銳化（高通）空間濾波器

• 平滑通過稱為低通濾波
• 類似于積分運算
• 銳化通常稱為高通濾波
• 微分運算
• 高過（負責細節的）高頻，衰減或抑制低頻

基礎 - 一階導數和二階導數的銳化濾波器

數字函數的導數是用差分來定義的。定義這些差分的方法有多種

一階導數的任何定義都要滿足如下要求：

1. 恒定灰度區域的一階導數必須為0
2. 灰度臺階或斜坡開始處的一階導數必須非零。
3. 灰度斜坡上的一階導數必須非零。

二階導數的任何定義都要滿足如下要求：

1. 恒定灰度區域的二階導數必須為零。
2. 灰度臺階或斜坡的開始處和結束處的地階導數必須非零。
3. 灰度斜坡上的二階導數必須為零。

一維函數$f(x)$的一階導數的一個基本定義是差分：
$$\frac{?f}{?x}=f(x+1)?f(x)\text{\hspace{1em}(3.48)}$$

二階導數定義為差分：
$$\frac{{?}^{2}f}{?x^2}=f(x+1)+f(x?1)?2f(x)\text{\hspace{1em}(3.49)}$$

def first_derivative(y):y_1 = np.zeros(len(y)-1)for i in range(1, len(y)):if i + 1 < len(y):y_1[i] = y[i+1] - y[i]return y_1def second_derivative(y):y_2 = np.zeros(len(y)-1)for i in range(1, len(y)):if i + 1 < len(y):y_2[i] = y[i+1] + y[i-1] - 2*y[i]return y_2

#一維數字一階與二階導數
y = np.arange(1, 7)
y = y[::-1]
y = np.pad(y, (3, 5), mode='constant', constant_values=(6, 1))
y = np.pad(y, (0, 5), mode='constant', constant_values=(0, 6))
x = np.arange(len(y))fig = plt.figure(figsize=(16, 4))
ax_1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax_1.plot(x, y, '-.s', label="data")
ax_1.legend(loc='best', fontsize=12)y_1 = first_derivative(y)
y_2 = second_derivative(y)ax_2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)
ax_2.plot(y_1[1:], ':o', label='First derivative')
ax_2.plot(y_2[1:], '--s', alpha=0.5, label='Second derivative')
ax_2.plot(np.zeros(19), '--k', alpha=0.5)
ax_2.legend(loc='best', fontsize=12)
plt.tight_layout()
plt.show()

二階導數銳化圖像–拉普拉斯

我們感興趣的是各向同性核，這種核的響應與圖像中灰度不連續的方向無關。最簡單的各向同性導數算子（核）是拉普拉斯， 它定義為：
$${?}^{2}f=\frac{{?}^{2}f}{?x^2}+\frac{{?}^{2}f}{?y^2}\text{\hspace{1em}(3.50)}$$

我們把這個片子以離散形式表達:
$$\frac{{?}^{2}f}{?x^2}=f(x+1,y)+f(x?1,y)?2f(x,y)\text{\hspace{1em}(3.51)}$$
$$\frac{{?}^{2}f}{?y^2}=f(x,y+1)+f(x,y?1)?2f(x,y)\text{\hspace{1em}(3.52)}$$

兩個變量的離散拉普拉斯是
$${?}^{2}f(x,y)=f(x+1,y)+f(x?1,y)+f(x,y+1)+f(x,y?1)?4f(x,y)\text{\hspace{1em}(3.53)}$$

寫成矩陣的形式就得到拉普拉斯核：
$$?\begin{array}{ccc}0& 1(f(x,y?1)的權值)& 0\\ 1(f(x?1,y)的權值)& ?4(f(x,y)的權值)& 1(f(x+1,y)的權值)\\ 0& 1(f(x,y+1)的權值)& 0\end{array}?$$

圖像的銳化的濾波原理也類似于描述的低通濾波，只不過使用不同的系數
后面兩個是含對角項的擴展公式的核：

$?\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& ?4& 1\\ 0& 1& 0\end{array}??\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& ?8& 1\\ 1& 1& 1\end{array}?$

這兩個是二階導數定義得到的：

$?\begin{array}{ccc}0& ?1& 0\\ ?1& 4& ?1\\ 0& ?1& 0\end{array}??\begin{array}{ccc}?1& ?1& ?1\\ ?1& 8& ?1\\ ?1& ?1& ?1\end{array}?$

拉普拉斯是導數算子，因此會突出圖像中的急劇灰度過渡，并且不會強調緩慢變化的灰度區域。這往往會產生具有灰色邊緣線和其他不連續性的圖像，它們都疊加在暗色無特征背景上。將拉普拉斯圖像與原圖相加，就可以“恢復”背景特征，同時保留拉普拉斯的銳化效果。 上面兩個核得到的圖像需要用原圖減去得到的圖，下面兩個核得到的圖像需要用原圖加下得到的圖，以實現銳化。

$$g(x,y)=f(x,y)+c[{?}^{2}f(x,y)]\text{\hspace{1em}(3.54)}$$
使用上面的前兩個核，則$c=?1$，后面的兩個二階導數定義的核則$c=1$
兩組核剛好相差一個負號

觀察平滑與銳化核可發現，平滑核的系數之和為1，銳化核的系數之和為0。用銳化核處理圖像時，有會出現負值，需要進行額外處理才能得到合適的視覺結果。

# Laplacian filter 不同的核，拉普拉斯銳化
img = cv2.imread('DIP_Figures/DIP3E_Original_Images_CH03/Fig0338(a)(blurry_moon).tif', 0)
img = normalize(img)kernel_laplacian_a = np.array([[0,1,0],[1,-4,1],[0,1,0]])
# 下面這個核雖然可以銳化，但是效果沒有上面這個好
# kernel_laplacian_d = np.array([[
#                     [-1, -1, -1],
#                     [-1, 8, -1],
#                     [-1, -1, -1]
#                                 ]])
laplacian_img_a = filter_2d(img, kernel_laplacian_a, mode='constant')
laplacian_img_b = filter_2d(img, -kernel_laplacian_a, mode='constant')plt.figure(figsize=(14, 16))
plt.subplot(2, 2, 1), plt.imshow(img, cmap='gray', vmin=0, vmax=1), plt.title('Original')
plt.subplot(2, 2, 2), plt.imshow(laplacian_img_a, cmap='gray', vmax=1), plt.title('Laplacian')laplacian_img_ori = normalize(img - laplacian_img_a)
plt.subplot(2, 2, 3), plt.imshow(laplacian_img_ori, cmap='gray', vmax=1), plt.title('Laplacian With ORI')laplacian_imgori = normalize(img + laplacian_img_b)
plt.subplot(2, 2, 4), plt.imshow(laplacian_imgori, cmap='gray', vmax=1), plt.title('Laplacian With ORI')plt.tight_layout()
plt.show()