復分析——第1章——復分析準備知識(E.M. Stein R. Shakarchi)

第一章???????? 復分析準備知識

(Preliminaries to Complex Analysis)

The sweeping development of mathematics during the

last two centuries is due in large part to the introduction

of complex numbers; paradoxically, this is based

on the seemingly absurd notion that there are numbers

whose squares are negative

(過去兩個世紀數學的全面發展在很大程度上要歸功于復數的引入。矛盾的是，這是基于一個看似荒謬的概念，即有些數字的平方為負數)

-------------------------------------------------------------------------E. Borel, 1952

本章致力于闡述我們在本書中廣泛使用的基本預備資料。

首先，我們快速回顧復數的代數和解析性質，然后是復平面中集合的一些拓撲概念。 (另請參見第一冊第一章末尾的練習。)

然后，我們精確定義了全純性(holomorphicity)的關鍵概念，即可微性的復雜分析版本。這使我們能夠討論Cauchy-Riemann方程和冪級數。

最后，我們定義曲線(curve)的概念以及函數沿曲線的積分。特別是，我們將證明一個重要的結論，我們可以大致將其表述如下：若函數 f 有一個原函數(primitive)(即，在這種意義上的原函數——存在一個全純函數 F 并且其導數恰好是 f? )，則對任意閉合曲線 γ ，有

$\int_{\gamma} f (z)dz = 0$ ?。

這是邁向Cauchy定理的第一步，Cauchy 定理在復變函數理論中發揮著核心作用。

1?? 復數和復平面(Complex numbers and complex plane)

???????? 本節涵蓋的許多事實已在第1冊書中使用過。

1.1?? 基本屬性(Basic properties)

一個復數采用? $z = x + iy$ ?的形式，其中，x 和 y 是實數，i?是滿足? $i^{2}=-1$ ?的虛數(imaginary number)(譯注：即所謂“虛構”出來的數)。我們分別稱實數x和y為復數z的實數(real part)和虛部(imaginary part)。并分別記為

x = Re{ z } 和 y = Im{ z } 。

實數恰好是虛部為0的復數。實部為0的復數稱為純虛數(purely imaginary)。

在我們的整個演示中，所有復數的集合都用 ? 表示。通過以下簡單的關聯(identification)，可以將復數可視化為通常的Euclid平面: 將復數 z = x + iy∈? 與點? $(x , y )\in \mathbb{R}^{2}$ ?關聯在一起。例如，0 對應原點，而i對應點(0,1)。很自然地， $\mathbb{R}^{2}$ ?的x軸和y軸分別稱為復數的實軸(real axis)和虛軸(imaginary axis)，因為它們分別對應實數和純虛數。(見圖1)

------------------------------------------------圖1. 復平面-------------------------------------------

加和乘復數的自然法則可通過簡單地將所有復數視為好似它們就是實現那樣對待且牢記? $i^{2}=-1$ ?即可。若? $z_{1} = x_{1} + y_{1}i$ ?和? $z_{2} = x_{2} + y_{2}i$ ?，則? $z_{1} + z_{2} = ( x_{1} + x_{2} ) + ( y_{1} + y_{2} )i$ ?，此外，

$\begin {array}{rl} z_{1}z_{2}&=( x_{1} + y_{1}i )( x_{2} + y_{2}i )\\ &=x_{1} x_{2} + x_{1} y_{2}i + x_{2} y_{1}i + y_{1} y_{2}i\\ &=x_{1} x_{2} + x_{1} y_{2}i + x_{2} y_{1}i + i^{2} y_{1} y_{2}\\ &=(x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}) i \end{array}$ ?。

若我們采用以上兩種表述作為復數的加法和乘法的定義，要驗證以下的預期屬性是一件簡單的事情：

$\bullet$ ? ??交換律(Commutativity): 對于任意? $z_{1} ,z_{2} \in \mathbb{C}$ ?，有? $z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$ ?且? $z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1}$ ?。

$\bullet$ ? ??結合律(Associativity): 對于任意? $z_{1} ,z_{2} ,z_{3} \in \mathbb{C}$ ?， $(z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2 }+ z_{3})$ ?。

$\bullet$ ? ?分配律(Distributivity): 對于任意? $z_{1} ,z_{2} ,z_{3} \in \mathbb{C}$ ? , $z_{1}(z_{2} + z_{3}) = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3}$ ?。

顯然，復數加法對應平面? $\mathbb{R}^{2}$ ?上相應向量的加法。然而，乘法由拉長的(dilation)旋轉組成，一旦我們引入了復數的極坐標形式，這一事實就會變得清晰明了。目前，我們觀察到，復數乘以i 對應這個復數旋轉π/2 弧度的角。

復數長度功絕對值的概念與? $\mathbb{R}^{2}$ ?中的Euclid長度的概念相同(譯注：即兩點之間的長度)。更確切地說，我們定義復數? $z = x + iy$ ?的絕對值(absolute value)(譯注：絕對值就是長度)為

$| z| = (x^{2}+y^{2})^{1/2}$ ?，

因此，| z |恰好是原點到點(x ,y)之間的距離。特別地，三角不等式對復數成立：

$|z + w| \leq | z | + | w|$ ?(對于任意 z ，w ∈? )。

在此，我們列出其它有用的不等式。對于任意 z ∈? ，有不等式 | Re{ z }|≤ | z |和 ?| Im{ z }|≤ | z |,且對于意 z ，w ∈? 有

$|| z | - | w|| \leq |z - w|$ ?。

以上可從三角不等式推導，因為?

$| z | \leq | z - w | + | w|$ ?且? $| w | \leq | z - w | + | z |$ ??(譯注：寫成 | w | ≤ | w - z | + | z | 更直觀)。

定義復數 z = x + iy 的共軛為

$\overline{z} = x - iy$ ?,?

它是通過平面中實軸的反射獲得的(譯注：漢語為什么翻譯為“共軛”，請參考文章 “共軛”(conjugate)是什么意思？ - 知乎,這里的反射，類似鏡面成像的虛像。為什么這樣規定，因為這樣規定之后，復數就能適應各種針對實數應用的法則，例如，勾股定理，而且與幾何完美地結合了起來，復數就是與我們的幾何相量相關聯的代數名稱，這些是其奇妙之處)。事實上，當僅僅當一個復數?z 滿足? $z=\overline{z}$ ?時，這個復數是實數，而當且僅當? $z=-\overline{z}$ ?時，復數 z是純虛數。

讀者應該能夠毫無困難地驗證

$\displaystyle {\rm{ Re}}\{ z \} = \frac{z+\overline{z}}{2}$ ?和?? $\displaystyle {\rm{ Im}}\{ z \} = \frac{z-\overline{z}}{2i}$ ?。

此外，應該也能輕松驗證

$|z|^{2} = z\overline{z}$ ?以及由此導出的結果? ? $\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}(\overline{z} \neq 0)$ ?。

可以將任意非零復數 z 寫成極坐標形式(polar form)

$z=re^{i\theta}$ ?，

其中，r > 0 ；此外，稱 θ∈? 為z?的參數(argument)(唯一地定義為最多是的2π倍數),一般用 arg z 表示，并且有

$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$ ??(譯注：著名的Euler恒等式)。

$|e^{i\theta}|=1$ ?，我們觀察到，r = | z| ，而θ只是正實數軸與以原點從為起點且通過z的半線(half-line)之間的夾角(逆時針方向為正)。(見圖2)

----------------------------------------圖2. 復數的極坐標形式------------------------------------------

最后，注意，若? $z = re^{i\theta }$ ?且? $w = se^{i\varphi}$ ?，則

$\displaystyle zw = rse^{i(\theta+\varphi)}$ ?，

因此，一個復數乘法對應? $\mathbb{R}^{2}$ ?平面上的一個位似變換(homothety)(即，由長度拉伸或膨脹(dilation)組成的旋轉)。

1.2?? 收斂性(Convergence)

??? 我們做一個從以上所描述的復數的算術和幾何屬性到收斂和極限的關鍵概念的轉換。

??? 對于一個復數級數? $\{z_{1},z_{2},...\}$ ?以及 w ∈? ,若

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{|z_{n}-w|}= 0$ ?，

則稱復數級數? $z_{n}$ ?收斂于 w ，并記作? $\displaystyle w=\lim_{n \rightarrow \infty}z_{n}$ ?。

收斂的概念并不是新的。事實上，在復數域?內的絕對值和? $\mathbb{R}^{2}$ ?平面上的距離是一致的。我們看到，當且僅當復平面上相應點的序列收斂于對應于w?的點時， $z_{n}$ ?收斂于 w 。

作為一個練習，讀者可以驗證，對于序列? $\{z_{n}\}$ ?，當且僅當? $z_{n}$ ?的實部與虛部分別收斂于 w 的實部和虛部時，序列收斂于 w 。

由于有時候不可能輕易識別出序列的極限(例如，? $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{n=1}^{N}(1/n^{3})$ ?)?，因此，對序列本身有一個等價于其收斂的條件是很方便的。對于一個序列? $\{z_{n}\}$ ?，若當 n，m ? ∞ 時， $|z_{n} - z_{m}| \rightarrow 0$ ?, 則稱其為一個 Cauchy 序列(Cauchy sequence )。換句話說，給定一個 ε > 0 ，總存在一個N > 0 ，使得只要 n，m > N , 就有? $|z_{n} - z_{m}| < \epsilon$ ?。(譯注：即極限的ε –σ 描述法。) 實分析的一個重要事實是，實數域?是完備的(complete)：實數的每一個Cauchy序列收斂于一個實數(注：有時候，也稱這一事實為Bolzano-Weierstrassp定理)。由于對于復數域 ?中的序列? $\{z_{n}\}$ ??，當且僅且其實部和虛部均是 Cauchy 序列時，它是Cauchy 序列，因此，我們可以推斷出，復數域 ?中的每一個Cauchy 序列在復數域?中都有一個極限。因此，我們有下面的結論。

定理 1.1 ?復數域 ? 是完備的。

?????? ?????? 現在我們將注意力轉向一些簡單的拓撲考量，這些考量在我們的函數研究中是必要的。讀者會再次注意到，沒有引入新的概念，而是以前的概念現在以新詞匯的形式呈現。

1.3? 復平面中的集合(Sets in the complex plane)

若? $z_{0} \in \mathbb{C}$ ?且 r > 0 ,我們將以? $z_{0}$ ?為中心半徑為r的開圓盤(open disc(disk))? $D_{r}(z_{0})$ ?定義為從? $z_{0}$ ?開始的長度嚴格小于r的所有復數的集合。換句話說，

$\displaystyle D_{r}( z_{0} ) = \{ z\in \mathbb{C} \left. \right \vert \: | z - z_{0}| < r \}$ ?，

而這正是通常以 $z_{0}$ ?為圓心半徑為 r的平面上的圓盤。而以 ? $z_{0}$ ?為中心半徑為r的閉圓盤(closed disc(disk)) $\overline{D}_{r}( z_{0} )$ ?定義為

$\overline{D}_{r}( z_{0} ) = \{ z\in \mathbb{C} | | z - z_{0}| \leq r \}$ ?，

(譯注：開圓盤指無邊界，而閉圓盤指有明確的邊界。)

開圓盤或閉圓盤的邊界都是圓

$C_{r}( z_{0} ) = \{ z\in \mathbb{C} |\: | z - z_{0}| = r \}$ ?。

由于單位圓盤(unit disc)(即，中心位于原點半徑為1的開圓盤)在隨后的章節中起了重要作用，我們后面通常都用 𝔻 表示，

$\mathbb{D} = \{ z \in \mathbb{C} | | z| < 1 \}$ ?。

已經一個集合 Ω∈? ，則對于某點? $z_{0}$ ?，若存在 r > 0 使得

$D_{r}( z_{0} ) \subset \Omega$ ?，

則稱? $z_{0}$ ?為Ω 的內點(interior point)。Ω 的內部(interior)由其所有內點組成。最后，若集合Ω的所有點都是其內點，則稱是集合Ω是開集(open)。這個定義恰好與? $\mathbb{R}^{2}$ ?上的開集定義一致。

若集合Ω的補集? $\Omega^{c }= \mathbb{C} - \Omega$ ?是開集，則Ω 是閉集(closed)。可以根據極限點(limit point)重述這個定義。對于某一點 z∈? ，若存在一系列點? $z_{n}\in \Omega$ ?，使得? $z_{n} \neq z$ ?且? $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} z_{n}=z$ ?，則稱這一點 z 為集合Ω的極限點。現在，讀者可以驗證，對于一個集合，當且僅當其包含所有極限點時，它是閉集。任意集合Ω 的閉包(closure)都是Ω與其極限點的并集(union)，且一般用表示? $\overline{\Omega}$ ?。

最后，集合Ω 的邊界(boundary)等于其閉包減去其內點，通常用 ?Ω 表示(譯注：符號?的為字母d的草書寫法，讀音同d )。

???????? 對于集合Ω，若存在 M > 0 ,使得只要 z∈Ω ，就有 | z|< M，則稱Ω是有界的(bounded)。換句話說，集合Ω 包含于某個大圓盤中。其集合Ω有界，我們定義其直徑(diameter)為

${\rm{diam}}(\Omega) = \displaystyle \sup_{z,w \in \Omega} (z,w\in \Omega)|z-w|$ ? 。

若集合Ω是閉合且有界的，則稱其是緊致的(compact)。正如實變量的論證情況一樣，我們可以證明以下結論。

定理1.2? 對于集合Ω∈? ，當且僅當每一個序列 ? $\{ z_n \}\in \mathbb{C}$ ?具有一個收斂于Ω中某一點的子序列時，它是緊致的。?

??? 集合Ω的一個開覆蓋(open covering)是一族使得?

$\displaystyle \Omega \subset \bigcup_{\alpha}U_{\alpha}$ ?

的開集? $\{U_{\alpha}\}$ ?(不一定可數)。類比于實數集? 的情況，我們有下列等價的緊致性(compactness)公式。

定理1.3? 對于集合Ω，當且僅當Ω的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋的時候，它是緊致的。

??? 緊性的另一個有趣的屬性是嵌入集(nested sets)。事實上，我們將在研究復變函數理論的一開始就使用這個結果，更準確地說，是在第二章中證明Goursat定理時。

命題 1.4? 若 ? $\Omega_{1}\supset \Omega_2 \supset ...\supset \Omega_n\supset ...$ ?是復數集 ? 中的一個非空緊致集合序列，且具有屬性

$\rm{diam}(\Omega_{n}) \rightarrow 0$ ?(當 n ? ∞ 時),

則存在一個唯一點 w∈? ，使得對于任意的?n ，都有? $w \in\Omega_{n }$ ?。

證明：

??? 在每個? $\Omega_{n }$ ?中選擇一個點? $z_{n}$ ?。條件? $\rm{diam}(\Omega_{n}) \rightarrow 0$ ?確切指的是? $\{z_{n}\}$ ?是一個Cauchy序列，因此，這個序列收斂于一極限，我們稱其為w。由于對于任意的?n，每一個? $\Omega_{n }$ ?都是緊致的，所以我們一定有? $w \in\Omega_{n }$ ?。最后，w是滿足這一條件的唯一點，不然，若 w’也滿足同一屬性且 w’≠ w ，我們就會有 | w - w’| > 0 ，并且也滿足條件? $\rm{diam}(\Omega_{n}) \rightarrow 0$ ?，這是矛盾的。

我們需要的最后一個概念是連通性(connectedness)。對于一個開集 Ω? ? ，若不可能求得兩個不相交的非空開集? $\Omega_{1}$ ?和? $\Omega_{2}$ ?使得

$\Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2}$ ?，

則稱開集Ω 是連通的。稱復數集 ? 中的一個連通開集為一個區域(region)。類似地，對于一個閉集F，若不可能求得兩個不相交的非空閉集? $F_{1}$ ?和? $F_{2}$ ?使得

$F=F_{1} \cup F_{2}$ ?，

則稱其為連通的。

???????? 存在開集的一個根據曲線來定義的等價的連通性定義，這種定義通常在實踐中很有用：對于一個集合Ω，當且僅當Ω中的任意兩點都可以以通過一條完全含于Ω中的曲線γ連接，則稱其是連通的。

2?? 復平面上的函數(Complex numbers and complex plane)

2.1?? 連續函數(Continuous functions)

令 f 為一個定義在復數集 Ω 上的函數。對于Ω上的任意一點? $z_{0}$ ?，若任意 ε > 0 ，都存在一個 δ > 0 ，使得，只要 z∈Ω 且? $| z - z_{0}| < \delta$ ?，就有? $| f (z)- f (z_{0})|< \epsilon$ ?，則稱函數 f 是連續的。另一個等價定義是：每一個序列? $\{ z_{1} ,z_{2} ,... \} \subset \Omega$ ?都使得? $\lim z = z_{0 }$ ?，則? $\lim f (z) = f (z_{0})$ ?。

若函數 f 在每一個Ω的點都是連續的，則稱其中Ω 上是連續的。繼而，連續函數的和與積也分別是連續的。

由于復數收斂的概念與? $\mathbb{R}^{2}$ ?平面上的點是相同的，對于復參數 z = x + iy 的函數f ，當且僅當其被視為兩個實變量 x和 y的函數時是連續的，則復參數作自變量時其是連續的。

???????? 根據三角不等式，立即可知，若f是連續函數，則由 z ?| f (z) | 所定義的實數值函數也是連續函數。若在某一點? $z_{0 }$ ?處，對于任意 z∈Ω ，都有

$|f(z)| \leq | f(z_{0})|$ ?，

則稱 f (在這個定義域內)取得一個最大值(maximum)。將不等式逆向，便得到最小值(minimum)的定義。

定理 2.1 ?一個緊致性集合Ω 上的連續函數是有界的，并且在Ω上可取得最大小最值。

??? 這當然類似于實變量函數的情況，這里不再重復簡單的證明。

2.2?? 全純函數或復解析函數(Holomorphic functions)

我們現在提出一個復雜分析的核心概念，與之前的討論不同，我們引入了一個本質上是真正復數的(complex)定義。

令Ω為上 ? 的一個開集，并令 f 為 Ω 上的一個復數值函數。若在某一點? $z_{0}$ ?處，商式

(1) ?? $\displaystyle \frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}$ ?( $h \in \mathbb{C}$ ? 且 $h \neq 0$ ?， $z_{0}+ h \in \Omega$ ?)

隨著 h ? 0 而收斂于一個極限值，則稱函數 f 在點? $z_{0}$ ? 處是全純的(holomorphic)(譯注：“holo-”表示“全的，整個的，完全的”，“morphic”表示“形態的，形式的，形狀的”)。商的極限(當存在時)由? $f ^{'}(z_{0})$ ?定義，稱為函數?f?在? $z_{0}$ ?點的導數(derivative):

$f ^{'}(z_{0})=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}$ ?。

應該強調的是，在上述極限表達式中，h?是可以從任意方向趨近于0的復數(譯注：即不同于實分析中只考慮極限的左右極限，在復平面上，我們需要考慮可能的所有方向)。

??? 若函數f 在 Ω 的任意點都是全純的，則稱?f?是Ω上的全純函數。若 C 是 ? 的閉合子集，若f在某些包含 C 的開集上是全純的，則稱f在C上是全純的。最后，若f在整個?上是全純的，則我們稱f是整函數(entire)。

???????? 有時候，使用術語正則(regular)(譯注：或正規、常規)或復可微(complex differentiable)來代替術語全純性(holomorphic)。鑒于表達式(1)模仿了一個實變量函數導數的常規定義，后者是自然的。但盡管存在這種相似性，一個復變量的全純函數將比一個實變量的可微函數滿足更強的性質。 例如，全純函數實際上會無限多次復可微，即一階導數的存在將保證任意階導數的存在。 這與一個實變量的函數形成對比，因為存在不具有兩個導數的實數可微函數。事實上，更進一步說：每個全純函數都是解析函數，因為它在每個點附近都有冪級數展開(冪級數將在下一節中討論)，因此我們也使用術語“解析(analytic)”作為全純(holomorphic)的同義詞。同樣，這與以下事實形成對比：一個實變量存在無法在冪級數中展開的不定可微函數。(參見練習23。)

例子1：

函數 f?(z) = z 在 ? 中的任意開集上是全純的，并且 f ’(z) = 1 。事實上，任意多項式

$p(z) = a_{0} + a_{1} z + ... + a_{n} z^{n}$

在整個復平面上是全純的，且

$p^{'} (z) = a_{1} + ... + na_{n} z^{n-1}$

這可以從下面的命題2.2可推導出。

例子2：

函數? $\displaystyle \frac{1}{z}$ ?在 ? 中不包括原點的任意開集上是全純的，且?? $f ^{'}(z) = -1/z^{2}$ ?。

例子3：

函數? $f(z) = \overline{z}$ ?不是全純的。事實上，我們有

$\displaystyle \frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}=\frac{\overline{h}}{h}$ ?，

這個表達式在 h ? 0 時沒有極限值，正如讀者所見，先取 h為實數然后取h純虛數即可驗證。

???????? 一個重要的全純函數例子族是冪級數，這個在后面再討論。它們包括諸如? $e^{z}$ ?、sin(z)、或cos(z),實際上，如前面最后一段所述，冪級數在全純函數理論中起著關鍵性作用。本書的簡介中給出了其他一些全純函數的示例，這些示例將在后面的章節中出現。從上述(1)中可以明晰的是，一個函數 f 在? $z_{0}\in \Omega$ ?點是全純的條件是——當且僅當存在一個復數a，使得

(2)??? $f (z_{0} + h) - f (z_{0)} - ah = h \psi(h)$ ?，

其中，函數ψ的定義滿足對任意小的?h 有 ?? $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\psi(h)=0$ ?。顯然，我們有? $a = f ^{'}(z_{0})$ ?

。從這個公式可以明確的是，只要f是全純的，它就一定是連續的。其論證和一維實變量的情況一樣，在鏈式法則下應用公式(2)(例如)，讀者可以很容易地證明隨后的全純函數的期望屬性。

命題 2.2? 如果 f 和 g? 是Ω中的全純函數，則：

(?i?) f + g 在Ω 中是全純函數，且 (f + g)’ = f?’ + g’。

(?ii?) fg 在Ω 中是全純函數，且 (fg)’ = f ’g + fg’。

(?iii?) 若? $g (z_{0}) \neq 0$ ?, 則 f/g在? $z_{0}$ ?點是全純的，且

$\displaystyle ( f/g )^{'}= \frac{f ^{'}g - fg^{'}}{g^{2}}$ ?。

此外，若 f : Ω ? U 以及 g : U ? ? 是全純的，則對于任意的 z∈Ω，有下列鏈式法則：

?????????????????? ( g ? f? )’(z) = g ’(f?(z)) f ’(z) 。

2.2.1?? 作為映射的復值函數(Complex-valued functions as mappings)

現在，我們來厘清復數和實數導數之間的關系。事實上，上述第三個例子應當已經使讀者明白，復可微的概念完全不同于通常的2個實變量的函數的實可微的概念。事實上，按照實變量法則，函數 ? $f(z)=\overline{z}$ ??對應映射 F: (x , y) ? (x , -y) ,在實數的意義上，它是可微的。它在某一點的導數是由 Jacobi 矩陣(坐標函數的偏導數的2×2矩陣)給出的線性映射。實際上，F是線性的，因此，在每一點等于其導數。這意味著，F事實上是無限可微的。特別是，實導數的存在并不確保復函數 f 是全純的。

這個例子將我們引向更一般的關聯，即將每個復函數 $f = u + iv$ ?與映射? $F(x, y)=(u(x,y),v(x,y))$ ?從? $\mathbb{R}^{2}$ ?到?? $\mathbb{R}^{2}$ ?關聯起來。?

我們記得，對于函數? $F(x, y)=(u(x,y),v(x,y))$ ?,若在某一點? $P_{0} = ( x_{0} , y_{0 })$ ?存在一個線性變換?? $J : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ ?，使得

(3)??? ? $\displaystyle \frac{|F(P_{0}+h)-F(P_{0})-J(H)|}{|H|} \rightarrow 0$ ?(當 |H?|? 0 ， $H \in \mathbb{R}^{2}$ ?時 )，

則我們稱函數 F 在? $P_{0}$ ?點可微。

我們可以寫成等價形式

$F(P_{0} + H ) - F(P_{0}) = J( H ) + |H|\psi(H)$ ?，

且隨著|H?|? 0 有 |ψ(H)| ? 0 。線性變換J是唯一的，并被稱為?F?在?? $P_{0}$ ?點的導數。若F?可微，則 u?和v?的偏導數存在，并且這個線性變換 J 按照? $\mathbb{R}^{2}$ ?的標準基用?F 的Jacobi?矩陣描述為

$J = J_{F}( x , y ) = \begin{pmatrix} \partial u/ \partial x &\partial u/ \partial y \\[0.2cm]\\ \partial v/ \partial x &\partial v/ \partial y \end{pmatrix}$ 。

在復數可微的情況下，這個導數是一個復數? $f^{'}(z_{0})$ ?，而在實數的情況下，它是一個矩陣。然而，在這兩個概念之間存在一種關聯。這種關聯由按照Jacobi矩陣的列值(entries)所滿足的特殊關系(即，u?和v?的偏微分)所給出。為了求得這些關系，在(1)在考慮極限，首先考慮h是實數的情況(比如， $h = h_{1} + ih_{2}$ ?且? $h_{2} = 0$ ?)。則，若我們記為 $z = x + iy$ ， $z_{0} = x_{0} + iy_{0}$ ?，且 $f (z) = f (x , y )$ , 我們求得?

$\begin{array}{rl}f^{'}(z_{0}) &=\frac{\displaystyle \lim_{h_{1}\rightarrow 0} f(x_{0}+h_{1},y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\displaystyle h_{1}}\\ &\displaystyle=\frac{\partial f}{\partial x}z_{0} \end{array}$ ?，

其中，?/?x 表示通常的以x為自變量的偏微分。(我們固定? $y_{0}$ ?并將f 視為單實變量x的復值函數。) 現在，取h為純虛數(比如，取 ? $h = ih_{2}$ ?)，類似的論證便產生

$\begin{array}{rl}f^{'}(z_{0}) &=\frac{\displaystyle \lim_{h_{2}\rightarrow 0} f(x_{0}+h_{2},y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\displaystyle h_{2}}\\ &\displaystyle=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}(z_{0}) \end{array}$ ?，

其中，?/?y 表示通常的以y為自變量的偏微分。因此，若f是全純的，我們已經證明了

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}$ ?。

記 $f = u + iv$ ，我們在分離實部和虛部并利用 $1/i = -i$ ?之后，發現f 和v的偏微分存在，并且它們滿足下面的非平凡關系(non-trivial relations)

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ ?及? $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$ ?。

以上是Cauchy-Riemann 方程，其與實分析和復分析都有關系。

???????? 我們可以定義兩個微分算子對這種情況進行進一步的分類：

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}\left (\frac{\partial }{\partial x}+\frac{1}{i}\frac{\partial }{\partial y} \right )$ ?和? $\displaystyle \frac{\partial }{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2} \left ( \frac{\partial }{\partial x}-\frac{1}{i}\frac{\partial }{\partial y} \right )$ ?。?

命題 2.3 ?若 f 在 ? $z_{0}$ ?點是全純的，則

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}(z_{0})=0$ ?且?? $\displaystyle f^{'}(z_{0})=\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0})=2\frac{\partial u}{\partial z}(z_{0})$ ?。

此外，如果我們記 F(x, y)= f (z)，則 F在實變量的意義上是可微的，并且

$\det J_{F}( x_{0}, y_{0} ) = |f^{'}(z_{0})|^{2}$ ?。

證明：

取實部和虛部，容易看出，Cauchy-Riemann 方程等價于? $\partial f/\partial\overline{z}=0$ ?。此外，根據我們前面的觀察

$\begin{array}{rl}f^{'}(z_{0})&=\displaystyle \frac{1}{2}\left (\frac{\partial f}{\partial x}(z_{0}) +\frac{1}{i}\frac{\partial y}{\partial y}(z_{0}) \right ) \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0}) \end{array}$ ?，

以及 Cauchy-Riemann 方程給出 ?f /?y = 2?u /?z 。為了證明F是可微的，注意分析這個現象即足夠，即當? $H = (h_{1 }, h_{2})$ ?和? $h = h_{1} + ih_{2}$ ?，則 Cauchy-Riemann 方程意味著

$J_F( x_{0} , y_{0} )(H) = \displaystyle \left ( \frac{\partial u}{\partial x}-i \frac{\partial u}{\partial y} \right )(h_{1}+ih_{2})=f^{'}(z_{0})(h)$ ?，

其中，我們將復數與實部和虛部對(pair)關聯起來，應用Cauchy-Riemann 方程之后，上述結果意味著

(4)??? ? $J_F( x_{0} , y_{0} )(H) = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}= \left ( \frac{\partial u}{\partial x}\right )^{2}+\left ( \frac{\partial u}{\partial y}\right )^{2}=\left |2\frac{\partial u}{\partial z} \right |^{2}=\left | f^{'}(z_{0}) \right |^{2}$ ?。

到目前為止，我們已經假設f是全純的，并推導出其實部和虛部滿足的關系。下一個定理包含一個重要的反推，它完成了這里提出的思想閉環(circle)。

定理 2.4 ?設 f = u + iv 是一個定義在開集?Ω 上的復數值函數。若 u 和 v 在Ω上連續可微且滿足Cauchy-Riemann方程，則 f 在Ω上是全純的，且 f ’(z) = ?f /?z 。

證明：

?記

$u(x + h_{1}, y + h_{2}) - u(x, y) = \frac{\partial u}{\partial x}h_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}h_{2} + |h|\psi_{1}(h)$

和

? $v(x + h_{1}, y + h_{2}) - u(x, y) = \frac{\partial v}{\partial x}h_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}h_{2} + |h|\psi_{2}(h)$

其中，隨著 |h| 趨近于 0 且?? $h = h_{1} + ih_{2}$ ?而? $\psi_j(h) \rightarrow 0$ ?(對于j = 1,2 ) 。使用 Cauchy-Riemann方程我們求得

$f ( z + h ) - f ( z ) = \left ( \frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y} \right )(h_{1}+ih_{2})+|h|\psi(h)$ ?，

其中，隨著? |h| ? 0 而 ?? $\psi(h) = \psi_1(h) + \psi_2(h) \rightarrow 0$ ?。因此，f 是全純的且

$\displaystyle f^{'} (z) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}$ ?。

2.3?? 冪級數(Power series)

??? 冪級數的主要例子是復指數函數，對于 z∈? ，定義為

$\displaystyle e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}$ ?。

當 z 是實數的時候，這個定義與慣常的定義一致。且事實上，上述級數對每一個 z∈? 絕對收斂。為了理解這一點，注意到

$\displaystyle \left | \frac{z^{n}}{n!} \right | = \frac{|z^{n}|}{n!}$ ?，

因此， $|e^{z}|$ ?可對比于級數? $\sum |z|^{n}/n!=e^{|z|}<\infty$ ?。實際上，這個計算證明了這個定義? $e^{z}$ ?在?中的每一個圓盤中都收斂。

在本節中，我們將證明? $e^{z}$ ?在整個?中都是全純的(整函數)，并證明其導數可通過對級數逐項微分而求得。因此，

$\displaystyle e^{z}{'}=\sum_{n=0}^{\infty}n\frac{z^{n-1}}{n!}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{z^{m}}{m!}=e^{z}$ ?，

所以，? $e^{z}$ ?的導數是其自身。

相比之下，等比級數(geometric series)

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}z^{n}$ ?

僅在圓盤 | z | < 1 中絕對收斂，且在這種情況下，其和為 1/(1- z)，這個和式在開集 ? - {1} 上是全純的。這個恒等式的證明與z為實數時的情況完全相同：我們首先注意到

$\displaystyle \sum_{n=0}^{N}z^{n}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$ ?,

然后注意到，當 | z | < 1 時，我們一定有? $\displaystyle \lim_{N \rightarrow \infty}z^{n+1}=0$ ?。

通常，一個復冪級數是一個形如

(5) ?????? $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ ?

的展開式，其中， $a_{n}\in \mathbb{C}$ ?。為了驗證這個級數的絕對收斂性，我們必須考察

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}|a_{n}||z|^{n}$ ?,

我們觀察到，若級數(5)對某點? $z_{0}$ ?絕對收斂，則對于圓盤上所有? $| z |\leq|z_{0}|$ ?的點它也將收斂。現在我們來證明，總是存在一個在其上這個冪級數絕對收斂的圓盤(可能為空)。

定理 2.5 已經一個冪級數 ? $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ ?，存在 0 ≤ R ≤ ∞ ，使得：

( i )? 若 | z | < R ,則級數絕對收斂。

( ii )? 若 | z | > R ,則級數發散。

此外，如果我們使用約定 1/0 = ∞ 和 1/∞ = 0 ，則 R 由Hadamard公式

$1/ R = \lim \sup |a_{n} |^{1/n}$ ?。

實數 R 稱為級數的收斂半徑(radius of convergence)，而域| z |< R 稱為收斂圓盤。特別地，在指數函數的情況下，我們有 R = ∞ ，且對于等比級數的情況，R =? 1 。

證明：

??? 令 L = 1/R ，其中，R按這個公理的描述所定義，且 R ≠ 0 , ∞ 。(這兩種簡單的情況留作練習。) 若 | z |< R ，選取足夠小的 ε > 0 使得

$( L + |\epsilon| )| z | = r < 1$ ?。

根據這個 L 的定義，對于任意大的?n，我們有?? $|a_{n}|^{1/n} \leq L + \epsilon$ ?，因此，

$|a_n||z|^{n}\leq {(L+\epsilon)|z|}^{n} = r^{n }$ ?。

與等比級數? $\sum r^{n}$ ?對比，證明了 ? $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ 收斂。

若 | z| > R ，則一個類似的論據證明，在這個級數中存在一系列項，它們的絕對值趨近于無窮大，因此，級數發散。

評注：

??? 在收斂圓盤的邊界| z| = R 上，情況更為微妙，要么收斂，要么發散。(參見練習 19 。)

??? 更多冪級數在整個復平面上收斂的例子可由標準三角函數(standard trigonometric functions)給出；它們分別被定義為

$\displaystyle \cos(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}$ ?和? $\displaystyle \sin(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ?,

且只要 z ∈ ? ,則它們與常規的實參正弦和余弦函數一致。一個簡單的計算表明了這兩個函數與復指數函數之間存在的關聯，即，

$\displaystyle \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ ?和? $\displaystyle \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ ?。

以上稱為正弦函數和余弦函數的Euler公式。

??? 冪級數提供了一個非常重要且操控特別簡單的分析函數類。

定理 2.6 ?冪級數 ? $\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}na_{n}z^{n}$ ?在其收斂圓盤上定義了一個全純函數。通過對 f 逐項微分這個級數而獲得的f 的微分，即，

$\displaystyle f^{'}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}na_{n}z^{n-1}$ ,

仍然是一個冪級數。此外，f ’ 具有與f 同樣的收斂半徑。

證明：

???????? 關于f 的收斂半徑的這個論斷可從Hadamard公式推導出。事實上， $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}n^{(1/n)}=1$ ?，所以

$\lim \sup |a_{n}|^{(1/n)} = \lim \sup |na_{n}|^{1/n}$ ?，以致于? $\sum a_{n}z^{n}$ ?和? $\sum na_{n}z^{n}$ ?具有相同的收斂半徑，因此， $\sum a_{n}z^{n}$ ?和? $\sum na_{n}z^{n-1}$ ?也是如此。

為了證明第一個論斷，我們必須證明級數

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} na_{n}z^{n-1}$ ?

給出了函數 f 的導數。為此，令 R 表示?f??的收斂半徑，并假設? $|z_{0}| < r < R$ ?。記作

$f ( z ) = S_{N}(z) + E_{N}(z)$ ?，

其中，

$S_{N}(z) =\displaystyle \sum_{n=0}^{N} a_{n}z^{n}$ ?和? $E_{N}(z) =\displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n}z^{n}$ ?。

則，若選擇 h 使得? $|z_{0} + h| < r$ ?，我們有

$\displaystyle \frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}-g(z_{0})=\left (\frac{S_{N}(z_{0}+h)-S_{N}(z_{0})}{h}-S_{N}^{'}(z_{0}) \right ) +\\ \left (S_{N}^{'}(z_{0}-g(z_{0}) \right )+\left ( \frac{E_{N}(z_{0}+h)-E_{N}(z_{0})}{h}\right )$ ?。

由于? $a_{n} - b_{n} = (a - b)( a^{n-1} + a^{n-2} b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1} )$ ??，我們看到

$\begin{array}{lr}\displaystyle \left | \frac{E_{N}(z_{0}+h)-E_{N}(z_{0})}{h} \right | \leq \sum_{n=N+1}^{\infty}|a_{n}| \left |\frac{(z_{0}+h)^{n}-z_{0}^{n}}{h} \right | \leq \sum_{n=N+1}^{\infty}|a_{n}| nr^{n-1}\end{array}$ ? ，

其中，我們用到了事實? $|z_{0}|<r$ ?和? $|z_{0}+h|<r$ ?。右邊的表達式是收斂級數尾，因為 g 在| z | < R 上絕對收斂。因此，已知ε > 0 ，我們可以求得? $N_{1}$ ?，使得只要? $N>N_{1}$ ?就意味著?

$\displaystyle \left | \frac{E_{N}(z_{0}+h)-E_{N}(z_{0})}{h} \right | < \epsilon$ ?。

同樣，由于? $\displaystyle \lim_{N \rightarrow \infty }S_{N}^{'}(z_{0})=g(z_{0})$ ??，我們可以求得? $N_{2}$ ?，使得只要? $N>N_{2}$ ?就意味著

$\displaystyle \left |S_{N}^{'}(z_{0})-g(z_{0})\right | < \epsilon$ ?。

若我們固定 N ，以使得? $N>N_{1}$ ?和? $N>N_{2}$ ?兩者同時成立，則我們可以求得δ > 0 以使得 |h|< δ 就意味著

$\displaystyle \left |\frac{S_{N}(z_{0}+h)-S_{N}(z_{0})}{h}-S_{N}^{'}(z_{0}) \right |< \epsilon$ ?,

僅僅因為多項式的導數是通過逐項微分獲得的。因此，只要 |h|< δ ，就有

$\displaystyle \left |\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}-g(z_{0}) \right |< 3\epsilon$ ?，

從而推導出定理的定明。

???????? 該定理的連續應用產生以下結論。

推論 2.7 ?(收斂)冪級數在其收斂圓盤上是無限復可微的，并且對其按逐項微分而獲得的其更高階的導數也是(收斂)冪級數。

??? 到目前為止，我們僅處理了中心位于原點的冪級數。更一般地，中心位于? $z_{0} \in \mathbb{C}$ ?的冪級數表達式形如

$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}$ ?。

現在，函數 f 的收斂圓盤以? $z_{0}$ ?為中心，且其收斂半徑仍然由Hadamard公式給出。事實上，若

$\displaystyle g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ ?,

則對 g?進行平移，則可輕易獲得 f ，即 f (z) = g (w?)，其中? $w = z - z_{0}$ ?。在我們對g作合適的平移之后,形成了函數 f，而關于 g 的一切級數特性對于 f 依然成立。特別地，根據鏈式法則，

$\displaystyle f^{'}(z) = g^{'} (w) =\sum_{n=0}^{\infty} na_{n}(z-z_{0})^{n-1}$ ?。

對于一個定義在開集 Ω 上的函數 f ，若在某一點? $z_{0}$ ?，存在一個以? $z_{0}$ ?為圓心且具有正的收斂半徑的冪級數? $\sum a_{n}(z-z_{0})^{n}$ ?，使得對于?? $z_{0}$ ?的領域內的所有z ，都有

$\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(z-z_{0})^{n}$ ?，

則稱 f 在? $z_{0}$ ?點是可分析的(be analytic)(譯注：或可解析的)(或稱在? $z_{0}$ ?點有一個冪級數展式(power series expansion))。若 f 在Ω中的每一點都具有冪級數展式，則我們稱f 在整個開集 Ω 上是可分析的。

???????? 根據定理 2.6，Ω上的分析函數也是全純的。我們在下一章證明的一個深層定理表明，反過來也是成立的：每個全純函數都是可分析的。因此，我們交替使用術語全純和解析(譯注：分析)。

3?? 循曲線積分(Integration along curves)

在曲線的定義中，我們區分平面上的一維幾何對象(具有方向)及其參數化，參數化是從閉區間到?的映射，不是唯一確定的。

一條參數化曲線是一個函數 z(t)，它將一個閉區間[a ,b]∈? 映射到復平面。我們將對參數化施加規則條件，這些條件總是在本書中發生的情況中得到驗證。若 z’(t)存在并且在[a ,b]上連續的，且對于 t ∈[a ,b] 有 z’(t)≠0 ，則我們稱參數化曲線z(t)是平滑的(smooth)。在端點 t = a 和 t = b 處，將量 z’(a) 和 z’(b)解釋為單側極限

$\displaystyle z'(a)=\lim_{\begin{array}{lrc} h \rightarrow 0 \\ h>0 \end{array}}{\frac{z(a+h)-z(a)}{h}}$ ?和?? $\displaystyle z'(b)=\lim_{\begin{array}{lrc} h \rightarrow 0 \\ h<0 \end{array}}{\frac{z(b+h)-z(b)}{h}}$ ?。

通常，分別稱之為z(t)在a點的左導數和b點的右導數。

??? 類似地，若 z 在[a ,b]上是連續的，并且存在點

$a = a_{0} < a_{1} < ... < a_{n} = b$ ?,

則稱這條參數化曲線是逐段平滑的(piece-wise smooth),其中，z?(?t?)在區間? $[a_{k}, a_{k+1}]$ ?上是平滑的。特別地，z?(t?) 在? $a_{k}$ ?(k = 1,...,n - 1)處的左導數可能不同于其左導數。

對于兩條參數化曲線

$z :[\:a ,b\:] \rightarrow \mathbb{C}$ ?和? $\overline{z} :[\:c ,d\:] \rightarrow \mathbb{C}$ ?，

若存在一個從 ?[c ,d ] 到 [a ,b] 的連續可微雙射 s ? t(s)使得 t’(s)> 0且

$\displaystyle \tilde{s} = z(t(s))$ ?,

則稱這兩條參數化曲線是等價的(equivalent)。條件 t’(s)> 0 準確地表明了保向性：當 s從c移動到d時，則 t(s)從到a 移動到b 。等價于z(t)的所有參數化曲線族確定了一條平滑曲線(smooth curve) γ?? ，即當 t 從 a 移動到 b 時，[a ,b] 在 z 下的圖像(image)(譯注：指的是合圍而成的閉合區域邊沿)，方向由 z 給出。我們可以定一條從曲線γ按逆向(以致于 γ 和? $\gamma^{-}$ ?組成平面上相同的點)而獲得的曲線? $\gamma^{-}$ ?。作為 ? $\gamma^{-}$ ?的一個特別的參數化，我們記為? $z^{-} : [\:a ,b\:] \to \mathbb{R}^{2}$ ?，定義為

$z^{-}(t) = z(b + a - t)$ ?。

此外，也明確了如何定義一條逐段平滑曲線(a piece-wise smooth curve)。點 z(a)和 z(b)稱為曲線的端點(end-points)。由于曲線γ攜帶方向，則很自然地稱曲線始于z(a)點并終于z(b)點。?

??? 對一條平滑曲線或逐段平滑曲線，若對于其任意參數化表達式，都有 z(a) = z(b),則稱這條曲線是閉合的(closed)。最后，若其不是自相交的(self-intersecting),即 z(t) ≠ z(s)(除非 s = t )，則稱其是簡單曲線(simple curve)。當然，如果曲線一開始便是閉合的，那么只要z(t) ≠ z(s)( 除非 s = t，或 s = a 且 t = b )，則我們稱其是簡單曲線。

--------------------------------------------圖3. 一條閉合的逐段平滑曲線----------------------------------------

為簡潔起見，我們將稱任何逐段平滑曲線為曲線，因為這些將是我們首先關注的對象。

??? 現在看一個由圓構成的基本例子。考慮以? $z_{0}$ ?為圓心以 r?為半徑的圓? $C_{r}(z_{0})$ ??, 定義為集合?

$C_{r}(z_0) = \{ z \in \mathbb{C}:| z - z_{0} | = r \}$ ? 。

正方向(逆時針(counterclockwise)方向)由標準參數化方程

$z(t) = z_0 + re^{it} (t \in [0,2\pi])$ ?

給出。而負方向(時針(clockwise)方向)由標準參數化方程

$z(t) = z_0 + re^{-it} (t \in [0,2\pi])$

給出。在后續章節中，我們將用 C 來表示一個常規正向圓。

研究全純函數的一個重要工具是函數沿曲線的積分。大致地講，復分析的一個關鍵定理指出，若一個函數在一條閉合曲線γ內部是全純的，則

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = 0$ ?,

在下一章，我們的注意力將轉向這個定理的一個版本(稱為Cauchy定理)。在這里，我們僅需了解積分的必要定義和性質即可。

??? 已知一條?中的由? $z :[\:a ,b\:] \to \mathbb{C}$ ?參數化的平滑曲線 γ，以及γ之上的一個連續函數?f ，我們定義 f 沿 γ 的積分為

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = \int_{a}^{b}f(z(t))z^{'}(t)dt$ ?。

對于這個定義，為使其有意義，我們必須證明右邊的積分獨立于γ所選擇的參數。比如說，如上

$\tilde{z}$ ?是一個等價參數方程。則變量替換和鏈式法則意味著

$\begin{array}{lrc}\displaystyle \int_{a}^{b}f(z(t))z^{'}(t)dt=\int_{a}^{b}f(z(t(s)))z^{'}(t(s))t^{'}(s)dt=\int_{a}^{b}f(\tilde{z}(s))\tilde{z}^{'}(s)ds \end{array}$ ?。

這就定義了f 沿γ的積分是良定義的。

??? 若γ是順時針平滑的，則f 沿γ的積分只是 f 沿γ的平滑部分的積分和，因此，若 z(t)是如前一樣的逐段平滑參數化表達式，則

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = \sum_{k=0}^{n-1}\int_{a_{k}}^{a_{k+1}}f(z(t))z^{'}(t)dt$ ?。

按照定義，平滑曲線 γ 的長度(length)是

$\displaystyle \mathrm{length}(\gamma)=\int_{a}^{b}|z^{'}(t)|dt$ ?。

正如我們剛才的論證，這個定義也獨立于參數化表達式。此外，若γ 僅是逐段平滑的，則其長度是其平滑部分的長度之后。

命題 3.1 曲線上的連續函數的積分滿足下列屬性：

( i ) 線性性，即，若 α ,?β ∈? ，則

$\displaystyle \int_{\gamma}(\alpha f (z) + \beta g(z))dz = \alpha \int_{\gamma}f (z)dz + \beta \int_{\gamma}g(z)dz$ ?。

( ii ) 若 ? $\gamma^{-}$ ?與 $\gamma$ ??具有相反的方向，則

$\displaystyle \int_{\gamma} f (z)dz = -\int_{\gamma^{-}} f (z)dz$ ?。

( iii ) 其具有不等式

$\displaystyle \left | \int_{\gamma} f (z)dz \right | \leq \sup_{z \in \gamma}|f(z)|.\mathrm{length}(\gamma)$ ?。

證明：

??? 第一個屬性可從定義和Riemann積分的線性性質推導出。第二個屬性的推導留作練習。對第三個屬性，注意到

$\displaystyle \left | \int_{\gamma} f (z)dz \right | \leq \sup_{t \in [a,b]}\left |f(z(t))\right | \int_{a}^{b}\left |z^{'}(t) \right |dt \leq \sup_{z \in \gamma}|f(z)|.\mathrm{length}(\gamma)$ ?,

正如所證。

??? 正如我們所稱，Cauchy定理指出，一個開集 Ω 上的一條合適的閉合曲線 γ, f?在其之上成為了全純函數，則

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = 0$ ?。

原函數(primitives)的存在首先體現了這種現象。假設f是開集 Ω 上的一個函數。則 f在 Ω 上的原函數 F 在Ω 上是全純的，且對于任意 z∈Ω 其使得 F ’(z) = f (z) 。

定理 3.2? 若一個連續函數 f 在Ω 上具有原函數F ，且 γ 是Ω 上一條始于? $w_{1}$ ?而終于 ? $w_{2}$ ?的曲線，則?

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = F(w_{2})-F(w_{1})$ ?。

證明：

??? 若γ是平滑的，這個證明僅是鏈式法則積分基礎定理的簡單應用。事實上，若? $z(t) :[\:a ,b\:] \to \mathbb{C}$ ?是 γ 的一個參數化表達式，則? $z(a) = w_{1 }$ ?， $z(b) = w_{2 }$ ?，我們有

$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz &\displaystyle=\int_{a}^{b}f(z(t))z^{'}(t) dt \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=\int_{a}^{b}F^{'}(z(t))z^{'}(t) dt \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}F(z(t))dt \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=F(z(b))-F(z(a)) \end{array}$ ? ? ? ? ? ?。

若 γ 僅是逐段平滑的，則正如我們剛才論證，我們獲得了一個套疊式(telescopic)和,我們有

$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz &\displaystyle=\sum_{k=0}^{n-1}\left [F(z(a_{k+1}))-F(z(a_{k})) \right ] \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=F(z(a_{n}))-F(z(a_{0})) \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=F(z(b))-F(z(a)) \end{array}$ ?。

推論 3.3? 若 γ 是一個開集Ω 上的一條閉合曲線，且f是Ω上的一個連續函數并具有原函數，則

$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = 0$ ?。

這個結果顯然的，因為閉合曲線的端點重合。

??? 例如，f (z) = 1/z? 在開集 ? - {0} 上沒有原函數，因為，若 C 是一個由? $z(t)=e^{it}$ ?(0 ≤ t ≤ 2π )參數化的單位圓，我們有?

$\displaystyle \int_{C}f(z)dz=\int_{0}^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}}dt=2\pi i \neq 0$ ?。

在后續章節中，我們將看到這種“無惡意”(innocent)的計算，它提供了一個函數 f 和一條閉合曲線γ 滿足? $\int_{\gamma}f(z)dz \neq 0$ ??的例子，它居于理論的核心。

推論 3.4? 若 f 是一個區域?Ω 上的全純函數并且 f ’ = 0，則?f?是常量。

證明：

?????? 固定一點 ? $w_{0}\in \Omega$ ?。對于所有ω∈Ω ，足以證明? $f(w)=f(w_{0})$ ?。

因為Ω 是連通的，對于任意 ω∈Ω ，存在一條連接? $w_{0}$ ?和ω 的曲線γ。由于，無疑 f 是 f ‘ 的一個原函數，我們有?

$\displaystyle \int_{\gamma} f^{'}(z)dz = f (w) - f (w_{0})$ ?。

根據假設，f ‘ = 0 ,因為左側的積分是0 ,從而我們推導出預期的? $f(w)=f(w_{0})$ ?

關于記法的評述：

??? 當方便的時候，我們遵循使用記法 f (z?) = O?(g(z))，用于表示存在一個常量 C > 0，使得所討論中的一點的一個領域內的z 滿足 | f (z)| ≤ C|g(z)|。此外，當 | f (z)/g(z)| ? 0 時，我們稱 f (z) = O(g(z))。我們也用 f (z) ~ g(z) 來表示f (z)/g(z) ? 1 。