單變量的離散傅里葉變換

由取樣后的函數的連續變換得到DFT

對原函數的變換取樣后的業的發展的變換$\tilde{F}(\mu )$，但未給出取樣后的函數$\tilde{f}(t)$的變換$\tilde{F}(\mu )$的表達式。
$$\tilde{F}(\mu )={\int }_{?\infty }^{\infty }\tilde{f}(t)e^{?j2\pi \mu t}dt\text{\hspace{1em}(4.39)}$$

$$\begin{array}{rl}\tilde{F}(\mu )& ={\int }_{?\infty }^{\infty }\tilde{f}(t)e^{?j2\pi \mu t}dt={\int }_{?\infty }^{\infty }\sum _{n=?\infty }^{\infty }f(t)\delta (t?n\Delta T)e^{?j2\pi \mu t}dt\\ & =\sum _{n=?\infty }^{\infty }{\int }_{?\infty }^{\infty }f(t)\delta (t?n\Delta T)e^{?j2\pi \mu t}dt\\ & =\sum _{n=?\infty }^{\infty }{f}_n{e}^{?j2\pi \mu n\Delta T}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.40)}$$

$$\mu =\frac{m}{M\Delta T},m=0,1,2,?,M?1\text{\hspace{1em}(4.41)}$$

下面表達式就是我們所求的離散傅里葉變換
$$F_m=\sum _{n=0}^{M?1}{f}_n{e}^{?j2\pi \mu nm/M},m=0,1,2,?,M?1\text{\hspace{1em}(4.42)}$$

離散傅里葉反變換
$$f_n=\frac{1}{M}\sum _{m=0}^{M?1}{F}_m{e}^{j2\pi \mu nm/M},n=0,1,2,?,M?1\text{\hspace{1em}(4.43)}$$

一般二維情況下，使用$x$和$y$表示圖像坐標變量并使用$u$和$v$表示頻率變量更為直觀。離散傅里葉變換對可以改寫為
$$F(u)=\sum _{x=0}^{M?1}f(x)e^{?j2\pi ux/M},u=0,1,2,?,M?1\text{\hspace{1em}(4.44)}$$

離散傅里葉反變換
$$f(x)=\frac{1}{M}\sum _{u=0}^{M?1}F(u)e^{j2\pi ux/M},x=0,1,2,?,M?1\text{\hspace{1em}(4.45)}$$

取樣和頻率間隔的關系

# 例4.4 計算DFT
# x = 0, 1, 2, 3
# f(x) = 1, 2, 4, 4
x = np.arange(4)
y = np.array([1, 2, 4, 4])
fft = np.fft.fft(y)
print('DFT')
print(fft)# IDFT反變換
ifft = np.fft.ifft(fft)
print('IDFT')
print(ifft)

DFT
[11.+0.j -3.+2.j -1.+0.j -3.-2.j]
IDFT
[1.+0.j 2.+0.j 4.+0.j 4.+0.j]