scipy.spatial.distance 距離計算庫中有兩個函數：pdist, squareform，用于計算樣本對之間的歐式距離，并且將樣本間距離用方陣表示出來。

（題外話）
SciPy: 基于Numpy，提供方法(函數庫)直接計算結果，封裝了一些高階抽象和物理模型
Numpy： 來存儲和處理大型矩陣，比Python自身的嵌套列表（nested list structure)結構要高效的多，本身是由C語言開發。
Pandas: 基于NumPy 的一種工具，該工具是為了解決數據分析任務而創建的。
參考 資料：https://www.jianshu.com/p/32cb09d84487

（回正題）

1.pdist, squareform使用例子

pdist, squareform的操作基于numpy,

>>> import numpy as np
>>> from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
>>> x=np.array([[1,1,1],[2,2,2],[4,4,4]])  #三個一維向量：x1=[1,1,1] x2=[2,2,2],x3=[4,4,4]>>> Dis=pdist(x)
>>> Dis             # d(x1,x2)=sqrt(3)=1.7 ,d(x1,x3)=sqrt(27),d(x2,x3)=sqrt(8)
array([1.73205081, 5.19615242, 3.46410162])>>> D=squareform(Dis)
array([[0.        , 1.73205081, 5.19615242],     # d(x1,x1),d(x1,x2),d(x1,x3)[1.73205081, 0.        , 3.46410162],	 # d(x2,x1),d(x2,x2),d(x2,x3)[5.19615242, 3.46410162, 0.        ]])    # d(x3,x1),d(x3,x2),d(x3,x1)

因為距離度量具有對稱性，即$d(x1,x2)=d(x2,x1)$，所以上述矩陣為一個對稱陣。

2.通過矩陣的四則運算實現上述pdist, squareform

有三個三維樣本：x1=[1,1,1],x2=[2,2,2]x3=[4,4,4]，樣本之間距離的方陣為：

$$D=?\begin{array}{ccc}d(x1,x1)& d(x1,x2)& d(x1,x3)\\ d(x2,x1)& d(x2,x2)& d(x2,x3)\\ d(x3,x1)& d(x3,x2)& d(x3,x3)\end{array}?$$

$$d(x,y)=x{x}^T+y{y}^T?2x{y}^T$$

所以：
$$D=?\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T+x_1{x}_1^T?2x_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T+x_2{x}_2^T?2x_1{x}_2^T,& x_1{x}_1^T+x_3{x}_3^T?2x_1{x}_3^T\\ x_2{x}_2^T+x_1{x}_1^T?2x_2{x}_1^T,& x_2{x}_2^T+x_2{x}_2^T?2x_2{x}_1^T,& x_2{x}_2^T+x_3{x}_3^T?2x_2{x}_3^T\\ x_3{x}_3^T+x_1{x}_1^T?2x_3{x}_1^T,& x_3{x}_3^T+x_2{x}_2^T?2x_3{x}_2^T,& x_3{x}_3^T+x_3{x}_3^T?2x_3{x}_3^T\end{array}?$$

$$=?\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T\\ x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T\\ x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T\end{array}?+{?\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T\\ x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T\\ x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T\end{array}?}^T?2?\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T,& x_1{x}_2^T,& x_1{x}_3^T\\ x_2{x}_1^T,& x_2{x}_1^T,& x_2{x}_3^T\\ x_3{x}_1^T,& x_3{x}_2^T,& x_3{x}_3^T\end{array}?$$

$$=>?\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T\\ x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T\\ x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T\end{array}?$$
矩陣對應元素相乘，行復制

$$?\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T,& x_1{x}_2^T,& x_1{x}_3^T\\ x_2{x}_1^T,& x_2{x}_1^T,& x_2{x}_3^T\\ x_3{x}_1^T,& x_3{x}_2^T,& x_3{x}_3^T\end{array}?=?\begin{array}{c}x1\\ x2\\ x3\end{array}??{?\begin{array}{c}x1\\ x2\\ x3\end{array}?}^T$$

程序實現：

X=np.array([[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3]])
X2=(X*X).sum(1)*np.ones([3,3])
XXT=np.matmul(X,X.T)
D=X2+X2.T-2*XXT
D=np.sqrt(D2)
print (D)# 輸出
[[ 0.          1.73205081  5.19615242][ 1.73205081  0.          3.46410162][ 5.19615242  3.46410162  0.        ]]

**溫馨提示：**上述矩陣為距離矩陣，在實際應用的過程中，注意使用的是距離的平方，還是距離。