1. 一般相變

對于一般的相變是朗道理論預言的由對稱性自發破缺導致的。

比如在一維橫場Ising模型中的量子相變
$$H=?J\sum _j{\sigma }_j^z{\sigma }_{j+1}^z?h\sum _j{\sigma }_j^x$$

其相圖為

這個模型存在$Z_2$對稱性，即自旋翻轉后哈密頓量保持不變。系統在鐵磁基態理論上是二重簡并的，即自旋全部朝上，和自旋全部朝下，滿足$Z_2$對稱性。

但在實際系統中，會自發地選擇其中一個態作為系統的基態，即自發對稱性破缺，系統不再滿足$Z_2$對稱性。但在順磁相，系統依然滿足$Z_2$對稱性。

當從大到小調解橫向磁場$h$，系統會在臨界點$h_c$處發生從順磁相到鐵磁相的量子相變，系統的對稱性減小了。

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2. 拓撲相變

后來發現自然界還存在另一種相變類型，系統不會發生對稱性破缺。比如SSH模型

哈密頓量為，其中$\delta t$表示不均勻度，體系取開邊界條件

$$H=?\sum _{i=1}^N\left[(t?\delta t)c_{i,A}^{?}{c}_{i,B}+(t+\delta t)c_{i,B}^{?}{c}_{i+1,A}+\text{h.c.}\right]$$

其能譜圖為

為方便處理，以下討論都取 $t=1$

在$\delta t<0$的時候，系統沒有零能模（暫且稱為正常絕緣態，NI）。如果體系是半滿，即$N$個電子（電子之間無相互作用），由于體系離散能譜有$N$個負能級，$N$個正能級，那么$N$個電子直接填滿$N$個負能級也就是說這種情況基態是非簡并的。

在$\delta t>0$的時候，系統出現了兩個零能模，即兩個能級為$E=0$的態（暫且稱為拓撲絕緣態，TI），在這種態上，如果體系是單電子，那么這個電子會完全局域在第$1$個格點的$A$子格或第$N$個格點的$B$子格中的一個上。如果體系是半滿，即$N$個電子（電子之間無相互作用），由于體系離散能譜有$N?1$個負能級，$2$個零能級，$N?1$個正能級，那么$N?1$個電子先填滿$N?1$個負能級，剩下一個電子填充$2$個零能級中的一個，也就是說這種情況基態是雙重簡并的。

模型在熱力學極限下的連續能譜為$E(k)=\pm |h(k)|=\pm \sqrt{4\delta t^2+4(t^2?\delta t^2){\sin }^2(k)}.$

顯然我們可以看到，在$\delta t=0$的時候，體系發生了從gapped到gapless的轉變，即基態與激發態的能級發生了交叉，基態簡并度發生了變化，即$\delta t<0$與$\delta t>0$的系統不是絕熱相連（所謂絕熱相連就是說一個系統經過變化，基態基態簡并度不發生變化，基態能級不會與激發態能級態發生交叉，即基態與激發態之間的Gap不會閉合）的，體系必然發生了量子相變。但是相變點兩邊體系的對稱性卻是一樣的，這顯然不符合朗道理論，也就無法定義一個序參量。

2.1 拓撲不變量

那么如何來區分兩種相呢？答案：拓撲不變量，也就是Berry相位。

數學上類比比如杯子和甜甜圈，前者沒洞，這兩者在拓撲上明顯是不等價的。那么可以定義某個量（一個對表面求積分的量）來區分它們。前者沒有洞，$I=0$；后者有一個洞，$I=1$。回到物理中，我們無法明顯的從結構上看出來有沒有洞，這里求的是對Berry相位進行積分也有一個量，拓撲不變量：$C$。對于平庸態：$C=0$，對于非平庸拓撲態：$C\ne 0$（可能是因為邊緣態存在導致的？）。

由于拓撲絕緣體伴隨著邊緣態出現的，我們可以把它看作幾何結構上的”洞“。

對與量子霍爾效應來說，這個拓撲不變量即為Chern number；
對于拓撲絕緣體來說，這個拓撲不變量即為$Z_2$ Invariants；
對于拓撲超導體來說，這個拓撲不變量即為Majorana number。