這篇文章是擼主要介紹人臉識別經典方法的第一篇，后續會有其他方法更新。特征臉方法基本是將人臉識別推向真正可用的第一種方法，了解一下還是很有必要的。特征臉用到的理論基礎PCA在另一篇博客里：特征臉(Eigenface)理論基礎-PCA(主成分分析法)?。本文的參考資料附在最后了^_^

步驟一：獲取包含M張人臉圖像的集合S。在我們的例子里有25張人臉圖像（雖然是25個不同人的人臉的圖像，但是看著怎么不像呢，難道我有臉盲癥么），如下圖所示哦。每張圖像可以轉換成一個N維的向量（是的，沒錯，一個像素一個像素的排成一行就好了，至于是橫著還是豎著獲取原圖像的像素，隨你自己，只要前后統一就可以），然后把這M個向量放到一個集合S里，如下式所示。

步驟二：在獲取到人臉向量集合S后，計算得到平均圖像Ψ?，至于怎么計算平均圖像，公式在下面。就是把集合S里面的向量遍歷一遍進行累加，然后取平均值。得到的這個Ψ?其實還挺有意思的，Ψ?其實也是一個N維向量，如果再把它還原回圖像的形式的話，可以得到如下的“平均臉”，是的沒錯，還他媽的挺帥啊。那如果你想看一下某計算機學院男生平均下來都長得什么樣子，用上面的方法就可以了。

步驟三：計算每張圖像和平均圖像的差值Φ??，就是用S集合里的每個元素減去步驟二中的平均值。

步驟四：找到M個正交的單位向量un?，這些單位向量其實是用來描述Φ??（步驟三中的差值）分布的。un?里面的第k（k=1,2,3...M)個向量uk?是通過下式計算的，

當這個λk（原文里取了個名字叫特征值）取最小的值時，uk??基本就確定了。補充一下，剛才也說了，這M個向量是相互正交而且是單位長度的，所以啦，uk??還要滿足下式：

上面的等式使得uk?為單位正交向量。計算上面的uk?其實就是計算如下協方差矩陣的特征向量：

其中

對于一個NxN（比如100x100）維的圖像來說，上述直接計算其特征向量計算量實在是太大了（協方差矩陣可以達到10000x10000），所以有了如下的簡單計算。

步驟四另解：如果訓練圖像的數量小于圖像的維數比如（M<N^2)，那么起作用的特征向量只有M-1個而不是N^2個（因為其他的特征向量對應的特征值為0），所以求解特征向量我們只需要求解一個NxN的矩陣。這個矩陣就是步驟四中的AAT?，我們可以設該矩陣為L，那么L的第m行n列的元素可以表示為：

一旦我們找到了L矩陣的M個特征向量vl，那么協方差矩陣的特征向量ul就可以表示為：

這些特征向量如果還原成像素排列的話，其實還蠻像人臉的，所以稱之為特征臉（如下圖）。圖里有二十五個特征臉，數量上和訓練圖像相等只是巧合。有論文表明一般的應用40個特征臉已經足夠了。論文Eigenface for recognition里只用了7個特征臉來表明實驗。

步驟五：識別人臉。OK，終于到這步了，別繞暈啦，上面幾步是為了對人臉進行降維找到表征人臉的合適向量的。首先考慮一張新的人臉，我們可以用特征臉對其進行標示：

其中k=1,2...M,對于第k個特征臉uk，上式可以計算其對應的權重，M個權重可以構成一個向量：

perfect，這就是求得的特征臉對人臉的表示了！

那如何對人臉進行識別呢，看下式：

其中Ω代表要判別的人臉，Ωk代表訓練集內的某個人臉，兩者都是通過特征臉的權重來表示的。式子是對兩者求歐式距離，當距離小于閾值時說明要判別的臉和訓練集內的第k個臉是同一個人的。當遍歷所有訓練集都大于閾值時，根據距離值的大小又可分為是新的人臉或者不是人臉的兩種情況。根據訓練集的不同，閾值設定并不是固定的。

后續會有對PCA理論的補充^_^.已補充理論：特征臉(Eigenface)理論基礎-PCA(主成分分析法)

參考資料：

1、Eigenface for Recognition：http://www.cs.ucsb.edu/~mturk/Papers/jcn.pdf

2、特征臉維基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%BE%81%E8%84%B8

3、Eigenface_tutorial：http://www.pages.drexel.edu/~sis26/Eigenface%20Tutorial.htm