部分內容整理自張宇和網絡

序

題型分布：

題型	單題分值	題目數量	總分值
選擇題	5	3	15
填空題	5	1	5
解答題	12	1	12

*一道大題可能用到六部分所有知識

矩陣

性質

	$k$倍	和	乘積
行列式	$|kA|=k^n|A|$	$|A+B|\ne |A|+|B|$	$|AB|=|A||B|=|B||A|$
轉置	$(kA{)}^T=k{A}^T$	$(A+B{)}^T=A^T+B^T$	$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
逆	$(kA{)}^{?1}=\frac{1}{k}{A}^{?1}$	$A+B$未必可逆，且$(A+B{)}^{?1}\ne A^{?1}+B^{?1}$	$(AB{)}^{?1}=B^{?1}{A}^{?1}$
伴隨	$(kA{)}^{?}=k^{n?1}{A}^{?}$	$(A+B{)}^{?}\ne A^{?}+B^{?}$	$(AB{)}^{?}=B^{?}{A}^{?}$

1. 行列式的乘積等于乘積的行列式$|AB|=|A||B|$
2. 轉置伴隨和逆 任意兩個運算順序可交換

基本運算

行列式

• $\prod _{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$，所有特征值相乘結果等于行列式
• 矩陣可逆行列式不為零，矩陣不可逆行列式為零
• 矩陣逆矩陣的行列式等于原矩陣行列式的倒數
• $r(A{A}^T)=r(A^{T}A)=r(A)$
• 可逆乘可逆必可逆

求行列式

• 加邊法
• 伴隨矩陣行列式可用原矩陣行列式＋特征值得出（見下方“伴隨矩陣的特征值”一節）
• 遞推法（通常是$n$階行列式）

知乎 - 分塊矩陣行列式

圍繞矩陣$A$可逆

• 矩陣若可逆，逆矩陣必唯一
• 逆矩陣特征值倒數
• $|A^{?1}|=|A{|}^{?1}$，

1. 證明矩陣$A$可逆
2. 求矩陣$A^{?1}$

求逆矩陣：

1. 求$|A|\ne 0$
2. 求$A^{?}$
3. 代公式$A^{?1}=\frac{1}{|A|}{A}^{?}$

---

證矩陣$A$可逆（利用性質）：

• 可逆矩陣$r(A)=n$（滿秩則可逆）
• 可逆矩陣$|A|\ne 0$（行列式值不為零則可逆）
• （按定義）存在$AB=BA=E$則可逆
• 齊次線性方程AX=0，如果方程只有零解，則矩陣可逆，反之如果有無窮解，則矩陣不可逆
• 對于非齊次線性方程AX=b，如果方程只有一個特解，那么矩陣是可逆的；否則，如果有無窮解，矩陣是不可逆的。

秩

非零矩陣秩大于等于1，不滿秩的矩陣的行列式必然為0

• 對于矩陣$A_{m\times n}$，必有 r ( A ) ≤ min ? { m , n } r(A)\le\min\{m,n\} r(A)≤min{m,n}
• r ( A B ) ≤ min ? { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}
• 二級結論：對于矩陣$A_{m\times n}$，$r(A)=r(A^{T}A)$
• 兩向量組被表出的秩不大
• 可逆矩陣滿秩（秩等于階數，行列式不為零）
• 若$A$可逆，則$r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)$
• 若$A$是一個非零列向量, 則$r(A{A}^T)=1$
• 若$n$階矩陣$A$的某代數余子式$A_{ij}\ne 0$，意味著$r(A)\ge n?1$（2020數學2第七題）
• $AB=0$則$r(A)=r(B)\le 3$

$$r(A^{?})=?\begin{array}{l}n\text{??????}r(A)=n\\ 1\text{??????}r(A)=n?1\\ 0\text{??????}r(A)\le n?1\end{array}$$

跡

矩陣$A$的跡即對角線元素之和

$$tr(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}+...+a_{nn}$$

性質/結論：

• $r(C)=1$則$C^n=[tr(C){]}^{n?1}C$

---

性質：

1. $tr(A)=tr(A^T)$
2. $tr(AB)=tr(BA)$
3. 循環性：$tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)$
4. 相似矩陣跡相等，因為$$
5. $tr(A+B)+tr(A)+tr(B)$
6. 特征值之和等于矩陣的跡，特別是上三角矩陣，$tr(A)={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_{ii}$

關于5的解釋如下：

設$A$、$B$都是$n$階矩陣，若有可逆矩陣$P$，使$P^{?1}AP=B$則稱$A$是$B$的相似矩陣，或說$A$和$B$相似。

基于第三點，存在$tr(A)=tr(PB{P}^{?1})=tr(P{P}^{?1}B)=tr(B)$，可推知第五點

---

伴隨矩陣

伴隨矩陣的核心在于它的定義和其他推導的二級結論

$$A^{?}=\left|\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& ...& A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& ...& A_{n2}\\ ?& ?& & ?\\ A_{1n}& A_{2n}& ...& A_{nn}\end{array}\right|$$

其余二級結論如下：

• $$\begin{gathered} A{A}^{?}=A^{?}A=|A|E \\ ?|A{A}^{?}|=||A|E| \\ ?|A||A^{?}|=|A{|}^n \\ ?|A^{?}|=|A{|}^{n?1} \end{gathered}$$
• $A^{?}=|A|A^{?1}$
• $$\begin{gathered} A^{?}(A^{?}{)}^{?}=|A^{?}|E=|A{|}^{n?1}E \\ ?(A^{?}{)}^{?}=|A{|}^{n?1}(A^{?}{)}^{?1}=|A{|}^{n?1}(|A|A^{?1}{)}^{?1}=|A{|}^{n?2}A \end{gathered}$$
• $|A^{?}|=|A{|}^{n?1}$

當提到伴隨矩陣$A^{?}\ne 0$時，這意味著存在某個余子式$A_{ij}\ne 0$
$?A$中有$n?1$階子式不為零
$?r(A)\ge n?1$

如果求多個余子式構成的式子（如$A_{11}+A_{22}+A_{33}$）就有可能用到伴隨矩陣作為輔助

等價

---

計算矩陣等價可以行列變換同時出現，但是解方程組時只可以進行行變換

矩陣等價時列向量組之間、行向量組之間可能不等價（也可能等價），但秩一定相等。向量組等價看下面“向量組”一節的“等價小節”

矩陣n次方

CSDN - 常見各種類型的矩陣n次方求法
知乎 - 線代——求矩陣的n次方方法總結

$A$、$B$相似，則$A^n$、$B^n$相似

正交

正交矩陣行列式值為$\pm 1$之一

向量組

線性相關/無關

首先明確這個在描述的是向量組，而且處理方法跟它是行向量或者列向量無關

線性無關$?|A|\ne 0?$滿秩$?Ax=0$只有0解$?A$可逆

即${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$線性相關等價于
$?Ax=0$有非零解
$?r(A)<n$

• $n$個$n$維向量${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$相關$?|{\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n|=0$
• $n+1$個$n$維向量必線性相關
• 兩向量組被表出的秩不大（若不能被表出，秩之間無必然大小關系）
• 不成比例，線性無關
• 若$A=[{\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n]$相似于B，若B線性無關，則A線性無關

證明${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$線性無關的方法：

1. 定義法（見上面的流程圖）（重組或乘）
2. 證明秩$r({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n)=n$
3. 反證法

---

處理向量組$I$能由向量組$II$線性表出，而反過來不能的問題

關于被表出的秩不大的特例：若${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$可用${\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n$表出，但${\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n$不可用${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$表出，則$r({\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n)<r({\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n)$

若向量組$I$能由向量組$II$線性表出，且$r(I)=r(II)$，則兩向量組等價

若${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$可用${\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n$表出，即$r({\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n)\le r({\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n)$

但另一方面由于向量組等價即可以互相表出，與前提“${\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n$不可用${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$表出”矛盾，則兩秩必不可能相等，故$r({\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n)<r({\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n)$

線性表出

若向量$\beta$可以由${\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n$線性表出
$??$實數$k_1{k}_2...k_n$使$k_1\alpha +k_2\alpha +...+a_n\alpha =\beta$
$??$實數$k_1{k}_2...k_n$使
$$({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n)\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ?\\ k_n\end{array}\right]=\beta$$
$?$下面的方程組有解（方程組有解問題可以使用增廣矩陣解方程組）
$$({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n)\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ?\\ k_n\end{array}\right]=\beta$$
$?$秩$r({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n)=r({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n\beta )$

此處引用知乎用戶的（來源見水印）的一張圖

1. 研究秩相等與否
2. 反證法（根據表達式構造矛盾）
3. 若$k_s\ne 0$（根據題意選擇）證明

表示法不唯一

若$\beta$可由${\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n$線性表示，且向量都是$n$維列向量，則方程組有$Ax=\beta$有無窮多解，即應求得$r(A)=r(A|B)<n$成立

等價

兩個向量組能互相線性表出就稱這兩個向量組等價

---

1. 向量組等價不要求每個組向量個數相同，只要維數一樣即可
2. 計算/判斷依據：向量組$I$和$II$存在關系$r(I)=r(II)=r(I|II)$即三秩相同
3. 向量組$I$和$II$等價則記為$(I)≌(II)$
4. 向量組和它的極大線性無關組是等價向量組

向量空間

結合3D圖形領域常說的世界空間坐標和物體局部坐標比較好理解

基變換公式則是

線性方程組

我把它寫在另一篇文章里了：線性方程組的求解問題

• 齊次方程組有無窮多解則$r(A)<n$，畢竟這樣才能有$n?r(A)$個自由量，自由量含$k$，而$k$任意取值，那自然就是無窮多解
• $Ax=0$只有0解$?r(A)=n$
• $Ax=b$有唯一解$?r(A)=r(\overline{A})=n$
• 但是$Ax=0$只有0解不能推知$Ax=b$有唯一解

公共解問題

開頭先說“因為方程組$(1)$與$(2)$的公共解即為聯立方程組$(3)$（這里要具體寫出來聯立的方程組內容）的解”，就有兩分
對聯立方程組$(3)$做初等行變換有$\overline{A}=...$
若參數$a=...$則有解，此時…（按常規解法進行就可以了）

若給出的不是兩個線性方程組，而是一個線性方程組和另一個方程組的解，則

同解問題

同解問題的本質是行變換（右乘矩陣）解不變

• 若$A$、$B$同解$?r(A)=r(B)$（不可反推）
• 常用$A$的解帶入$B$的式子定$B$系數矩陣中的未知數，但是定出來之后還是要化簡和$A$比較一下的，因為存在$B$的解包含$A$的解的情況，此時$B$包含一些獨有的解。
• $A^{T}Ax=0$和$Ax=0$同解

特征值與特征向量

特征值和特征向量不是一對一的關系，一個特征值對應的特征向量可能構成一個空間（解空間）

如${\alpha }_1{\alpha }_2$是矩陣$A$關于特征值$\lambda$的特征向量，則$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$（非0時）仍是$A$關于$\lambda$的特征向量
如${\alpha }_1{\alpha }_2$是矩陣$A$不同特征值的特征向量，則$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$不是$A$的特征向量

• $\prod _{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$，所有特征值相乘結果等于行列式
• $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=tr(A)$
• $k$階矩陣最多會有$k$個特征值
• 不同特征值對應的特征向量是線性無關的
• 相同的特征值對應的特征向量可能線性無關也可能線性相關
• 能夠相似對角化和是否不含重根沒有必然聯系
• 上三角矩陣主對角線元素就是特征值，若均不同，可立即推出能對角化

對于相同的特征值（重根），對應的特征向量可能構成一個解空間，但是這個n維的解空間內只有$n$個向量線性無關，其余向量均可用這$n$個線性無關的向量表示，所以可能線性無關也可能線性相關。

故也有結論：若${\xi }_1$、${\xi }_2$是屬于同一個特征值$\lambda$的特征向量時，$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$也是屬于特征值$\lambda$的特征向量

相似對角化與重根：對于$n$階矩陣$A$的各個特征值中，對于各重根，若滿足$n?r({\lambda }_{i}E?A)=n_i$，其中${\lambda }_i$是$n_i$重根。此時可以相似對角化，即這個$s$重根對應能有$s$個線性無關的特征向量

伴隨矩陣特征值

秩為1的矩陣特征值的結論推導

凡是$n$階方陣$A$秩為1，其特征值構成為$n?1$個0，和一個$tr(A)$

求特征值、特征向量

1. $A\alpha =\lambda \alpha (\alpha \ne 0)$
2. $|\lambda E?A|=0,({\lambda }_{i}E?A)x=0$
3. 如$P^{?1}AP=B$
   • 若$A\alpha =\lambda \alpha$則$B(P^{?1}\alpha )=\lambda (P^{?1}\alpha )$
   • 若$B\alpha =\lambda \alpha$則$A(P\alpha )=\lambda (P\alpha )$

關于2的注：由特征值$\lambda$解出特征向量$\xi$，實際上是在解線性方程組$(\lambda E?A)\xi =0$，具體操作與上一節線性方程組內容一致，參閱即可。

求解線性方程組最后解要加上系數$k$，但是要注明$k\ne 0$，因為特征向量不為零
求特征值要先帶$|\lambda E?A|=0$再化簡，不能先化簡再代

矩陣相似

設$A$、$B$都是$n$階矩陣，若有可逆的$n$階矩陣$P$，使$P^{?1}AP=B$則稱$A$是$B$的相似矩陣，或說$A$和$B$相似，記為$A～B$。

• [反身性]$A～A$
• [對稱性]若$A～B$，則$B～A$
• [傳遞性]若$A～B$，$B～C$，則$A～C$

相似矩陣的性質：

若有$P^{?1}AP=B$，則$A$和$B$相似，可推知：

• A與B行列式相等$|A|=|B|$
• A與B具有相同的可逆性，即若$A$可逆，則有$A^{?1}$與$B^{?1}$相似
• A與B具有相同的秩、特征值多項式、特征值和跡
• $A^n～B^n$

由$A$和$B$相似還可推知$A+kE～B+kE$，進一步類似地：

• $|A+kE|=|B+kE|$
• $r(A+kE)=r(B+kE)$

若$A～B$則$A$是否能對角相似的問題可以轉化為$B$能否對角相似的問題

※相似有這些性質，但有這些性質的未必相似

• 實對稱矩陣有相同的特征值必相似
• 特征值是重根得具體討論是否相似（見下一節）

$A$和$B$相似

• 矩陣$\lambda E?A$和$\lambda E?B$未必相等
• $A$和$B$未必相似于同一個對角矩陣
• $A$和$B$未必有相同的特征向量

矩陣的相似對角化

大題里面總要有某個題的中間步驟用到相似對角化

若對于$n$階矩陣$A$

1. $A～\Lambda ?A$有 $n$個線性無關的特征向量$\xi$
2. $A～\Lambda ?n_i=n?r({\lambda }_{i}E?A)$，其中${\lambda }_i$是$n_i$重根
3. $A$有$n$個不同的特征值$\lambda ?A～\Lambda$
4. $A$是實對稱矩陣$?A～\Lambda$

前兩個是充要條件，后兩個是充分條件

相似對角化的意義

參閱知乎文章：理解矩陣的相似對角化

如果矩陣$A_{n\times n}$能夠相似對角化，則會有$P^{?1}AP=\Lambda$，其中$P$稱為相似變換矩陣，且$P$不唯一。因為P是由$n$個線性無關的特征向量構成的（由于解出特征向量是一個解線性方程組的問題，其解通常構成一個空間，而在空間內選取一組線性無關的向量有很多種選法），出于方便使用，$P$往往會選擇為正交矩陣。

相似對角化的意義就是坐標系的變換。作用是通過對坐標系的變換，選取不同的基，使某些運算簡單些。（此處就對應了常見題型“由特征值、特征向量反求$A$”）

如求$B^n$，若有$B^n=P^{?1}{\Lambda }^{n}P$，此處的${\Lambda }^n$計算肯定比$B^n$的計算方便

$$\begin{gathered} AP=A({\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3)=({\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3)\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & a_2& \\ & & a_3\end{array}\right] \\ ?(A{\gamma }_1\text{,?}A{\gamma }_2\text{,?}A{\gamma }_3)=(a_1{\gamma }_1\text{,?}{a}_2{\gamma }_2\text{,?}{a}_3{\gamma }_3) \end{gathered}$$
顯然對角矩陣的值是$A$的特征值，$P$的列向量是$A$的特征向量

---

若$P^{?1}AP～B\ne \Lambda$，則此處的$P$ 不是$A$d的特征向量

判斷相似

考研討論的矩陣一般都是實矩陣

• 實對稱矩陣必可相似于對角矩陣
• 特征值不重復的矩陣必可相似于對角矩陣
• 特征值有重根且$k_i=n?r({\lambda }_{i}E?A)$的必可相似于對角矩陣，其中$k_i$是重根${\lambda }_i$的個數

藉由傳遞性：若$A～B$，$B～C$，則$A～C$，證明矩陣$A$和$C$相似實際上需要找到中間的矩陣（通常是對角矩陣）$\Lambda$，證出$A～\Lambda$和$C～\Lambda$

判斷不相似（相似的4個必要條件）

• $|A|\ne |B|$
• $r(A)\ne r(B)$
• ${\lambda }_A\ne {\lambda }_B$
• $\sum a_{ii}\ne \sum b_{ii}$
• $A～\Lambda$但$B$不可相似對角化
• $A+kE?B+kE$則$A$和$B$不相似

判斷相似

• 相似于同一對角矩陣的兩矩陣相似（即上面的傳遞性）
• 實對稱矩陣相似$?$兩矩陣特征值一樣

求可逆矩陣$P$使$P^{?1}AP～\Lambda$

$P$是$A$的特征向量

1. 預處理
2. 求特征值（$|\lambda E?A|=0$得到${\lambda }_1$、${\lambda }_2$、${\lambda }_3$）
3. 求特征向量
4. 構造可逆$P=[{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3]$

$$P^{?1}AP=\Lambda =\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]$$

顯然若有重根就得按解線性方程組的方法算出解空間內的一組（$k$個）線性無關的向量作為$k$重根的特征向量${\alpha }_1?{\alpha }_k$，加上其余的特征向量構成$P=[{\alpha }_1{\alpha }_2?{\alpha }_n]$

求正交矩陣$Q$使$Q^{?1}AQ～\Lambda$

關鍵是注意單位化

1. 預處理
2. 求特征值（$|\lambda E?A|=0$得到${\lambda }_1$、${\lambda }_2$、${\lambda }_3$）
3. 求特征向量
4. 改造特征向量
   • 若${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ 只需單位化
   • 若${\lambda }_i={\lambda }_j$（特征值有重根）先施密特正交化（如果不正交的話）再單位化

特征向量內積不得零就得正交化

施密特正交化

知乎 - 如何理解施密特正交化

知識串聯

說明：

1. 得到$n$階矩陣$A$
2. 求出$\lambda$和$\xi$（有多個）
3. 確定${\xi }_1\text{?}{\xi }_2...{\xi }_n$是$n$個線性無關向量
4. 構造$P=({\xi }_1\text{?}{\xi }_2...{\xi }_n)$
5. 確定$P$可逆
6. 存在下式，且構成下式的$\lambda$均為$A$的特征值

$$P^{?1}AP=\left|\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & ?& \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right|$$

對角線上的$\lambda$的順序是1、2…n，是因為構成$P$的向量下標也是這個順序，這倆得保持一致

構成對角化矩陣的元素就是原矩陣$A$的特征值

二次型

$$通過\text{?}x=Py\text{?}將\text{?}{x}^{T}Ax\text{?}變換為\text{?}{y}^T{P}^{T}APy$$

顯然在原先的$x^{T}Ax$中參數（變量/坐標軸）是$x$，系數矩陣的$A$，而變化之后參數是$y$，系數矩陣是$P^{T}AP$，如果$P^{T}AP$是對角矩陣，則無交叉項（變成了標準型）

• $P^{?1}AP=\Lambda$：相似對角化（上一節特征值的東西）
• $P^{T}AP=\Lambda$：合同對角化

相似和合同本無必然聯系，但是在實對稱矩陣下相似必合同，在實對稱矩陣下合同的充要條件的

二次齊次多項式（二次型）可以寫為矩陣形式$f(x)=x^{T}Ax$，其中$A=A^T$，是個實對稱矩陣，叫做系數矩陣。二次型寫成矩陣的形式有很多種方式，選用實對稱矩陣是因為方便后續計算，利于后面研究問題。

• 系數矩陣$A$的秩就是二次型的秩
• 可逆線性變換不會改變二次型的秩
• 正交變換的意義是對坐標軸進行旋轉，但是不會導致圖形的扭曲
  發現像坐標變換的先看行列式，若行列式為零就不是坐標變換

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$$x^T(A+B)x=x^{T}Ax+x^{T}Bx$$

合同

合同的前提是在討論實對稱矩陣

$f(x)=x^{T}Ax$，$g(y)=y^{T}By$，若有矩陣$C$使得$x=Cy$（亦即$C^{T}AC=B$），則$A$與$B$合同，記為$A?B$。$x=Cy$即原坐標系與新坐標系下的坐標替換公式，

閱讀：矩陣合同的本質是什么，在坐標系或者基中？ - 馬同學的回答 - 知乎

做合同變換的意義是使二次型沒有交叉項（即只有平方項，并且這種形式稱為標準型）。而標準型的系數矩陣恰恰只有對角線有元素，其他位置為0，這和“矩陣相似對角化”這一操作得到的結果不謀而合，所以相似對角化能作為矩陣化為標準型用到的手段。

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二次型化為標準型的三種方法：

• 配方法
• 正交變換
• 合同變換

詳細可參閱：

• 請問求二次型的標準型的三種方法？ - yfli-math的回答 - 知乎
• 正交變換最強總結筆記，解決每一個考研線代人的理解難關 - 煜神學長的文章 - 知乎
• kaysen學長：配方法化二次型為標準型通俗講解！理解門檻降為0，不再配出一地雞毛！

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判斷合同的方法：

• 兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同
• 實對稱矩陣相似必然合同
• 合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣

慣性定理

同一個二次型通過不同的可逆變換，所得的不同標準形，系數為正的項數（正慣性指數）和系數為負的項數（負慣性指數）相同。

依靠慣性定理比較兩個二次型是否能互相轉換

• 使用特征值求正負慣性指數的數目
• 配方法求正負慣性指數的數目

---

欲求正負慣性指數需要先求標準型，即由$|\lambda E?A|=0$算特征值看正負項數目即可

配方法

配方法得到一個新的式子（下為例子）

$$(x_1+x_2+2x_3{)}^2+(x_2+5x_3{)}^2+x_3^2?y=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 5\\ 0& 0& 1\end{array}\right]x?y=Px?x=P^{?1}y$$

那個$P^{?1}$才是坐標變換

把二次型A化為另一個非標準型的二次型B

正交變換化為標準型

經過坐標變換，二次型矩陣一定合同
經過正交變換，二次型矩陣不僅合同而且相似

求二次型$x^{T}Ax$在正交變換下的標準型就也就是求二次型矩陣$A$的特征值

對于任給的$n$元二次型$f(x)=x^{T}Ax$，總有正交變換$x=Qy$把$f(x)$化為標準型$g(y)={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$，其中${\lambda }_1,{\lambda }_2...{\lambda }_n$是$A$的特征值

若$Q$是正交矩陣，$x=Qy$就是正交變換。

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實際上就是對二次型的系數矩陣$A$求相似對角化的矩陣$\Lambda$，那就是標準型，然后對應的坐標變換$x=Qy$的$Q$由$A$的特征值構成，并且得正交化和單位化

步驟：

1. 根據二次型寫出$A$
2. 求$A$的$\lambda$和$\xi$
3. ${\xi }_1...{\xi }_n$正交化&單位化為${\eta }_1...{\eta }_n$，則正交矩陣$Q=({\eta }_1...{\eta }_n)$，且有性質$Q^T=Q^{?1}$，$Q^{?1}AQ=\Lambda$
4. 令$x=Qy$則$f(x)=x^{T}Ax=(QY{)}^{T}AQY=Y^T{Q}^{T}AQY=Y\Lambda Y$

顯然，這里是用正交矩陣$Q$把$A$相似對角化

標準型項數的關系

標準型/規范性項數即原先系數矩陣的秩（經過坐標變換秩不變）

顯然在三維空間下，若化為的標準型為$y_1+y_2$（兩項），則原二次型秩為2，顯然必有其中一個特征值$\lambda =0$

規范型

得到規范性的前提是得到標準型，對標準型做伸縮變換即可。標準型的求法參見上方內容。

規范型只和平方項系數正負有關，和系數大小無關

倘若給出的不是標準型（即含有交叉項），則可考慮配方法。若配方法過于復雜，則應當對原二次型的系數矩陣$A$ 求特征值，根據特征值的正負數目（正負慣性指數）確定規范型的正負

正定

前提有$A=A^T$（即正定隱含的條件就是矩陣是對稱矩陣）

• $A$正定，$A^T$必正定（因為實對稱矩陣$A=A^T$）
• $A$正定$?A^{?1}$正定（這個是正反都成立的）
• $A$正定$?A^{?}$正定（這個是沒法倒推的）

處理步驟：

• 寫出二次型的系數矩陣（如果需要）
• 檢查是否對稱
• 證明正定

證明正定的方法：

• 定義法
• 特征值大于0（充要條件）
• 正慣性指數=n（和單位矩陣合同$A=C^{T}EC=C^{T}C$）

正定的必要條件：平方項系數大于0（平方項/對角線元素有$\le 0$的立即推不正定）
充要條件：所有順序主子式都大于0（一般是判斷某個項的系數取值）

$$如\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 2\\ 1& 2& 5\end{array}\right]的二階主子式\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|小于零$$

因為正定所以行列式大于0
正定必可逆

附錄1：相關結論的說明/例證

主對調，副變號

主對調副變號是求二階矩陣的

矩陣相似未必可以對角化

另一種說法是$A～B$無法推出$A～\Lambda ,B～\Lambda$

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如對于矩陣$$A=\left|\begin{array}{cc}1& ?2\\ 0& 1\end{array}\right|\text{?}B=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|$$

存在$p=\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& ?1\end{array}\right|$使得$P^{?1}AP=B$，但是$A$和$B$均不可相似對角化。因為它們的特征值都為1（二重根），但是由于$2\ne n?r(E?A)$（其中$n=2$），故而無法相似對角化（但是確實相似）

$A$正定$?A^{?1}$正定

已知$A$正定，又因為正定矩陣一定是實對稱矩陣，故有$A=A^T$，對此式取逆，有$A^{?1}=(A^T{)}^{?1}=(A^{?1}{)}^T$。

又因為$A$的特征值${\lambda }_i$全大于0，所以$A^{?1}$的特征值$\frac{1}{{\lambda }_i}$也全大于0

故有$A$正定，$A^{?1}$必正定

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伴隨的情況也類似，但是為什么不能反推呢，有個反例：

$A$的三個特征值都是-1，此時$A^{?}$的三個特征值由$\frac{?1\times ?1\times ?1}{?1}=1$為正，這個反推不回去的

附錄2：一些可以橫向比較的概念辨析

矩陣的等價/相似/合同

如何形象地理解矩陣的相似與合同？ - PeiLingX的回答 - 知乎

相似的矩陣是同一個線性變換在不同基下的矩陣。
合同的矩陣是同一個雙線性形在不同基下的矩陣。

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相似必等價，等價未必相似。因為相似的$P^{?1}AP$中的$P^{?1}$就是等價中的$QAP$中的$Q$

等價合同相似都得同型

• 等價：秩相等
• 相似：特征值相同或相似于同一對角陣（有重根得另外考慮，即特征值相同不一定相似）
• 合同：如果是實對稱矩陣得正負慣性指數相同

$$實對稱矩陣相似?特征值相同$$

對稱和反對稱

若$A^T=?A$則為反對稱

• 主對角線為0，其余對應元素為相反數

對$A^T=?A$求行列式，則有$|A|=|A^T|=|?A|=(?1{)}^n|A|$

• 若反對稱矩陣行列式不為零則推知n為偶數

附錄3：收集的其他人有用的文章

我的意思是沒事時可以看看

矩陣跡（trace）, 行列式（determinate）
線性代數小結02伴隨矩陣的十二個性質
22考研數學一143分經驗貼

附錄4：題型歸納與方法總結

x^n項系數

別忘乘逆序數

分塊矩陣

知乎 - 分塊矩陣行列式公式

秩1矩陣性質

AB=O

當兩個矩陣存在關系$AB=O$并不意味著$A$或$B$為零矩陣。事實上$AB=O$是$|A||B|=0$的充分不必要條件。解該類問題的思考角度有：

1. $X＝B\ne 0$就是$AX＝0$的非零解
2. 從秩的角度入手

如 880.Z10.J.二.(8) 對$n$階矩陣$A$得到的$A(A?E)=0且A\ne E$

r ( A B ) ≤ min ? { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\le \min\{r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}

矩陣的冪

1. 若$A～B$即$P^{?1}AP=B$則$A=PB{P}^{?1}$，$A^n=P{B}^n{P}^{?1}$
2. 找規律（算$A^2$、$A^3$等）
3. 若方陣$A$有$r(A)=1$則有$A^n=tr(A{)}^{n?1}A$，其中跡$tr(A)$為對角線元素和，注意是原矩陣，不是化簡矩陣的跡
4. 若$A=\alpha {\beta }^T$則對于$A^n=\alpha {\beta }^T\alpha {\beta }^T...\alpha {\beta }^T=\alpha ({\beta }^T\alpha )({\beta }^T\alpha )...({\beta }^T\alpha ){\beta }^T$
5. 分塊矩陣的冪運算規則（見下式）

$${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^n\text{?}=\left[\begin{array}{cc}{A}^n& O\\ O& B^n\end{array}\right]$$
6. 當分塊矩陣的塊退化到大小為1的時候，就變成了對角矩陣的乘冪的性質。
7. 組合數選擇，如$(A+E{)}^n$，直接展開，在某些特殊冪次下$A^m$可能等于0，這樣會把整個展開式消去絕大部分

上述的意思是$$(A+E{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{E}^{n?i}{A}^i$$

線性相關

對于一個每個向量四維的向量組${\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3$判斷線性相關，由于其系數矩陣不是方陣，無法使用行列式來判斷，就得看系數矩陣的秩，有必要指出的是化簡時可以同乘含$t$的倍數，下為例：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 3?t\\ 0& 0& 2+t\end{array}\right]$$

此時若$t\ne 3$且$t\ne ?2$則$r(A)=3$，因為第三行除以$3?t$，第四行除以$2+t$，兩行都變為1后可以消去一行

另一方面若$r(A)<3$則線性相關

若$A=({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n)$是方陣則看行列式是否為0，為0則相關

線性表出

構造對稱矩陣

與轉置矩陣相加，即$$\begin{gathered} a_{ii}=b_{ii} \\ {a}_{ij}=\frac{1}{2}(b_{ij}+b_{ji}) \end{gathered}$$

$A^2=A$與特征值

設$A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0$則$A^2\alpha ={\lambda }^2\alpha$，由$A^2=2A$，則$({\lambda }^2?\lambda )\alpha =0$。其中特征向量不能為0，則${\lambda }^2?\lambda =0$，顯然特征值分別是0或2

這時候通常是讓你確定二次型$A$（對角矩陣）的，然后你就得把$0$和$2$往這個對角矩陣里填。題目中的其他條件會給出$A$的秩，例如基礎解系的結構。

以$r(A)=2$為例，那就得填兩個$2$進去，所以長下面這樣

$$\left[\begin{array}{ccc}2& & \\ & 2& \\ & & 0\end{array}\right]$$

二次型中的$x^T(A^{T}A)x$

這算是很多題型出現$x^T(A^{T}A)x$后必有的中間運算固定套路

$x^T(A^{T}A)x=(x^T{A}^T)(Ax)=(Ax{)}^T(Ax)$

$Ax$是一個$n\times n$的矩陣和一個$n\times 1$的矩陣相乘，那結果就是$n\times 1$的列向量

$$設Ax=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ?\\ b_n\end{array}\right]故(Ax{)}^T(Ax)的結果是b_1^2+b_2^2+?+b_n^2\ge 0$$

顯然有如下結論

• $(Ax{)}^T(Ax)>0??b_i\ne 0$
• $(Ax{)}^T(Ax)=0??b_i=0$

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該結論常在證明正定時候使用，因為對于$?x\ne 0$必有$(Ax{)}^T(Ax)\ge 0$

$A+kE$判斷相似

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 2\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$$
判斷上面的兩個矩陣是否相似
$$\begin{gathered} A?2E=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right],r(A?2E)=1 \\ B?2E=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right],r(B?2E)=2 \end{gathered}$$

不相似

求過渡矩陣

欲求由$A$到$B$的過渡矩陣，即求可逆矩陣$P$使得$B=AP$，其做法是對$(A|B)$做初等行變換，化為$(E|P)$，即為所求