Krylov矩陣是一種在數值線性代數中使用的矩陣，尤其是在迭代解法中用于求解線性方程組、特征值問題和其他線性代數問題。它是由俄國數學家阿列克謝·尼古拉耶維奇·克雷洛夫（Alexei Nikolaevich Krylov）的名字命名的。
Krylov子空間由以下形式的矩陣生成：
K ( A , v ) = { v , A v , A 2 v , … , A m ? 1 v } K(A, \mathbf{v}) = \{\mathbf{v}, A\mathbf{v}, A^2\mathbf{v}, \dots, A^{m-1}\mathbf{v}\} K(A,v)={v,Av,A2v,…,Am?1v}
其中 $A$是一個 $n\times n$方陣， $\mathbf{v}$ 是一個 $n$ 維向量，$m$通常遠小于$n$。這些向量可以被看作是通過不斷地將矩陣 $A$ 應用于向量 $\mathbf{v}$ 來生成的。所生成的Krylov矩陣可以表達為：
$K_m=[\mathbf{v},A\mathbf{v},A^2\mathbf{v},\dots ,A^{m?1}\mathbf{v}]$
在這個定義中，每個 $A^i\mathbf{v}$被稱為Krylov矩陣的一列，這個矩陣的列跨越了 $A$的一個Krylov子空間。
Krylov矩陣在迭代方法中非常重要，因為它們與系統的特征值和特征向量有緊密的聯系，并且能夠在沒有完整解決問題的情況下提供有用的近似信息。例如，Krylov子空間方法，如共軛梯度法（用于對稱正定矩陣）和GMRES（Generalized Minimal Residual Method，用于非對稱問題），就是基于構建這種類型的子空間來迭代地逼近線性方程組 $Ax=b$的解。
簡而言之，Krylov矩陣和子空間為解決大型稀疏矩陣問題提供了一種高效的計算方法，廣泛應用于科學計算和工程領域。