縮點(有向圖的強連通分量)學習筆記
1.什么是強連通分量？：
有向圖強連通分量:在有向圖G中，如果兩個頂點vi,vj間(vi>vj)有一條從vi到vj的有向路徑，同時還有一條從vj到vi的有向路徑，則稱兩個頂點強連通(strongly connected)。如果有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。有向圖的極大強連通子圖，稱為強連通分量(strongly connected components)。——度娘
顯然正確，但是文縐縐的又難懂。
其實就是有一大團點，它們之間可以互相到達，且沒有其它的點與它們互可到達，那么這一大團點就是有向圖的一個強聯通分量。
一個強連通分量可以看作一個或幾個環拼接在一起。
如：
2.如何操作？：
首先對于整個有向圖進行dfs，若dfs樹中存在子樹有到達父親節點，從父親到這個點則都可互相到達，這些點有可能與父親原屬的強連通圖合并,也有可能成為新的一個強連通分量。
如上圖。
所以我們判斷一個點是否在一個強連通分量中，就用它是否能到達dfs序比他小的點。
但我們如何將一個強連通分量的點記錄呢？
答：用一個棧儲存，遇到一個不能到達dfs序比他小的點的點，就將棧里的點都標記為一個新的強連通分量，再清空棧（一個點我們也看作一個強連通分量）。
我們用dfn數組記錄dfs序，low數組記錄能到達的點最小的dfs編號。
對于每一個點，需要用它的兒子的low來更新自己的low,如上圖中的2號點;
然而，若有連向父親的邊呢？是不是直接用父親的dfn來更新自己的low？
當然是對的！！！（作者就曾經錯在這里,曾今以為是對的，但打模板時錯了，改了兩處，結果以為是因為將dfn改為low才對的，后面發現不是，果然我還是太蒟蒻了qaq~~~~~）
在tarjan算法中，都是用父親的dfn來更新自己的low,
但在有向圖中，若自己的父親有連向祖父等祖宗，那么自己和祖宗在同一個強連通分量；
而在無向圖中，則屬于兩個強連通分量。
如：
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其中，1、2、3、4、5互可到達，只有dfn[1]==low[1]，都是一個強連通分量。
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此時，用low來更新錯誤
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還有，注意：對于已經屬于一個強連通分量的點，不能用它的low來更新連向它的點！
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所以，low[5]為5。
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1 void tarjan(int u)//當前點 2 { 3 low[u]=dfn[u]=++deep; x[++top]=u; v[u]=1; 4 for(int i=head1[u];i;i=e[i].nxt) 5 { 6 if(!dfn[e[i].to]) tarjan(e[i].to),low[u]=min(low[u],low[e[i].to]);//連向兒子的邊 7 else if(v[e[i].to]) low[u]=min(low[u],low[e[i].to]);//連向父親且不屬于一個強連通分量 8 } 9 if(dfn[u]==low[u])//找到一個強連通分量 10 { 11 num[u]=++tot; v[u]=0; 12 while(x[top]!=u) v[x[top]]=0,num[x[top]]=tot,--top; 13 --top; 14 } 15 } 16 int main() 17 { 18 for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[i]) tarjan(i); 19 return 0; 20 }
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最后，模擬一個圖的tarjan過程：
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一共有一個強連通分量:1.{1,2,3,4,5,6,7,8,9}。
u=1:dfn[1]=1,++top,x[1]=1,tarjan(8);
u=8:dfn[8]=2,++top,x[2]=8,tarjan(9);
u=9:dfn[9]=3,++top,x[3]=9,low[9]=1;
u=8:low[8]=1;
u=1:tarjan(2);
u=2:dfn[2]=4,++top,x[4]=2,tarjan(3);
u=3:dfn[3]=5,++top,x[5]=3,tarjan(4);
u=4:dfn[4]=6,++top,x[6]=4,low[4]=low[2]=4;
u=3:low[3]=low[4]=4;
u=2:low[2]=4,tarjan(5);
u=5:dfn[5]=7,++top,x[7]=5,tarjan(6);
u=6:dfn[6]=8,++top,x[8]=6,tarjan(7);
u=7:dfn[7]=9,++top,x[9]=7,low[7]=1;
u=6:low[6]=1;
u=5:low[5]=1;
u=2:low[2]=1;
u=1:dfn[1]==low[1]=1→++tot,將x[1]到x[9]標記為tot=1,top=0;
結束。
3.縮點：
將每個強聯通分量看作一點，將所有連向強聯通分量內的點連向這個強聯通分量。
1 int main() 2 { 3 n=read(); m=read(); 4 for(int i=1;i<=n;++i) w1[i]=read(); 5 for(re int i=1;i<=m;++i) t1=read(),t2=read(),add(t1,t2,e,head1); 6 cnt=0; 7 for(int i=1;i<=n;++i) 8 { 9 w2[num[i]]+=w1[i]; 10 for(int j=head1[i];j;j=e[j].nxt) if(num[i]!=num[e[j].to]) add(num[i],num[e[j].to],f,head2),++rd[num[e[j].to]]; 11 } 12 return 0; 13 }
洛谷P3387 【模板】縮點
題目背景
縮點+DP
題目描述
給定一個n個點m條邊有向圖，每個點有一個權值，求一條路徑，使路徑經過的點權值之和最大。你只需要求出這個權值和。
允許多次經過一條邊或者一個點，但是，重復經過的點，權值只計算一次。
輸入輸出格式
輸入格式：
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第一行，n,m
第二行，n個整數，依次代表點權
第三至m+2行，每行兩個整數u,v，表示u->v有一條有向邊
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輸出格式：
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共一行，最大的點權之和。
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輸入輸出樣例
2 2 1 1 1 2 2 1
2
說明
n<=10^4,m<=10^5,0<=點權<=1000
算法：Tarjan縮點+DAGdp
題解:
當進入一個強連通分量時，肯定將這個強連通分量都走一遍，所以縮點，變為一個DAG（有向無環圖），然后按拓撲序dp，每個點的答案為所有能到達它的點的答案的最大值+自己的點值，輸出所有點中答案的最大值。
用每個點的答案更新它所能到達的所有點的答案。
代碼如下：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define re register 3 using namespace std; 4 const int N=10006,M=100006; 5 int n,m,t1,t2,w1[N],w2[N],num[N],cnt=0,head1[N],t,tot=0,head2[N],x[N],dfn[N],low[N],ans[N],maxa=-1,rd[N],deep=0,top=0,v[N]; 6 struct edge 7 { 8 int to,nxt; 9 }e[M],f[M]; 10 inline void add(int u,int v,edge a[],int head[]){a[++cnt].to=v,a[cnt].nxt=head[u],head[u]=cnt;} 11 inline int read() 12 { 13 int T=0,F=1; char ch=getchar(); 14 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') F=-1; ch=getchar();} 15 while(ch>='0'&&ch<='9') T=(T<<3)+(T<<1)+(ch-48),ch=getchar(); 16 return F*T; 17 } 18 void tarjan(int u) 19 { 20 low[u]=dfn[u]=++deep; x[++top]=u; v[u]=1; 21 for(int i=head1[u];i;i=e[i].nxt) 22 { 23 if(!dfn[e[i].to]) tarjan(e[i].to),low[u]=min(low[u],low[e[i].to]); 24 else if(v[e[i].to]) low[u]=min(low[u],low[e[i].to]); 25 } 26 if(dfn[u]==low[u]) 27 { 28 num[u]=++tot; v[u]=0; 29 while(x[top]!=u) v[x[top]]=0,num[x[top]]=tot,--top; 30 --top; 31 } 32 } 33 void tppx() 34 { 35 queue<int> q; cnt=0; 36 for(int i=1;i<=tot;++i) if(!rd[i]) x[++cnt]=i,q.push(i); 37 while(!q.empty()) 38 { 39 int tmp=q.front(); q.pop(); 40 for(int i=head2[tmp];i;i=f[i].nxt) 41 { 42 --rd[f[i].to]; 43 if(!rd[f[i].to]) x[++cnt]=f[i].to,q.push(f[i].to); 44 } 45 } 46 } 47 int main() 48 { 49 n=read(); m=read(); 50 for(int i=1;i<=n;++i) w1[i]=read(); 51 for(re int i=1;i<=m;++i) t1=read(),t2=read(),add(t1,t2,e,head1); 52 for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[i]) tarjan(i); 53 cnt=0; 54 for(int i=1;i<=n;++i) 55 { 56 w2[num[i]]+=w1[i]; 57 for(int j=head1[i];j;j=e[j].nxt) if(num[i]!=num[e[j].to]) add(num[i],num[e[j].to],f,head2),++rd[num[e[j].to]]; 58 } 59 memset(x,0,sizeof(x)); tppx(); 60 for(int i=1;i<=n;++i) 61 { 62 t=x[i]; ans[t]=max(ans[t],w2[t]); 63 maxa=max(maxa,ans[t]); 64 for(int j=head2[t];j;j=f[j].nxt) ans[f[j].to]=max(ans[f[j].to],ans[t]+w2[f[j].to]); 65 } 66 printf("%d\n",maxa); 67 return 0; 68 }
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