▊ ?三角形兩邊

定理：三角形兩邊的和大于第三邊。

推論：三角形兩邊的差小于第三邊。

▊ ?三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

▊ ?三角形的重心

三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍。

在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線，三角形的三條中線交于一點，這一點叫做“三角形的重心”。

▊ ?與三角形有關的角

1.三角形的內角和定理：三角形的內角和為180°，與三角形的形狀無關。

2.直角三角形兩個銳角的關系：直角三角形的兩個銳角互余(相加為90°)。有兩個角互余的三角形是直角三角形。

3.三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和；三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角；三角形三個外角和為360°。

▊ ?等腰三角形的性質和判定

◆ ?性質

1.等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成"等邊對等角")。

2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合(簡寫成"等腰三角形的三線合一")。

3.等腰三角形的兩底角的平分線相等(兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等)。

4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。

5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。

6.等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上的高(需用等面積法證明)。

7.等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸，等邊三角形有三條對稱軸。

◆ ?判定

在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(定義)。

在同一三角形中，有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱：等角對等邊)

▊ ?全等三角形的性質和判定

全等三角形共有5種判定方式：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。特殊情況下平移、旋轉、對折也會構成全等三角形。

1.SSS(邊邊邊)，即三邊對應相等的兩個三角形全等.

2.SAS(邊角邊)，即三角形的其中兩條邊對應相等，且兩條邊的夾角也對應相等的兩個三角形全等.

3.ASA(角邊角)，即三角形的其中兩個角對應相等，且兩個角夾的的邊也對應相等的兩個三角形全等.

4.AAS(角角邊)，即三角形的其中兩個角對應相等，且對應相等的角所對應的邊也對應相等的兩個三角形全等.

5.HL(斜邊、直角邊)，即在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

注意：

1.SSS、SAS、ASA、AAS可用于任意三角形；HL只限于直角三角形.

2.SSA、AAA不能判定全等三角形.

3.在證明時注意利用定理，如：等式性質、等量代換、等角重合有等角、公共邊、公共角、對頂角相等、等角或同角的余角或補角相等、角平分線定義、線段中點定義等.

4.證明全等寫條件時注意書寫順序.

5.寫全等結論時注意對應頂點的位置.

6.有時全等三角形會結合等腰三角形出現命題.

▊ ?直角三角形的判定

判定1：有一個角為90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

判定3：若一個三角形30°內角所對的邊是某一邊的一半，那么這個三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形。

判定4：兩個銳角互余的三角形是直角三角形。

判定5：證明直角三角形全等時可以利用HL ，兩個三角形的斜邊長對應相等，以及一個直角邊對應相等，則兩直角三角形全等。[定理：斜邊和一條直角對應相等的兩個直角三角形全等。簡稱為HL]

判定6：若兩直線相交且它們的斜率之積互為負倒數，則這兩直線垂直。

判定7：在一個三角形中若它一邊上的中線等于這條中線所在邊的一半，那么這個三角形為直角三角形。

▊ ?等邊三角形的判定

1.三邊相等的三角形是等邊三角形(定義)。

2.三個內角都相等的三角形是等邊三角形。

3.有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。

4. 有兩個角等于60度的三角形是等邊三角形。

▊ ?勾股定理：

內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么

▊ ?勾股定理的應用：

?①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，，則，，

②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關系

③可運用勾股定理解決一些實際問題?

▊ ?勾股定理的逆定理：

?如果三角形三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊.

1.勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以a，b，c 為三邊的三角形是直角三角形；若時，以a，b，c 為三邊的三角形是鈍角三角形；若時，以a，b，c 為三邊的三角形是銳角三角形；

2.定理中a，b，c?及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c?滿足，那么以a，b，c?為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊.

3.勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形?

▊ ?勾股數

1.能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，a，b，c?為正整數時，稱a，b，c?為一組勾股數

2.記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。

3.用含字母的代數式表示n組勾股數：(n為正整數)；(n為正整數)(m>n,m，n為正整數)?

▊ ?兩點間距離公式

公式描述：

公式中(x₁，y₁)，(x₂，y₂)分別為A、B兩個點的坐標。

▊ ?相似三角形

◆ ?簡介：

三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣。全等三角形可以被理解為相似比為1的相似三角形。相似三角形其實是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是幾何中兩個三角形中，邊、角的關系。

◆ ?性質：

1. 相似三角形對應角相等，對應邊成比例。

2. 相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比。

3. 相似三角形周長的比等于相似比。

4. 相似三角形面積的比等于相似比的平方。

由 4 可得：相似比等于面積比的算術平方根。

5. 相似三角形內切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內切圓、外接圓面積比是相似比的平方

6. 若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中項

7. a/b=c/d等同于ad=bc.

8. 不必是在同一平面內的三角形里。

◆ ?判定：

類比全等三角形的判定定理，可以得出下列結論：

定理?兩角分別對應相等的兩個三角形相似。

定理?兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

定理?三邊成比例的兩個三角形相似。

定理?一條直角邊與斜邊成比例的兩個直角三角形相似。

根據以上判定定理，可以推出下列結論：
推論?三邊對應平行的兩個三角形相似。?

推論?一個三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。

◆ ?推論：

推論一：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。

推論二：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。

推論三：如果一個三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。

▊? 射影定理：

射影定理(又叫歐幾里德(Euclid)定理)：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

例如：(前提：∠BAD+∠DAC=90度，AD⊥BC)

公式Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：

(1)(AD)^2;=BD·DC，

(2)(AB)^2;=BD·BC，

(3)(AC)^2;=CD·BC。

等積式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明)

◆ ?一、平行線等分線段定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在任一條(與這組平行相交的)直線上截得的線段也相等

◆ ?二、平行截割定理

兩條直線與一組平行線相交,它們被這組平行線截得的對應線段成比例.

◆ ?三、平行截割定理推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對應邊成比例

▊ ?解直角三角形

1.概念：由直角三角形中已知的邊和角，計算出未知的邊和角的過程，叫做解直角三角形。

2.特殊角值

▊ ?銳角三角形

sinA=a/c,

cosA=b/c,

tanA=a/b,

1.互余角的三角函數值之間的關系

若∠ A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA?

2.同角的三角函數值之間的關系

①sin2A+cos2A=1

②tanA=sinA/cosA

③tanA=1/tanB

④a/sinA=b/sinB=c/sinC?

3.銳角三角函數隨角度的變化規律

銳角∠A的tan值和sin值隨著角度的增大而增大，cos值隨著角度的增大而減小。

4.符號 sin cos tan?

正弦函數sin(A)=a/c

余弦函數cos(A)=b/c

正切函數tan(A)=a/b

其中a為對邊，b為鄰邊，c為斜邊

- END-

編輯?| 李老師 ? ??

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