上周我們介紹了神奇的只有五行的 Floyd 最短路算法，它可以方便的求得任意兩點的最短路徑，這稱為“多源最短路”。本周來來介紹指定一個點（源點）到其余各個頂點的最短路徑，也叫做“單源最短路徑”。例如求下圖中的 1 號頂點到 2、3、4、5、6 號頂點的最短路徑。
與 Floyd-Warshall 算法一樣這里仍然使用二維數組 e 來存儲頂點之間邊的關系，初始值如下。
我們還需要用一個一維數組 dis 來存儲 1 號頂點到其余各個頂點的初始路程，如下。
我們將此時 dis 數組中的值稱為最短路的“估計值”。
既然是求 1 號頂點到其余各個頂點的最短路程，那就先找一個離 1 號頂點最近的頂點。通過數組 dis 可知當前離 1 號頂點最近是 2 號頂點。當選擇了 2 號頂點后，dis[2]的值就已經從“估計值”變為了“確定值”，即 1 號頂點到 2 號頂點的最短路程就是當前 dis[2]值。為什么呢？你想啊，目前離 1 號頂點最近的是 2 號頂點，并且這個圖所有的邊都是正數，那么肯定不可能通過第三個頂點中轉，使得 1 號頂點到 2 號頂點的路程進一步縮短了。因為 1 號頂點到其它頂點的路程肯定沒有 1 號到 2 號頂點短，對吧 O(∩_∩)O~
既然選了 2 號頂點，接下來再來看 2 號頂點有哪些出邊呢。有 2->3 和 2->4 這兩條邊。先討論通過 2->3 這條邊能否讓 1 號頂點到 3 號頂點的路程變短。也就是說現在來比較 dis[3]和 dis[2]+e[2][3]的大小。其中 dis[3]表示 1 號頂點到 3 號頂點的路程。dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 號頂點到 2 號頂點的路程，e[2][3]表示 2->3 這條邊。所以 dis[2]+e[2][3]就表示從 1 號頂點先到 2 號頂點，再通過 2->3 這條邊，到達 3 號頂點的路程。
我們發現 dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新為 10。這個過程有個專業術語叫做“松弛”。即 1 號頂點到 3 號頂點的路程即 dis[3]，通過 2->3 這條邊松弛成功。這便是 Dijkstra 算法的主要思想：通過“邊”來松弛 1 號頂點到其余各個頂點的路程。
同理通過 2->4（e[2][4]），可以將 dis[4]的值從 ∞ 松弛為 4（dis[4]初始為 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新為 4）。
剛才我們對 2 號頂點所有的出邊進行了松弛。松弛完畢之后 dis 數組為：
接下來，繼續在剩下的 3、4、5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點。通過上面更新過 dis 數組，當前離 1 號頂點最近是 4 號頂點。此時，dis[4]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。下面繼續對 4 號頂點的所有出邊（4->3，4->5 和 4->6）用剛才的方法進行松弛。松弛完畢之后 dis 數組為：
繼續在剩下的 3、5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點，這次選擇 3 號頂點。此時，dis[3]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。對 3 號頂點的所有出邊（3->5）進行松弛。松弛完畢之后 dis 數組為：
繼續在剩下的 5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點，這次選擇 5 號頂點。此時，dis[5]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。對5號頂點的所有出邊（5->4）進行松弛。松弛完畢之后 dis 數組為：
最后對 6 號頂點所有點出邊進行松弛。因為這個例子中 6 號頂點沒有出邊，因此不用處理。到此，dis 數組中所有的值都已經從“估計值”變為了“確定值”。
最終 dis 數組如下，這便是 1 號頂點到其余各個頂點的最短路徑。
OK，現在來總結一下剛才的算法。算法的基本思想是：每次找到離源點（上面例子的源點就是 1 號頂點）最近的一個頂點，然后以該頂點為中心進行擴展，最終得到源點到其余所有點的最短路徑。基本步驟如下：
- 將所有的頂點分為兩部分：已知最短路程的頂點集合 P 和未知最短路徑的頂點集合 Q。最開始，已知最短路徑的頂點集合 P 中只有源點一個頂點。我們這里用一個 book[ i ]數組來記錄哪些點在集合 P 中。例如對于某個頂點 i，如果 book[ i ]為 1 則表示這個頂點在集合 P 中，如果 book[ i ]為 0 則表示這個頂點在集合 Q 中。
- 設置源點 s 到自己的最短路徑為 0 即 dis=0。若存在源點有能直接到達的頂點 i，則把 dis[ i ]設為 e[s][ i ]。同時把所有其它（源點不能直接到達的）頂點的最短路徑為設為 ∞。
- 在集合 Q 的所有頂點中選擇一個離源點 s 最近的頂點 u（即 dis[u]最小）加入到集合 P。并考察所有以點 u 為起點的邊，對每一條邊進行松弛操作。例如存在一條從 u 到 v 的邊，那么可以通過將邊 u->v 添加到尾部來拓展一條從 s 到 v 的路徑，這條路徑的長度是 dis[u]+e[u][v]。如果這個值比目前已知的 dis[v]的值要小，我們可以用新值來替代當前 dis[v]中的值。
- 重復第 3 步，如果集合 Q 為空，算法結束。最終 dis 數組中的值就是源點到所有頂點的最短路徑。
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