矩陣的理解經典博客

矩陣理解一：https://blog.csdn.net/myan/article/details/647511

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矩陣理解二：https://blog.csdn.net/myan/article/details/649018

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矩陣理解三：https://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397

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關鍵結論：

1. 首先有空間，空間可以容納對象運動的。一種空間對應一類對象。
2. 有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量對象運動的。
3. 運動是瞬時的，因此也被稱為變換。
4. 矩陣是線性空間中運動（變換）的描述。
5. 矩陣與向量相乘，就是實施運動（變換）的過程。
6. 同一個變換，在不同的坐標系下表現為不同的矩陣，但是它們的本質是一樣的，所以本征值相同。

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第三篇：

現在到了關鍵的一步。看上去矩陣就是由一組向量組成的，而且如果矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種情況），那么組成這個矩陣的那一組向量也就是線性無關的了，

也就可以成為度量線性空間的一個坐標系。結論：矩陣描述了一個坐標系。

??????? “慢著！”，你嚷嚷起來了，“你這個騙子！你不是說過，矩陣就是運動嗎？怎么這會矩陣又是坐標系了？”

??????? 嗯，所以我說到了關鍵的一步。我并沒有騙人，之所以矩陣又是運動，又是坐標系，那是因為——

??????? “運動等價于坐標系變換”。

??????? 對不起，這話其實不準確，我只是想讓你印象深刻。準確的說法是：

?????? “對象的變換等價于坐標系的變換”。

?????? 或者：

?????? “固定坐標系下一個對象的變換等價于固定對象所處的坐標系變換。”

?????? 說白了就是：

??????? “運動是相對的。”?????? ?

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??????? 讓我們想想，達成同一個變換的結果，比如把點(1, 1)變到點(2, 3)去，你可以有兩種做法。第一，坐標系不動，點動，把(1, 1)點挪到(2, 3)去。第二，點不動，變坐標系，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點還是那個點，可是點的坐標就變成(2, 3)了。方式不同，結果一樣。

??????? 從第一個方式來看，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣看成是運動描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點）運動的過程。在這個方式下，

?????? Ma = b

?????? 的意思是：

?????? “向量a經過矩陣M所描述的變換，變成了向量b。”

??????? 而從第二個方式來看，矩陣M描述了一個坐標系，姑且也稱之為M。那么：

??????? Ma = b

?????? 的意思是：

??????? “有一個向量，它在坐標系M的度量下得到的度量結果向量為a，那么它在坐標系I的度量下，這個向量的度量結果是b。”

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? 這里的I是指單位矩陣，就是主對角線是1，其他為零的矩陣。

??????? 而這兩個方式本質上是等價的。

??????? 我希望你務必理解這一點，因為這是本篇的關鍵。

??????? 正因為是關鍵，所以我得再解釋一下。

??????? 在M為坐標系的意義下，如果把M放在一個向量a的前面，形成Ma的樣式，我們可以認為這是對向量a的一個環境聲明。它相當于是說：

??????? “注意了！這里有一個向量，它在坐標系M中度量，得到的度量結果可以表達為a。可是它在別的坐標系里度量的話，就會得到不同的結果。為了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在坐標系M中度量的結果。”

?????? 那么我們再看孤零零的向量b：

?????? b

?????? 多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實不是b，它是：

?????? Ib

?????? 也就是說：“在單位坐標系，也就是我們通常說的直角坐標系I中，有一個向量，度量的結果是b。”

?????? 而? Ma = Ib的意思就是說：

?????? “在M坐標系里量出來的向量a，跟在I坐標系里量出來的向量b，其實根本就是一個向量啊！”

?????? 這哪里是什么乘法計算，根本就是身份識別嘛。

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?????? 下面我們得出一個重要的結論：

??????? “對坐標系施加變換的方法，就是讓表示那個坐標系的矩陣與表示那個變化的矩陣相乘。”

??????? 再一次的，矩陣的乘法變成了運動的施加。只不過，被施加運動的不再是向量，而是另一個坐標系。

??????? 如果你覺得你還搞得清楚，請再想一下剛才已經提到的結論，矩陣MxN，一方面表明坐標系N在運動M下的變換結果，另一方面，把M當成N的前綴，當成N的環境描述，那么就是說，在M坐標系度量下，有另一個坐標系N。這個坐標系N如果放在I坐標系中度量，其結果為坐標系MxN。

??????? 在這里，我實際上已經回答了一般人在學習線性代數是最困惑的一個問題，那就是為什么矩陣的乘法要規定成這樣。簡單地說，是因為：

??????? 1. 從變換的觀點看，對坐標系N施加M變換，就是把組成坐標系N的每一個向量施加M變換。

??????? 2. 從坐標系的觀點看，在M坐標系中表現為N的另一個坐標系，這也歸結為，對N坐標系基的每一個向量，把它在I坐標系中的坐標找出來，然后匯成一個新的矩陣。

??????? 3. 至于矩陣乘以向量為什么要那樣規定，那是因為一個在M中度量為a的向量，如果想要恢復在I中的真像，就必須分別與M中的每一個向量進行內積運算。

原文：https://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397

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感謝作者！