1. 數學分析
1) 基本定義:
向量由多個分量組成,2D/3D向量表示一條有向線段。下面的ux,uy就是兩個分量。
向量u = <ux, uy>,如果從點P1(x1, y1)指向點P2(x2, y2),則:
U = p2 - p1 = (x2-x1, y2-y1) = <Ux, Uy>
向量被定義后,總是相對于原點的,所以可以用一個點來表示從原點指向該點的向量。
2) 向量的范數(norm)
范數就是向量長度,是從原點到終點的距離。用|u|表示,所以:
|U| = sqrt(Ux2 + Uy2)
|U| = sqrt(Ux2 + Uy2 + Uz2)
3) 單位向量與歸一化
有時候,我們只關心向量的方向而不關心其長度,所以可以對向量做歸一化,使其方向不變,而長度縮放為1,以方便計算。用n'表示。
歸一化公式:
n' = n / |n|
4) 標量與向量乘法
對于標量k,標量與向量相乘的公式為:
k * u = k * <ux, uy> = <k * ux, k * uy>
標量與向量乘法的幾何意義:縮放一個向量。也可以乘以-1來反轉向量。
5) 向量之間相加,將各分量相加即可。
u + v = <ux, uy> + <vx, vy> = <ux + vx, uy + vy>
向量相加的幾何意義:平移v的起點至u的終點,則結果為u的起點到平移后的v的終點的線段。如下圖:
6) 向量相減,分量相減
u - v = <ux, uy> - <vx, vy> = <ux - vx, uy - vy>
幾何意義:減數向量的終點指向被減數向量的終點的線段,如下圖:
7) 點積
由于兩個向量的分量直接相乘沒有什么實際的幾何意義,所以一般沒用。而點積就十分有用。定義如下:
u.v = ux*vx + uy*vy
點積運算是將兩個向量的分量分別相乘,然后再相加,所得的結果是一個標量。
點積的幾何意義體現在這個點積公式上:
u.v = |u| * |v| * cos(theta)
即:點積等于兩個向量的長度積,再乘以它們之間的夾角的余弦。于是便可以推得夾角的計算方法:
theta = arccos(u.v / (|u| * |v|))
這個公式是很多3D圖形學算法的基礎,并且如果u和v都是單位向量的話,則|u| = |v| = 1,那么:
theta = arccos(u.v)
下面有4個點積非常重要的定理:
1. 如果u與v垂直,則u.v = 0
2. 如果夾角為銳角,則u.v > 0
3. 如果夾角為鈍角,則u.v < 0
4. 如果u與v相等,則u.v = |u| = |v|
那么根據點積的這些性質,我們可以發現由點積帶來的一大用途——計算向量在給定方向上的投影向量。
先看下圖:
其實思路很簡單,既然是求u在v分量上的投影向量,那么方向已經可以知道了,所以所求投影向量的單位向量就等于v的單位向量,所以已經可以求得了該投影向量的單位向量:p(單位) = v / |v|
現在就差長度了,通過上圖,可以知道|p| = |u| * cos(theta),綜合一下,就可以求得:
p = (v / |v|) * (|u| * cos(theta))
還記得點積公式嗎? u.v = |u| * |v| * cos(theta)
所以可以簡化上面咱們的推導,得:
p = (u.v * v) / (|v| * |v|)
另外,點積滿足以下乘法定律,很好證明,這里省略:
u.v = v.u
u.(v+w) = (u.v + u.w)
k*(u.v) = (k*u).v = u.(k*v)
8) 叉積
首先給出叉積的定義:
u × v = |u| * |v| * sin(theta) * n
其中n是垂直于u和v的單位法向量。
如何求n呢?我們需要建立一個矩陣:
|? i??? j??? k? |
| ux uy uz |
| vx vy vz? |
其中i,j,k分別是與X、Y、Z軸平行的單位向量。
n是三個標量乘以X、Y、Z軸單位向量的線性組合:
n = (uy*vz - vy*uz)*i - (ux*vz - vx*uz)*j + (ux*vy - vx*uy)*k
所以n = <uy*vz - vy*uz, -ux*vz + vx*uz, ux*vy - vx*uy>
這樣求得的n不一定是單位向量,所以需要進行歸一化再使用。
其實后面求n不叉積的定義更重要,因為如果要求角度,點積就可以直接計算出來了,所以一般用叉積都是來求法線向量的。
叉積的乘法定律:
u×v = -(v×u)
u×(v+w) = u×v + u×w
(u+v)×w = u×w + v×w
k*(u×v) = (k*u)×v = u×(k*v)
9) 位移向量
先看圖:
p1是從原點到點P1的向量,Vd是從點P1到點P2的向量,v'是Vd的單位向量,p是從原點到P2的向量。
還記得向量加法么,我們引入一個參數t來表示所相加的比例,則:
p = p1 + t*v' 其中t的取值范圍是[0, |vd|]
或者
p = p1 + t*vd 其中t的取值范圍是[0, 1]
這個概念非常重要,因為在游戲中跟蹤直線、線段、曲線時,非常有用。
2. 代碼實現
void _CPPYIN_Math::VectorAdd(VECTOR2D_PTR va, VECTOR2D_PTR vb, VECTOR2D_PTR vsum)
{vsum->x = va->x + vb->x;vsum->y = va->y + vb->y;
}void _CPPYIN_Math::VectorAdd(VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vb, VECTOR3D_PTR vsum)
{vsum->x = va->x + vb->x;vsum->y = va->y + vb->y;vsum->z = va->z + vb->z;
}void _CPPYIN_Math::VectorAdd(VECTOR4D_PTR va, VECTOR4D_PTR vb, VECTOR4D_PTR vsum)
{vsum->x = va->x + vb->x;vsum->y = va->y + vb->y;vsum->z = va->z + vb->z;vsum->w = 1;
}void _CPPYIN_Math::VectorSub(VECTOR2D_PTR va, VECTOR2D_PTR vb, VECTOR2D_PTR vsum)
{vsum->x = va->x - vb->x;vsum->y = va->y - vb->y;
}void _CPPYIN_Math::VectorSub(VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vb, VECTOR3D_PTR vsum)
{vsum->x = va->x - vb->x;vsum->y = va->y - vb->y;vsum->z = va->z - vb->z;
}void _CPPYIN_Math::VectorSub(VECTOR4D_PTR va, VECTOR4D_PTR vb, VECTOR4D_PTR vsum)
{vsum->x = va->x - vb->x;vsum->y = va->y - vb->y;vsum->z = va->z - vb->z;vsum->w = 1;
}void _CPPYIN_Math::VectorScale(double k, VECTOR2D_PTR va, VECTOR2D_PTR vscaled)
{vscaled->x = k * va->x;vscaled->y = k * va->y;
}void _CPPYIN_Math::VectorScale(double k, VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vscaled)
{vscaled->x = k * va->x;vscaled->y = k * va->y;vscaled->z = k * va->z;
}void _CPPYIN_Math::VectorScale(double k, VECTOR4D_PTR va, VECTOR4D_PTR vscaled)
{vscaled->x = k * va->x;vscaled->y = k * va->y;vscaled->z = k * va->z;vscaled->w = 1;
}double _CPPYIN_Math::VectorDot(VECTOR2D_PTR va, VECTOR2D_PTR vb)
{return (va->x * vb->x) + (va->y * vb->y);
}double _CPPYIN_Math::VectorDot(VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vb)
{return (va->x * vb->x) + (va->y * vb->y) + (va->z * va->z);
}double _CPPYIN_Math::VectorDot(VECTOR4D_PTR va, VECTOR4D_PTR vb)
{return (va->x * vb->x) + (va->y * vb->y) + (va->z * va->z);
}void _CPPYIN_Math::VectorCross(VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vb, VECTOR3D_PTR vn)
{vn->x = ((va->y * vb->z) - (va->z * vb->y));vn->y = -((va->x * vb->z) - (va->z * vb->x));vn->z = ((va->x * vb->y) - (va->y * vb->x));
}void _CPPYIN_Math::VectorCross(VECTOR4D_PTR va, VECTOR4D_PTR vb, VECTOR4D_PTR vn)
{vn->x = ((va->y * vb->z) - (va->z * vb->y));vn->y = -((va->x * vb->z) - (va->z * vb->x));vn->z = ((va->x * vb->y) - (va->y * vb->x)); vn->w = 1;
}double _CPPYIN_Math::VectorLength(VECTOR2D_PTR va)
{return sqrt(va->x * va->x + va->y * va->y);
}double _CPPYIN_Math::VectorLength(VECTOR3D_PTR va)
{return sqrt(va->x * va->x + va->y * va->y + va->z * va->z);
}double _CPPYIN_Math::VectorLength(VECTOR4D_PTR va)
{return sqrt(va->x * va->x + va->y * va->y + va->z * va->z);
}void _CPPYIN_Math::VectorNormalize(VECTOR2D_PTR va, VECTOR2D_PTR vn)
{vn->x = 0;vn->y = 0;double length = VectorLength(va);if (length < EPSILON){return;}else{double lengthdao = 1 / length;vn->x = va->x * lengthdao;vn->y = va->y * lengthdao;}
}void _CPPYIN_Math::VectorNormalize(VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vn)
{vn->x = 0;vn->y = 0;vn->z = 0;double length = VectorLength(va);if (length < EPSILON){return;}else{double lengthdao = 1 / length;vn->x = va->x * lengthdao;vn->y = va->y * lengthdao;vn->z = va->z * lengthdao;}
}void _CPPYIN_Math::VectorNormalize(VECTOR4D_PTR va, VECTOR4D_PTR vn)
{vn->x = 0;vn->y = 0;vn->z = 0;vn->w = 0;double length = VectorLength(va);if (length < EPSILON){return;}else{double lengthdao = 1 / length;vn->x = va->x * lengthdao;vn->y = va->y * lengthdao;vn->z = va->z * lengthdao;vn->w = 1;}
}double _CPPYIN_Math::VectorCos(VECTOR2D_PTR va, VECTOR2D_PTR vb)
{return VectorDot(va, vb) / (VectorLength(va) * VectorLength(vb));
}double _CPPYIN_Math::VectorCos(VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vb)
{return VectorDot(va, vb) / (VectorLength(va) * VectorLength(vb));
}double _CPPYIN_Math::VectorCos(VECTOR4D_PTR va, VECTOR4D_PTR vb)
{return VectorDot(va, vb) / (VectorLength(va) * VectorLength(vb));
}
不用多說了,都是按照上面數學推導出來的公式直接實現。
3. 代碼下載
完整項目源代碼下載:>>點擊進入下載頁<<
之前的一直忘了改資源分默認是1,從這次開始我都改成0了。
4. 補充內容
1) 對于求向量范數的問題,其實這個實現方式效率不高,現在使用的勾股開方的形式實現,而其實可以使用泰勒級數來計算近似值,雖然有一點點誤差,但是運算速度大大提高。
2) 你可以發現我在做向量歸一化的時候,是先求了lengthdao = 1 / length,然后再去和三個分量做乘法,而不是讓他們分別去除以length。其實也是效率原因,計算機做除法的速度遠遠慢于做乘法,所以我們只做一次除法,而做三次乘法,這樣簡單的優化帶來的效果卻是非常明顯的。
轉自:http://blog.csdn.net/cppyin/archive/2011/02/07/6174087.aspx