、條件極值、拉格朗日乘數法

1. 轉化為無條件極值

在討論多元函數極值問題時，如果遇到除了在定義域中尋求駐點(可能的極值點)外，對自變量再無別的限制條件，我們稱這類問題為函數的無條件極值。如求

的極值，就是無條件極值問題。

然而在實際中，我們也會遇到另一類問題。 比如，討論表面積為

的長方體的最大體積問題。若設長方體的三度為

,

則體積

，同時應滿足

于是我們的問題的數學含義就是：當自變量

滿足條件

下取何值時能使函數

取得最大值。(這里我們暫不論證指出這個最大值就是極大值)。

一般抽象出來，可表為如下形式：

即函數

在條件

下的取極大(小)值問題。今后，我們稱這種問題為

函數的條件極值問題。 對自變量有附加條件的極值稱為條件極值。 一般稱

為目標函數，

為約束條件

( 或約束方程 ) 。

對于有些實際問題 , 可以把條件極值問題化為無條件極值問題。

例如上述問題 , 由條件

,

解得

,

于是得 V

.

只需求 V的無條件極值問題。

例 6 求函數

在約束條件

下的條件極值。

解 由約束條件

可解出

代入目標函數，有：

令

得駐點

由于當

時，

，當

時，

在

時取極大值，

又當

時，由約束條件可解出

，

而

，此例說明條件極值可有如下一種解法：?

如果能從約束方程中解出一個自變量，代入目標函數后，就可轉化為無條件極值。

通過討論無條件極值可得問題的解答。但在很多實際問題中，往往不容易從約束條件中解出一個自變量，從而上述方法就失效了。因此，對條件極值我們應討論一般解法。

2. 關于條件極值的 拉格朗日乘數法

在很多情形下 , 將條件極值化為無條件極值并不容易。 需要另一種求條件極值的專用方法 , 這就是拉格朗日乘數法。

拉格朗日乘數法： 要找函數 z= f( x, y) 在條件 j

( x, y) = 0 下的可能極值點 , 可以先構成輔助函數 F( x, y

) = f( x, y) + lj( x, y

) , 其中 l為某一常數。

然后解方程組

.

由這方程組解出 x, y及 l, 則其中 ( x, y)

就是所要求的可能的極值點。

一般稱 F( x, y) = f( x, y

) + lj( x, y) 為拉格朗日函數，待定常數λ稱為拉格朗日乘數

歸納上述討論過程，可得拉格朗日乘數法如下：

欲求函數

滿足約束條件

的極值，一般步驟為：

( 1 )構造拉格朗日函數 F( x, y) = f( x,

y) + lj( x, y) ;

( 2 )建立偏導數方程組

( 3 )解此方程組的解，可得可能的極值點

例 7 將正數 12 分成三個正數

之和

使得

為最大

.

令

,

則

解得唯一駐點

，

故最大值為

這種方法可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形。

至于如何確定所求的點是否是極值點 , 在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定。

例 8 求表面積為 a2 而體積為最大的長方體的體積 .

解 設長方體的三棱的長為 x, y, z, 則問題就是在條件 2( xy+ yz

+ xz) = a2 下

求函數

V= xyz的最大值。

構成輔助函數 F( x, y, z) = xyz+ l

(2 xy+ 2 yz+ 2 xz- a2 ) ,

解方程組

,

得

,

這是唯一可能的極值點。

因為由問題本身可知最大值一定存在 , 所以最大值就在這個可能的值點處取得。

此時

.

思考題：若

及

在

點均取得極值，則

在點

是否也取得極值？

五、小結

1 、 多元函數的極值

2 、(取得極值的必要條件、充分條件)

3 、多元函數的最值

4 、拉格朗日乘數法

六、作業

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