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解題思路
可以把原式移項得\(x\)^\(2x\)=\(3x\)，而\(x+2x=3x\)，說明\(x\)二進制下不能有兩個連續的\(1\)。那么第一問就是一個簡單的數位\(dp\)，第二問考慮遞推按位做，設\(f(i)\)表示最后一位為\(0\)的答案，\(g(i)\)表示最后一位為\(1\)的答案，那么\(f(i)=g(i-1)+f(i-1)\)，\(g(i)=f(i-1)\)，整理一下發現\(f(i)=f(i-1)+f(i-2)\)，就是斐波那契的形式，直接矩乘即可。
代碼
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N=70;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long LL;int a[N],len;
LL f[N][2][2],n;
bool vis[N][2][2];LL DFS(int x,int lst,int lim){if(vis[x][lst][lim]) return f[x][lst][lim];vis[x][lst][lim]=1;if(!x) return f[x][lst][lim]=1;if(!lst && (lim || a[x])) f[x][lst][lim]=DFS(x-1,1,lim);f[x][lst][lim]+=DFS(x-1,0,lim|(a[x]==1));return f[x][lst][lim];
}struct Matrix{int a[3][3];void clear(){memset(a,0,sizeof(a));}void init(){a[1][1]=a[2][2]=1;}friend Matrix operator*(const Matrix A,const Matrix B){Matrix ret; ret.clear();for(int i=1;i<=2;i++)for(int j=1;j<=2;j++)for(int k=1;k<=2;k++)(ret.a[i][j]+=1ll*A.a[i][k]*B.a[k][j]%MOD)%=MOD;return ret;}
}mat,ans;Matrix fast_pow(Matrix x,LL y){Matrix ret; ret.clear(); ret.init();for(;y;y>>=1){if(y&1) ret=ret*x;x=x*x;}return ret;
}int main(){int T; scanf("%d",&T);while(T--){memset(vis,false,sizeof(vis));memset(f,0,sizeof(f));scanf("%lld",&n); LL nn=n;len=0;while(n) a[++len]=(n&1),n>>=1;printf("%lld\n",DFS(len,0,0)-1);
// cerr<<"!!!"<<endl;if(nn==1) puts("2");else if(nn==2) puts("3");else {
// cerr<<"!!!"<<endl;ans.clear(); mat.clear();ans.a[1][1]=2; ans.a[1][2]=3;mat.a[1][2]=mat.a[2][2]=mat.a[2][1]=1;ans=ans*fast_pow(mat,nn-2);printf("%d\n",ans.a[1][2]);}}return 0;
}
