我們要估計的模型是
y=a+bx+cd+ey=a+bx+cd+e，
其中是解釋變量，，和是我們想要估計的系數。是控制變量，是治療變量。我們特別關注我們的治療效果對。
生成數據
首先，讓我們生成數據。
假設 的工具變量和之間的相關矩陣如下：
0.001,1,0.7,0.3,
rownames(R)"x","d","z","e")
R
## x d z e
## x 1.000 0.001 0.002 0.001
## d 0.001 1.000 0.700 0.300
## z 0.002 0.700 1.000 0.001
## e 0.001 0.300 0.001 1.000
具體而言，相關性表明
cor(d，e)= 0.3，這意味著是內生的;dd
cor(d，z)= 0.7，這意味著是的強大工具變量;zzdd
cor(z，e)= 0.001，這意味著工具變量滿足排除限制，因為它只影響到。zzyydd
現在，讓我們使用指定的相關性為，，和生成數據。xxddzzee
nvars = dim(U)[1]
numobs = 1000
random.normal = matrix(rnorm(nvars*numobs,0,1), nrow=nvars, ncol=numobs);
X = U %*% random.normal
newX = t(X)
data = as.data.frame(newX)
attach(data)
數據看起來像這樣：
head(data)
## x d z e
## 1 -0.62645381 0.1830168 -0.4694601 1.7474361
## 2 0.32950777 -0.8201385 -0.2255741 0.2818908
## 3 0.57578135 -0.3048125 0.8670061 -0.1795257
## 4 -0.62124058 -2.2153200 -0.7481687 -1.0350488
## 5 -0.01619026 0.9438195 1.2471197 0.5820200
## 6 0.91897737 0.7830549 0.6025820 -1.5924689
以及數據之間的相關性
cor(data)
## x d z e
## x 1.00000000 0.00668391 -0.012319595 0.016239235
## d 0.00668391 1.00000000 0.680741763 0.312192680
## z -0.01231960 0.68074176 1.000000000 0.006322354
## e 0.01623923 0.31219268 0.006322354 1.000000000
正如我們之前指定的那樣。
現在讓我們指定真正的數據生成過程并生成解釋變量yy
y10+1*x+1*d+e
如果我們假裝我們不知道真正的關系并使用和來解釋，我們對和正確系數應該接近到。
OLS
如果我們只使用OLS來估計系數：
ols
summary(ols)
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x + d)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.2395 -0.5952 -0.0308 0.6617 2.7592
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 9.99495 0.03105 321.89 <2e-16 ***
## x 1.01408 0.02992 33.89 <2e-16 ***
## d 1.31356 0.03023 43.46 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.9817 on 997 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7541, Adjusted R-squared: 0.7536
## F-statistic: 1528 on 2 and 997 DF, p-value: < 2.2e-16
b的估計系數是1.31 instread of 1. ## 2SLS ##現在我們使用2SLS來估計這種關系。我們使用z作為d的工具變量
第1階段：在和上回歸，并將d的擬合值保存為d。ddxxzz
tsls1
summary(tsls1)
##
## Call:
## lm(formula = d ~ x + z)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.59344 -0.52572 0.04978 0.53115 2.01555
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.01048 0.02383 -0.44 0.660
## x 0.01492 0.02296 0.65 0.516
## z 0.68594 0.02337 29.36 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.7534 on 997 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4636, Adjusted R-squared: 0.4626
## F-statistic: 430.9 on 2 and 997 DF, p-value: < 2.2e-16
d.hat
第2階段：在和上回歸yyxxd.hatd.hat
tsls2
summary(tsls2)
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x + d.hat)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.4531 -1.0333 0.0228 1.0657 4.0104
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 9.99507 0.04786 208.85 <2e-16 ***
## x 1.01609 0.04612 22.03 <2e-16 ***
## d.hat 1.00963 0.06842 14.76 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.513 on 997 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4158, Adjusted R-squared: 0.4146
## F-statistic: 354.8 on 2 and 997 DF, p-value: < 2.2e-16
結果
b的真值：1 OLS estiamte of b：.00963 2SLS estiamte of b：1.31356
如果治療變量是內生的，我們?使用2SLS。
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