問題 C: 二進制
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題目描述
pupil發現對于一個十進制數，無論怎么將其的數字重新排列，均不影響其是不是3的倍數。他想研究對于二進制，是否也有類似的性質。于是他生成了一個長為n的二進制串，希望你對于這個二進制串的一個子區間，能求出其有多少位置不同的連續子串，滿足在重新排列后（可包含前導0）是一個3的倍數。兩個位置不同的子區間指開始位置不同或結束位置不同。由于他想嘗試盡量多的情況，他有時會修改串中的一個位置，并且會進行多次詢問。
輸入
輸入第一行包含一個正整數n，表示二進制數的長度。
之后一行n個空格隔開的整數，保證均是0或1，表示該二進制串。
之后一行一個整數m，表示詢問和修改的總次數。
之后m行每行為1 i，表示pupil修改了串的第i個位置（0變成1或1變成0），或2 l r，表示pupil詢問的子區間是[l,r]。
串的下標從1開始。
之后一行n個空格隔開的整數，保證均是0或1，表示該二進制串。
之后一行一個整數m，表示詢問和修改的總次數。
之后m行每行為1 i，表示pupil修改了串的第i個位置（0變成1或1變成0），或2 l r，表示pupil詢問的子區間是[l,r]。
串的下標從1開始。
輸出
對于每次詢問，輸出一行一個整數表示對應該詢問的結果。
樣例輸入
4
1 0 1 0
3
2 1 3
1 3
2 3 4
樣例輸出
2
3
提示
對于第一個詢問，區間[2,2]只有數字0，是3的倍數，區間[1,3]可以重排成011(2)=3(10)，是3的倍數，其他區間均不能重排成3的倍數。
對于第二個詢問，全部三個區間均能重排成3的倍數（注意00也是合法的）。
對于20%的數據，1≤n,m≤100；
對于50%的數據，1≤n,m≤5000；
對于100%的數據，1≤n,m≤100000，l≤r。
設cnt0，cnt1分別為[l,r]區間內的1和0的個數，易得：
1. if cnt1==1 => 不可整除3
2. if cnt1&1 and cnt0<2 => 不可整除3
簡單證明上述結論：
顯然結論1是成立的（1<<n不可能整除3），當cnt1為偶數時，顯然也一定可以整除3，而當cnt1&1時：
先考慮這種情況，將一個二進制數將其兩位兩位拆分并求和得到sum，顯然如果 sum%3==0 ，則該二進制數的十進制一定可以整除3。
如：111010001=>(01,11,01,00,01)，sum=1+3+1+0+1=6。
那么，對于奇數個1，從中挑出cnt1-3個“1”兩兩組合，確保對sum%3的結果無貢獻后，再看剩下的3個“1”的情況：
①、sum(111)=4 無法整除。【區間內無0】
②、sum(1101)=4,sum(1011)=5 無法整除。【區間內只含有一個0】
③、sum(10101)=3 可整除。【區間內至少含有兩個0】
綜上：
我們用線段樹去維護上述兩種不合法情況，再用【總數-不合法數=合法數】來得到答案。
其中，dl/dr[2][2] 代表經過左右節點后：cnt0=0/1，cnt1&1?1:0。
fl/fr[3] 代表經過左右節點后：滿足（cnt1==1 and cnt0==0/1）的方案數。
L/R表示經過左右節點后，連續0的長度。
代碼：
1 #include <iostream> 2 #include <string> 3 #include <cstdio> 4 #include <cmath> 5 #include <cstring> 6 #include <algorithm> 7 #include <vector> 8 #include <queue> 9 #include <deque> 10 #include <map> 11 #include <set> 12 #define range(i,a,b) for(auto i=a;i<=b;++i) 13 #define LL long long 14 #define ULL unsigned long long 15 #define elif else if 16 #define itrange(i,a,b) for(auto i=a;i!=b;++i) 17 #define rerange(i,a,b) for(auto i=a;i>=b;--i) 18 #define fill(arr,tmp) memset(arr,tmp,sizeof(arr)) 19 #define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0) 20 using namespace std; 21 int n,m,op,l,r,A[int(1e5+5)]; 22 class SegTree{ 23 private: 24 struct node{ 25 LL s,dl[2][2],dr[2][2],fl[3],fr[3],L,R; 26 int cnt0,cnt1; 27 void reset(){ 28 range(i,0,1)range(j,0,1)dl[i][j]=dr[i][j]=0; 29 fl[0]=fl[1]=fr[0]=fr[1]=fl[2]=fr[2]=L=R=s=cnt0=cnt1=0; 30 } 31 node(){reset();} 32 }tree[int(1e5+5)<<2]; 33 node comb(node A,node B){ 34 node tmp; 35 range(i,0,1)range(j,0,1){ 36 tmp.dl[i][j]+=A.dl[i][j]; 37 tmp.dr[i][j]+=B.dr[i][j]; 38 if(i>=A.cnt0)tmp.dl[i][j]+=B.dl[i-A.cnt0][j^(A.cnt1&1)]; 39 if(i>=B.cnt0)tmp.dr[i][j]+=A.dr[i-B.cnt0][j^(B.cnt1&1)]; 40 } 41 range(i,0,2){ 42 tmp.fl[i]+=A.fl[i]; 43 tmp.fr[i]+=B.fr[i]; 44 if(!A.cnt1)tmp.fl[min(2,i+A.cnt0)]+=B.fl[i]; 45 if(!B.cnt1)tmp.fr[min(2,i+B.cnt0)]+=A.fr[i]; 46 } 47 if(A.cnt1==1 and B.L){ 48 ++tmp.fl[min(2LL,A.cnt0+B.L)]; 49 tmp.fl[2]+=B.L-1; 50 } 51 if(B.cnt1==1 and A.R){ 52 ++tmp.fr[min(2LL,B.cnt0+A.R)]; 53 tmp.fr[2]+=A.R-1; 54 } 55 tmp.L=(!A.cnt1?A.cnt0+B.L:A.L);tmp.R=(!B.cnt1?B.cnt0+A.R:B.R); 56 tmp.cnt0=A.cnt0+B.cnt0;tmp.cnt1=A.cnt1+B.cnt1;tmp.s+=A.s+B.s; 57 tmp.s+=A.dr[0][1]*(B.dl[1][0]+B.dl[0][0])+A.dr[1][0]*B.dl[0][1]; 58 tmp.s+=A.dr[0][0]*(B.dl[1][1]+B.dl[0][1])+A.dr[1][1]*B.dl[0][0]; 59 if(B.L)tmp.s+=(A.fr[1]+A.fr[2])*B.L+A.fr[0]*(B.L-1); 60 if(A.R)tmp.s+=(B.fl[1]+B.fl[2])*A.R+B.fl[0]*(A.R-1); 61 return tmp; 62 } 63 void pushup(node &tmp,int x){ 64 tmp.reset(); 65 if(x)tmp.s=tmp.fl[0]=tmp.fr[0]=tmp.dl[0][1]=tmp.dr[0][1]=tmp.cnt1=1; 66 else tmp.dl[1][0]=tmp.dr[1][0]=tmp.L=tmp.R=tmp.cnt0=1; 67 }; 68 public: 69 void build(int l,int r,int rt=1){ 70 if(l==r){ 71 pushup(tree[rt],A[l]); 72 return; 73 } 74 int m=(l+r)>>1; 75 build(l,m,rt<<1); 76 build(m+1,r,rt<<1|1); 77 tree[rt]=comb(tree[rt<<1],tree[rt<<1|1]); 78 } 79 void update(int l,int r,int rt,int L){ 80 if(l==r){ 81 pushup(tree[rt],A[l]); 82 return; 83 } 84 int m=(l+r)>>1; 85 if(L<=m)update(l,m,rt<<1,L); 86 else update(m+1,r,rt<<1|1,L); 87 tree[rt]=comb(tree[rt<<1],tree[rt<<1|1]); 88 } 89 node query(int l,int r,int rt,int L,int R){ 90 if(L<=l and r<=R)return tree[rt]; 91 int m=(l+r)>>1; 92 if(R<=m)return query(l,m,rt<<1,L,R); 93 if(L>m)return query(m+1,r,rt<<1|1,L,R); 94 return comb(query(l,m,rt<<1,L,m),query(m+1,r,rt<<1|1,m+1,R)); 95 } 96 }segTree; 97 void init(){ 98 scanf("%d",&n); 99 range(i,1,n)scanf("%d",A+i); 100 segTree.build(1,n); 101 scanf("%d",&m); 102 } 103 void solve(){ 104 while(m--){ 105 scanf("%d%d",&op,&l); 106 if(op&1)A[l]^=1,segTree.update(1,n,1,l); 107 else{ 108 scanf("%d",&r); 109 printf("%lld\n",1LL*(r-l+1)*(r-l+2)/2-segTree.query(1,n,1,l,r).s); 110 } 111 } 112 } 113 int main() { 114 init(); 115 solve(); 116 return 0; 117 }
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