本文重點

在前面的課程中，我們學習了線性空間的基，其中有一個標準正交基的概念，假設現在有一個線性向量空間，然后已經確定了該線性空間的一組基，那么如何將其轉變為標準正交基。本文將學習如何通過施密特正交化完成這個任務。

施密特正交化

施密特正交化（Schmidt Orthogonalization），也稱為Gram-Schmidt正交化，是一種在歐氏空間中尋找正交基的重要方法。這種方法通過迭代的方式，將一組線性無關的向量轉換為一組正交的向量，進而通過單位化得到標準正交向量組。具體過程如下：

【第一步】初始化：首先，從一組線性無關的向量組α1,α2?,…,αm?開始

【第二步】計算正交向量：對于每個向量αi?（i=1,2,…,m），通過以下步驟計算正交向量βi?：

當i=1時，直接令β1?=α1?
對于i>1，首先計算αi?在已得到的正交向量β1?,β2?,…,βi?1?上的投影，并從αi?中減去這些投影，得到與前面所有向量都正交的向量βi?。具體計算方式為：