電子技術——PN結電流關系方程

平衡狀態下的PN結

平衡狀態下的PN結界面總共有兩種電流，一種為 擴散電流 另一種為 漂移電流 。兩種電流形成的平衡區域稱為 耗散區 。

在平衡狀態擴散電流等于漂移電流，此時靜電流為0，PN結外部沒有電流：

圖中 $I_D$ 為擴散電流， $I_S$ 為漂移電流。 $x_n$ 為耗散區 $n$ 區域長度， $?x_p$ 為耗散區 $p$ 區域長度， $W$ 為耗散區寬度。

$n_n$ 為 $n$ 區域主要載流子（電子）密度，等于摻雜濃度 $N_D$ ， $p_p$ 為 $p$ 區域主要載流子（空穴）密度，等于摻雜濃度 $N_A$ 。

$p_{n0}$ 為 $n$ 區域次要載流子（空穴）密度，滿足 玻爾茲曼條件下的密度關系方程 $p_{n0}=\frac{n_i^2}{N_D}$ ， $n_{p0}$ 為 $p$ 區域次要載流子（電子）密度，滿足 $n_{p0}=\frac{n_i^2}{N_A}$ 。 $n_i$ 為平衡次載流子密度（共價鍵斷裂產生，與溫度有關），平衡條件下有 $p_n=n_n=n_i$ 。

由于擴散區中理想下不存在任何載流子，只有 貢獻原子 和 接受原子 存在，PN結界面兩邊存在不同的凈電荷，因此擴散區將形成 勢壘電壓 $V_0$：

勢壘電壓阻止了PN結界面的濃度進一步擴散（電壓與擴散方向相反），耗散區寬度處于恒定數值 $W$ ，因此PN結處于平衡狀態。

外加偏置電壓狀態下的PN結

當PN結處于外加偏置電壓 $V$ 下時，將會破壞PN結的平衡狀態，此時PN結電流與外界電流一起處于 動態平衡 狀態。

外界電流等于：

$$I=I_D?I_S$$

動態平衡下的PN結中， $p$ 和 $n$ 區域中的載流子密度不再是隨位置變換的恒等函數，而是指數函數：

上圖描述了PN處于 正偏置 下的濃度隨位置的變化曲線，正偏置電壓提供了更多的能量讓載流子突破勢壘電壓，增大了擴散電流。

此時PN結對外界的電流表現為界面 $?x_p$ 與 $x_n$ 的密度梯度擴散電流，等價于 $I=I_D?I_S$ ，正偏置下表現為：

擴散電流大于漂移電流 $I_D>I_S$ ，此時會有額外的空穴進入 $n$ 區域，通過外部電路流回 $p$ 區域，因此界面 $x_n$ 處的 $p_n$ 濃度上升，同理 $?x_p$ 界面的 $n_p$ 濃度也上升。

對于負偏置電壓下的濃度隨位置的變化曲線：

反向偏置電壓增大了擴散的壁壘能量，擴散電流幾乎為0，但漂移電流幾乎保持不變（漂移現象由粒子熱運動有關），此時 $n$ 區域中的耗散區缺少空穴，空穴通過 $n$ 區域進入耗散區，導致界面 $x_n$ 處的 $p_n$ 濃度下降，同理 $?x_p$ 界面的 $n_p$ 濃度也下降，下降最低點為0（濃度不能為負數）。

通過半導體物理學，界面 $x_n$ 的密度隨外界偏置電壓的變化關系為：

$$p_n(x_n)=p_{n0}{e}^{V/V_T}$$

當 $V$ 為負無窮的時候（反向偏置電壓無限大），此時 $p_n(x_n)=0$ ，但當 $V$ 表現為正電壓的時候， $p_n(x_n)$ 隨 $V$ 指數上升（PN結單向導電性）。

同樣當 $x>x_n$ 密度隨位置呈現指數變化，關系為：

$$p_n(x)=p_{n0}+p_{n0}(e^{V/V_T}?1)e^{?(x?x_n)/L_p}$$

當 $x=x_n$ 的時候， $p_n(x_n)=p_{n0}{e}^{V/V_T}$ 。

$L_p$ 稱為 擴散長度 。

界面的梯度電流為：

$$J_p(x)=?q{D}_p\frac{d{p}_n(x)}{dx}$$

帶入得到：

$$J_p(x_n)=q(\frac{D_p}{L_p})p_{n0}(e^{V/V_T}?1)$$

其中 $D_p$ 為空穴的擴散速率，與空穴的漂移速率滿足 愛因斯坦關系 ：

$$\frac{D_n}{{\mu }_n}=\frac{D_p}{{\mu }_p}=V_T$$

$V_T$ 為熱電壓 ${\mu }_p$ 為空穴的漂移速率。

同理：

$$J_n(?x_p)=q(\frac{D_n}{L_n})n_{p0}(e^{V/V_T}?1)$$

總電流為：

$$I=A(J_p+J_n)=Aq(\frac{D_p}{L_p}{p}_{n0}+\frac{D_n}{L_n}{n}_{p0})(e^{V/V_T}?1)=Aq{n}_i^2(\frac{D_p}{L_p{N}_D}+\frac{D_n}{L_n{N}_A})(e^{V/V_T}?1)$$

當 $V$ 為負無窮的時候，我們知道 $I$ 的大小等于 $I_S$ ，因此：

$$I=I_S(e^{V/V_T}?1)$$

$$I_S=Aq{n}_i^2(\frac{D_p}{L_p{N}_D}+\frac{D_n}{L_n{N}_A})$$

$I_S$ 稱為 飽和電流 ，因為與界面面積 $A$ 有關，又稱為 比例電流 。 $I_S$ 又正比于 $n_i^2$ ，因此又和溫度有關。表達式 $I=I_S(e^{V/V_T}?1)$ 的圖像為：