概率基礎——幾何分布

介紹

在統計學中，幾何分布是描述了在一系列獨立同分布的伯努利試驗中，第一次成功所需的試驗次數的概率分布。在連續拋擲硬幣的試驗中，每次拋擲結果為正面向上的概率為$p$，反面向上的概率為$1?p$。幾何隨機變量 $X$表示連續拋擲硬幣直到第一次出現正面向上的試驗次數。

理論及公式

幾何分布的概率質量函數（PMF）為：

$$P(X=k)=(1?p{)}^{k?1}\times p$$

其中，$k$是試驗次數，$p$ 是每次試驗成功（正面向上）的概率。
幾何分布的期望和方差可以通過其概率質量函數得到。設幾何隨機變量為 $X$，表示第一次成功所需的試驗次數。

1. 期望（均值）：

$$E(X)=\frac{1}{p}$$

2. 方差：

$$Var(X)=\frac{1?p}{p^2}$$

其中，$p$是每次試驗成功（正面向上）的概率。

這些公式可以幫助我們計算幾何分布的期望和方差，從而更好地理解該分布的特征和性質。

示例與繪圖

接下來，我們將使用Python來實現繪制幾何分布的概率質量函數圖。

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import geomfig, ax = plt.subplots(2, 1)
params = [0.5, 0.3]x = range(1, 11)for i in range(len(params)):geom_rv = geom(params[i])ax[i].plot(x, geom_rv.pmf(x), 'ro', lw=5, alpha=0.6, label='Geometric PMF')ax[i].vlines(x, 0, geom_rv.pmf(x), colors='r')ax[i].set_xlim(0, 10)ax[i].set_ylim(0, 0.6)ax[i].set_title('p = %.2f' % params[i])ax[i].set_xticks(x)ax[i].set_yticks([0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6])ax[i].grid(ls='--')
plt.show()

運行以上代碼，將會得到一個幾何分布的概率質量函數圖。從圖中可以看出，隨著試驗次數的增加，成功的概率逐漸減小，但總體上呈指數下降的趨勢。這是因為每次試驗成功的概率$p$乘以$(1?p{)}^{k?1}$，隨著$k$的增加，$(1?p{)}^{k?1}$的值逐漸減小，從而導致整體概率下降。

from scipy.stats import geom
import matplotlib.pyplot as pltx = range(1, 20)
geom_rv = geom(p=0.5)
geom_rvs = geom_rv.rvs(size=100000)
plt.hist(geom_rvs, bins=20, density=True, alpha=0.75, edgecolor='black')
plt.gca().axes.set_xticks(range(1, 20))mean, var, skew, kurt = geom_rv.stats(moments='mvsk')
print("Mean:", mean)
print("Variance:", var)
plt.grid(ls='--')
plt.show()

總結

本文介紹了幾何分布及Python實現，利用了函數包的各個方法計算出各個理論統計值，利用采樣樣本數據計算出來的值和理論值基本算都是相等的。