在介紹統計學中最重要的定理之一-中心極限定理-之前，我們先來想一個問題：統計學的目的是什么？根據<Mathematical statistics with application 7th Edition>書中所寫的：

統計學的目的是基于從總體中的樣本所獲得的信息，對總體進行推斷，并且提供推斷的準確性。

這其中有幾個關鍵詞：總體，樣本，推斷。總體的含義就是所研究對象的所有可能的數據，比如，全世界每個人的身高，工廠上個月生產出來的每個燈泡的壽命等等。樣本的概念是從總體中衍生出來的，比如，全世界任意20個人的身高，工廠上個月任意100個燈泡的壽命，樣本就是總體的一個子集。通常情況下總體的數據是難以獲得的，而樣本是容易得到的，所以統計學的目的就是從樣本數據來推斷總體。

接下來我們通過一個實際例子來介紹中心極限定理：

一個工廠所生產的燈泡的平均壽命是1000小時，方差是25個小時。我買了36個燈泡裝在家里，那么這個9個燈泡的平均壽命超過1005小時的概率是多少

求解問題的第一步是將實際問題抽象出數學模型。在實際應用中，數學模型的建立遠遠要比解題方法更重要。首先定義隨機變量：

由題中信息可得：

那么問題的求解轉化為求解

。

我們并不知道隨機變量

的概率分布，因此我們需要將其轉化為概率分布已知的隨機變量，這里就需要用到中心極限定理：

設定有

個獨立且完全相同的隨機變量

，他們的期望

，方差

。定義隨機變量：

那么，當

趨向于無窮大時，隨機變量

趨向于標準正態分布。

回到我們的問題，求解

，我們并不清楚

這個隨機變量的概率分布，但是根據中心極限定理，我們知道

的概率分布近似為標準正態分布（當

足夠大時），其中

為總體的均值，在此題中為1000，

為標準差，在此題中為5，

為樣本數量，在此題中為樣本燈泡的數量36。那么有：

其中

近似服從標準正態分布

，從可以求得

的概率。

中心極限定理實際上是揭示了任意一個總體中樣本均值的分布規律。

通常在教科書中，在描述完中心極限定理后，會出現3個字：證明略。接下來本文使用隨機變量特征函數的方式來對其進行證明。

首先，引入隨機變量特征函數的概念。對于隨機變量

，定義其特征函數為：

，其中

為任意實數。

那么對于

，其特征函數為：

，

為

的特征函數。

在0點處的泰勒展開形式為：

所以，

為：

而標準正態分布

特征函數也為

，根據特征函數的唯一性定理，所以

服從標準正態分布，證畢。