數列極限入門習題
- lim ? n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + ? + 1 n ) 1 n \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}} n→∞lim?(1+21?+31?+?+n1?)n1?
- lim ? n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + ? + 1 n + n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}) n→∞lim?(n+1?1?+n+2?1?+?+n+n?1?)
- lim ? n → ∞ ∑ k = n 2 ( n + 1 ) 2 1 k \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{k = n^2}^{(n + 1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}} n→∞lim?k=n2∑(n+1)2?k?1?
- lim ? n → ∞ 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1 ) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ( 2 n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n - 1)}{2\cdot4\cdot6\cdot\cdots\cdot(2n)} n→∞lim?2?4?6???(2n)1?3?5???(2n?1)?
- lim ? n → ∞ 3 n 2 + 4 n ? 1 n 2 + 1 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2 + 4n - 1}{n^2 + 1} n→∞lim?n2+13n2+4n?1?
- lim ? n → ∞ n 3 + 2 n 2 ? 3 n + 1 2 n 3 ? n + 3 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^3 + 2n^2 - 3n + 1}{2n^3 - n + 3} n→∞lim?2n3?n+3n3+2n2?3n+1?
- lim ? n → ∞ 3 n + n 3 3 n + 1 + ( n + 1 ) 3 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3^n + n^3}{3^{n + 1}+(n + 1)^3} n→∞lim?3n+1+(n+1)33n+n3?
- lim ? n → ∞ ( n 2 + 1 n ? 1 ) sin ? n π 2 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{n^2 + 1}-1)\sin\frac{n\pi}{2} n→∞lim?(nn2+1??1)sin2nπ?
- lim ? n → ∞ n ( n + 1 ? n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}) n→∞lim?n?(n+1??n?)
- lim ? n → ∞ n ( n 2 + 1 4 ? n + 1 ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}(\sqrt[4]{n^2 + 1}-\sqrt{n + 1}) n→∞lim?n?(4n2+1??n+1?)
- lim ? n → ∞ 1 n ! n \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n!}} n→∞lim?nn!1??
- lim ? n → ∞ ( 1 ? 1 2 2 ) ( 1 ? 1 3 2 ) ? ( 1 ? 1 n 2 ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})\cdots(1-\frac{1}{n^2}) n→∞lim?(1?221?)(1?321?)?(1?n21?)
- lim ? n → ∞ n lg ? n n \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n\lg n} n→∞lim?nnlgn?
- lim ? n → ∞ ( 1 2 + 3 2 2 + ? + 2 n ? 1 2 n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\cdots+\frac{2n - 1}{2^n}) n→∞lim?(21?+223?+?+2n2n?1?)
- 已知 lim ? n → ∞ a n = a \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a n→∞lim?an?=a， lim ? n → ∞ b n = b \lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b n→∞lim?bn?=b，證明：
lim ? n → ∞ a 1 b n + a 2 b n ? 1 + ? + a n b 1 n = a b \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n - 1}+\cdots+a_{n}b_{1}}{n}=ab n→∞lim?na1?bn?+a2?bn?1?+?+an?b1??=ab
