatrix(k, k:end);endend% 回代求解x = zeros(n, 1);x(n) = augmentedMatrix(n, end) / augmentedMatrix(n, n);for i = n-1:-1:1x(i) = (augmentedMatrix(i, end) - augmentedMatrix(i, i+1:n) * x(i+1:n)) / augmentedMatrix(i, i);end
end

3.$LU$分解法

代碼模板

function x = luDecomposition(A, b)% 獲取矩陣 A 的行數n = size(A, 1);% 初始化 L 為單位矩陣，U 為 AL = eye(n);U = A;% LU 分解過程for k = 1:n - 1for i = k + 1:n% 計算 L 矩陣的元素L(i, k) = U(i, k) / U(k, k);% 更新 U 矩陣U(i, k:end) = U(i, k:end) - L(i, k) * U(k, k:end);endend% 求解 Ly = by = zeros(n, 1);for i = 1:ny(i) = (b(i) - L(i, 1:i - 1) * y(1:i - 1)) / L(i, i);end% 求解 Ux = yfunction x = GaussianElimination(A, b)% 獲取矩陣 A 的行數n = size(A, 1);% 構建增廣矩陣 [A, b]augmentedMatrix = [A, b];% 前向消元過程for k = 1:n - 1for i = k + 1:n% 計算消元因子factor = augmentedMatrix(i, k) / augmentedMatrix(k, k);% 消去第 i 行第 k 列的元素augmentedMatrix(i, k:end) = augmentedMatrix(i, k:end) - factor * augmentedMatrix(k, k:end);endend% 回代求解x = zeros(n, 1);x(n) = augmentedMatrix(n, end) / augmentedMatrix(n, n);for i = n - 1:-1:1x(i) = (augmentedMatrix(i, end) - augmentedMatrix(i, i + 1:n) * x(i + 1:n)) / augmentedMatrix(i, i);end
endx = zeros(n, 1);for i = n:-1:1x(i) = (y(i) - U(i, i + 1:n) * x(i + 1:n)) / U(i, i);end
end