前言

前面主要講述的是方程組和矩陣的關系，現在了解下矩陣和矩陣的關系

方陣的特征值與特征向量

假設A為n階方陣，對于一個數 $\lambda$

若存在：非零列向量 $\alpha$，使得：$A\vec{\alpha }=\lambda \vec{\alpha }$

• $\lambda$叫做矩陣A的一個特征值

• $\vec{\alpha }$叫做對應特征值的特征向量

• 由于$\vec{\alpha }$是非零列向量
• 把$\lambda$作為未知量， $A?\lambda E=0$
• 因為存在$\lambda$解 => $|A?\lambda E|=0$

求解特征方程

給一個n階矩陣A寫出特征矩陣
$$\left(\begin{array}{cc}4& ?2\\ 1& 1\end{array}\right)?\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4?\lambda & ?2\\ 1& 1?\lambda \end{array}\right)$$
將特征矩陣轉為特征行列式
$$\left|\begin{array}{cc}4?\lambda & ?2\\ 1& 1?\lambda \end{array}\right|=?\left|\begin{array}{cc}1& 1?\lambda \\ 4?\lambda & ?2\end{array}\right|=?\left|\begin{array}{cc}1& 1?\lambda \\ 0& ?2?(1?\lambda )?(4?\lambda )\end{array}\right|=0$$
求出根
$${\lambda }^2?5\lambda +6=0?{\lambda }_1=2,{\lambda }_2=3$$
求解特征值對應的特征向量

• 將${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=3$ 代入 $（A?\lambda E）\vec{\alpha }=0$
• 
• 
  基本性質
  

• 特征值和特征向量，就是類似于 給“坐標” 求他的坐標系的問題。
• 特征值$\lambda$用于消除“坐標”某一維度，得到 特征向量為這一維度的 “坐標系”
• 如果出現了$\lambda$N重根，則得到的特征向量 “坐標系” 包含N個維度

• 方陣的行列式=方陣的全部特征值之積
• 方陣主對角線元素之和=方陣的全部特征值之和

相似矩陣

相似矩陣的定義，可以用坐標系變換的視角來理解

1. 需要把：A和B看做是兩個變換
2. 那么 $A=P^{?1}BP$具體是指：
   • A是P坐標系下的一個<變換>
   • 該<變換>若在標準坐標系下觀察則是B變換

例如：在標準坐標系下有一個伸縮變換為B,在P坐標系下相同的伸縮變換觀察到的是A

若A和B相似，因觀察的視角不同，但本質是相同的變換

相似矩陣的性質

若A和B相似，即$A\backsim BB\backsim A$

1. 相似矩陣的行列式值相同
2. 相似矩陣的特征值相同
3. 相似矩陣的秩相同
4. 相似矩陣的跡相同
5. 相似矩陣的可逆性相同

主要參考

《11.3 求解特征值和特征向量（基礎解系法）》
《11.4 特征值與特征向量的性質》
《11.5特征值與矩陣的跡》
《1.6 特征根的代數重數與幾何重數》
《11.7 相似矩陣到底在說什么》