二維DFT和IDFT的一些性質

空間間隔和頻率間隔的關系

$$\Delta u=\frac{1}{M\Delta T}\text{\hspace{1em}(4.69)}$$
$$\Delta v=\frac{1}{N\Delta Z}\text{\hspace{1em}(4.70)}$$

平移和旋轉

$$f(x,y)e^{j2\pi (u_{0}x/M+v_{0}y/N)}?F(u?u_0,v?v_0)\text{\hspace{1em}(4.71)}$$

$$f(x?x_0,y?y_0)?F(u,v)e^{?j2\pi (u_{0}x/M+v_{0}y/N)}\text{\hspace{1em}(4.72)}$$

也就是說，用所示的指數項乘以$f(x,y)$將使DFT的原點移到點$(u_0,v_{)}$處；反之，用負指數項乘以$F(u,v)$將使$f(x,y)$的原點移到點$(x_0,y_0)$處。平移不影響$F(u,v)$的幅度（譜）

使用極坐標
$$x=r\text{cos}\theta ,y=r\text{sin}\theta ,u=\omega \text{cos}\phi ,v=\omega \text{sin}\phi$$
可得下面的變換對：
$$f(r,\theta +{\theta }_0)?F(\omega ,\phi +{\theta }_0)\text{\hspace{1em}(4.73)}$$

周期性

二維傅里葉變換及其反變換在$u$方向和$v$方向是無限周期的，即有($k_1,k_2$是整數)：
$$F(u,v)=F(u+k_{1}M,v)=F(u,v+k_{2}N)=F(u+k_{1}M,v+k_{2}N)\text{\hspace{1em}(4.74)}$$

$$f(x,y)=f(x+k_{1}M,y)=f(x,y+k_{2}N)=f(x+k_{1}M,y+k_{2}N)\text{\hspace{1em}(4.75)}$$

對稱性

任意實函數或復函數$w(x,y)$均可表示為廳數部和偶數部之和，其中奇數部和偶數部鄧可以是實數，也可以是復數：
$$w(x,y)=w_e(x,y)+w_o(x,y)\text{\hspace{1em}(4.77)}$$

偶數部：
$$w_e(x,y)?\frac{w(x,y)+w(?x,?y)}{2}\text{\hspace{1em}(4.78)}$$

奇數部：
$$w_o(x,y)?\frac{w(x,y)?w(?x,?y)}{2}\text{\hspace{1em}(4.79)}$$

根據上述式子，可得到

$$w_e(x,y)=w_e(?x,?y)\text{\hspace{1em}(4.80)}$$

$$w_o(x,y)=?w_o(?x,?y)\text{\hspace{1em}(4.81)}$$

也就是說偶函數是對稱的，奇函數是反對稱的。

因為DFT和IDFT中所有指數都是非負的整數，所以當我們談論對稱 性（反對稱性）時，指的是關于序列中心點的對稱性（反對稱性），此時介數部和奇數部定義為：

$$w_e(x,y)=w_e(M?x,N?y)\text{\hspace{1em}(4.82)}$$

$$w_o(x,y)=?w_o(M?x,N?y)\text{\hspace{1em}(4.83)}$$

兩個偶函數的積或兩個奇函數的積是偶函數，而一個偶函數和一個奇函數的積是奇函數。

對于任意兩個離散的偶函數$w_e$和奇函數$w_o$有
$$\sum _{x=0}^{M?1}\sum _{y=0}^{N?1}{w}_e(x,y)w_o(x,y)\text{\hspace{1em}(4.84)}$$

離散函數是奇函數的唯一條件是其所有樣本之和為零

我的理解是，如果偶數個離散點的話，我們需要找到對稱中心，中心一般是floor(M/2)。如果是偶數個點的話，那需要補多一個數，這樣才能有對稱的中心。
下面的題，給出的序列是4個數，中心為2。如果是5個數的話，那中心還是2，但左邊是2個數，右邊也是兩個數。

但后面又說這樣做不對，不知道是如何理解呢？

# 離散偶數性
f = np.array([2, 1, 1, 1])
M = f.shape[0]
print(f'M = {M}')# f(x) = f(4 - x), f(0) = f(4), f(1) = f(3), f(2) = f(2), f(3) = f(1)
fx = np.zeros([M + 1])
fx[:M] = f
fx[M] = f[0]
print(fx)

M = 4
[2. 1. 1. 1. 2.]

奇序列的性質，即其第一項$w_o(0,0)$永遠是0，當M為偶數是，一維奇序列在伴0和M/2處的值總為零

# 離散奇數性
g = np.array([0, -1, 0, 1])
M = g.shape[0]
print(f'M = {M}')# g(x) = -g(4 - x), g(0) = 0, g(1) = -g(3), g(2) = g(2), g(3) = -g(1)
gx = np.zeros([M + 1])
gx[:M] = g
gx[M] = g[0]
print(gx)

M = 4
[ 0. -1.  0.  1.  0.]

序列的偶序列還是奇序列取決于序列的長度。{0， -1， 0， 1}是奇序列，但{0， -1， 0， 1，0}既不是奇序列，也不是偶序列

例如下面一個$6\times 6$的二維陣列 [ 記住，從(0, 0)開始計數 ] 是奇序列，

KaTeX parse error: Expected group after '\begin{array}' at position 15: \begin{array} _? & 0 & 0 & 0 & …

然后，添加一行為和一列0后得到的結果即不是奇陣列又不是偶陣列。

一般來說，將偶數維的二維陣列插入一個較大的零陣列時，只要中心生命，那么得到的陣列也是偶數維的，這個陣列保留了較小陣列的對稱性。
奇數維的二維陣列可以插入奇數維的更多大零陣列，而不影響基對稱性。

實函數$f(x,y)$的傅里葉變換是共軛對稱的
$$F^{?}(u,v)=F(?u,?v)\text{\hspace{1em}(4.85)}$$

二維DFT及其反變換的一些對稱 性質

	空間域		頻率域
1)	$f(x,y)$實函數	$?$	$F^{?}(u,v)=F(?u,?v)$
2)	$f(x,y)$虛函數	$?$	$F^{?}(?u,?v)=?F(u,v)$
3)	$f(x,y)$實函數	$?$	$R(u,v)$偶函數；$I(u,v)$奇函數
4)	$f(x,y)$虛函數	$?$	$R(u,v)$奇函數；$I(u,v)$偶函數
5)	$f(?x,?y)$實函數	$?$	$F^{?}(u,v)$復函數
6)	$f(?x,?y)$復函數	$?$	$F(?u,?v)$復函數
7)	$f^{?}(x,y)$復函數	$?$	$F^{?}(?u,?v)$復函數
8)	$f(x,y)$實函數和偶函數	$?$	$F(u,v)$實函數和偶函數
9)	$f(x,y)$實函數和奇函數	$?$	$F(u,v)$虛函數和偶函數
10)	$f(x,y)$虛函數和偶函數	$?$	$F(u,v)$虛函數和偶函數
11)	$f(x,y)$虛函數和奇函數	$?$	$F(u,v)$實函數和奇函數
12)	$f(x,y)$復函數和偶函數	$?$	$F(u,v)$復函數和偶函數
13)	$f(x,y)$復函數和偶函數	$?$	$F(u,v)$復函數和奇函數

$R(u,v)$，$I(u,v)$分別是$F(u,v)$的實部和虛部

下面是一維函數性質的一些說明

def print_array(arrs):for arr in arrs:if arr.imag >= 0:print(str(arr.real) + "+" + str(arr.imag) +"j", end=', ')else:print(str(arr.real) + str(arr.imag) +"j", end=', ')

# 性質3 實函數 <=> R偶函數，I奇函數
f = np.array([1, 2, 3, 4])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

10.0+0.0j, -2.0+2.0j, -2.0+0.0j, -2.0-2.0j, 

# 性質4 虛函數 <=> R奇函數，I偶函數
f = np.array([1j, 2j, 3j, 4j]) / 4F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

0.0+2.5j, -0.5-0.5j, 0.0-0.5j, 0.5-0.5j, 

# 性質8 實函數和偶函數 <=> 實函數和偶函數
f = np.array([2, 1, 1, 1])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

5.0+0.0j, 1.0+0.0j, 1.0+0.0j, 1.0+0.0j, 

# 性質9 實函數和奇函數 <=> 虛函數和奇函數
f = np.array([0, -1, 0, 1])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

0.0+0.0j, 0.0+2.0j, 0.0+0.0j, 0.0-2.0j, 

# 性質10 虛函數和偶函數 <=> 虛函數和偶函數
f = np.array([2j, 1j, 1j, 1j])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

0.0+5.0j, 0.0+1.0j, 0.0+1.0j, 0.0+1.0j, 

# 性質11 虛函數和奇函數 <=> 實函數和奇函數
f = np.array([0j, -1j, 0j, 1j])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

0.0+0.0j, -2.0+0.0j, 0.0+0.0j, 2.0+0.0j, 

# 性質12 復函數和偶函數 <=> 復函數和偶函數
f = np.array([4+4j, 3+2j, 0+2j, 3+2j])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

10.0+10.0j, 4.0+2.0j, -2.0+2.0j, 4.0+2.0j, 

# 性質13 復函數和奇函數 <=> 復函數和奇函數
f = np.array([0+0j, 1+1j, 0+0j, -1-1j])F = np.fft.fft(f)
print_array(F)

0.0+0.0j, 2.0-2.0j, 0.0+0.0j, -2.0+2.0j,