首先，我們考慮復數函數的泰勒級數展開式。對于任意一個復數函數f(z)，我們可以將其在z=a處進行泰勒級數展開：

f(z)??=??f(a)??+??f'(a)(z-a)??+??f''(a)(z-a)^2/2!??+??f'''(a)(z-a)^3/3!??+??...

其中f'(a)表示f(z)在z=a處的導數，f''(a)表示f(z)在z=a處的二階導數，以此類推。

接下來，我們考慮復指數函數e^z的泰勒級數展開式。對于這個函數，我們可以得到：



利用這個泰勒級數展開式，我們可以將復指數函數表示為冪級數的形式。

然后，我們考慮復數函數f(z)??=??e^iz。根據歐拉公式的定義，我們知道e^ix??=??cos(x)??+??isin(x)。因此，我們有：

現在，我們使用泰勒級數展開式將f(z)表示為冪級數的形式：

f(z)??=??1??+??(iz)??+??(iz)^2/2!??+??(iz)^3/3!??+??...

根據冪級數的性質，我們可以重新排列和化簡這個級數：

f(z)??=??1??+??iz??-??z^2/2!??-??iz^3/3!??+??z^4/4!??+??...

我們可以將這個冪級數的實部和虛部分開，得到：

Re(f(z))??=??1??-??z^2/2!??+??z^4/4!??-??z^6/6!??+??...
Im(f(z))??=??z??-??z^3/3!??+??z^5/5!??-??z^7/7!??+??...

觀察這兩個級數，我們發現實部部分是一個偶冪次項的級數，而虛部部分是一個奇冪次項的級數。

現在，我們考慮一個復數z，其中z可以表示為z??=??x??+??i*y，其中x和y都是實數。將z代入實部和虛部的級數展開式中：

Re(f(z))??=??1??-??(x^2??-??y^2)/2!??+??(x^4??-??y^4)/4!??-??(x^6??-??y^6)/6!??+??...
Im(f(z))??=??(x??+??i*y)??-??(x^3??+??3*x*y^2)/3!??+??(x^5??+??5*x^3*y^2??+??x*y^4)/5!??-??(x^7??+??7*x^5*y^2??+??7*x^3*y^4??+??x*y^6)/7!??+??...

令x^2??-??y^2等于cosθ，2*x*y等于sinθ，我們可以得到：

Re(f(z))??=??1??-??cosθ/2!??+??cosθ^2/4!??-??cosθ^3/6!??+??...
Im(f(z))??=??sinθ??-??sinθ^3/3!??+??sinθ^5/5!??-??sinθ^7/7!??+??...

現在，我們回顧一下歐拉公式的定義：e^ix??=??cos(x)??+??isin(x)。比較Re(f(z))和Im(f(z))我們可以發現，它們分別與cosθ和sinθ是相同的級數。

綜上所述，我們可以得出結論：對于任意一個復數z，我們有e^iz??=??cos(z)??+??isin(z)。這就是歐拉公式的證明。